第六章图形的相似（平行截线线段成比例拓展）

第六章图形的相似（平行截线线段成比例拓展）【平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．典例1如图，是的中线，E是上一点，，连接并延长交于点F，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作交于点H，根据是的中线，可得，根据平行线分线段成比例可得，有已知条件可得，进而可得．【详解】解：作交于点H，∵是的中线，，，，，，，∴，，．故选：B．跟踪训练1如图，中，，，求的值为．

【答案】【分析】过点作交于，由平行线分线段成比例得到，，则，，得到，即可得到的值．【详解】解：过点作交于，

∵，，∴，，∴，，∴，∴．故答案为：典例2如图，三条直线，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可得，从而得到，再由，可得，最后再由可得，进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，，，，，，，故选：A．跟踪训练2【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：我们可以发现，当两条直线与一组平行践相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所傅的对应线段成比例，（简称“平行钱分线段成比例“

【问题原型】如图①，中，点为边上的点，过点作交为边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，，则．【结论应用】（1）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：；（2）如图③，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是．

【答案】（1）2.7；（2）见解析；（3）【分析】（1），，，，，即可求得；（2），，，，同理，，即可证明；（3）过点作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，，且、分别是边，的中点，为的中位线，，连接，此时与的交点，此时周长最小，根据勾股定理即可求出进而求出作答．【详解】解（1）：，，又，，，即，，故答案为：2.7；（2）证明：，，，，，，同理，，；（3）解：过点作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，如图，

，且、分别是边，的中点，为的中位线，，连接，此时与的交点，此时周长最小，，，，，，在中，，，故答案为：．典例3如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则．

【答案】【分析】首先过点M作，交分别于K，N，由M是的中点与、为的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，，，然后根据比例的性质，即可求解．【详解】解：过点M作，交分别于K，N，

∵M是的中点，∴，∵、为的三等分点，∴，∴，∵，，∴，，设，∴，∴．故答案为：．跟踪训练3如图，已知M、N为的边BC上的两点，且满足，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求的值．

【答案】4【分析】分别过点M，N作，交于点K、Q，交于点T，利用平行线分线段成比例可得，利用三角形相似性质可得，，再利用比例性质可求出．【详解】如图，分别过点M，N作，交于点K、Q，交于点T，∵，∴，∴，，同理：，，，∵，∴．典例4如图，已知是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则的横坐标是．【答案】【分析】先表示（1，0），（2，0），（3，0），…（n，0），（1，），（2，1），（3，），…（n，），过作⊥x轴，垂足为，利用平行线分线段成比例定理计算的坐标，多计算两个，确定其规律即可．【详解】∵，∴（1，0），（2，0），（3，0），…（n，0），∴（1，），（2，1），（3，），…（n，），过作⊥x轴，垂足为，∴∥∥，∴：=：=：，∴：=：1，∴==，∴即的横坐标为；过作⊥x轴，垂足为，∴∥∥，∴：=：=：∴：=1：，∴==，∴即的横坐标为；由此得到的横坐标是，故答案为：．

1．如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．【详解】解：∵DGBC，∴，故A选项错误；∵DGBC，∴，故B选项错误；∵EHAB，∴，故C选项正确；∵EHAB，∴，故D选项错误．故选：C．2．如图，已知，那么下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴，A选项错误；，B选项错误；，∴，C选项正确；，D选项错误．故选：C．3．如图，直线被三条平行线所截，交点如图所示，若，则的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：∵AD∥BE∥CF，∴，又AB=1.5，AC=6，DE=2，∴，∴DF=8，经检验：DF=8符合题意，∴EF=DFDE=6，故选B．4．如图，已知直线，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、B、C、D、E、F，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：∵DE=7，EF=10，∴DF=17，，，故选：C．5．如图，，则的长为（

）A．4 B．3 C．2.5 D．2【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可求出的长．【详解】解：，，即，．故选：B．6．如图，已知，，则下列比例式中错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平行线分线段成比例定理逐项判断即可．【详解】∵，∴，∵，∴，∴，故A正确，不符合题意．∵，∴，即，∵，∴，即，∴，故B正确，不符合题意．∵，∴，∴，故C正确，不符合题意．∵，∴，∵不一定等于．∴不一定成立．故D错误，符合题意．故选：D．7．如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC边上的点，连接DE，且DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断；【详解】解：，∴，∴，故选：．8．在中，点、分别在边、的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．【详解】解：当时，DE∥BC，A选项正确；当时，DE∥BC，B、C选项错误；当时，DE∥BC，D选项错误；故选：A．9．如图，在△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，由平行线分线段成比例逐一分析之．【详解】∵四边形AFDE是平行四边形，∴DF∥AC，∴，故A正确；∵DE∥AF∴，故B正确；∵DF∥AC，∴又四边形AFDE是平行四边形∴AF=DE∴，故D正确；∵DF∥AC，∴，故C错误；故选:C．10．有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．【详解】解：如图所示，过C点分别向