专题05二元一次方程组（中等类型）

专题05二元一次方程组【专题过关】类型一、二元一次方程的解求参【解惑】若是方程的解，则a的值为（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】将代入二元一次方程中即可求出结论．【详解】解：将代入方程中，得：，解得：，故选：B．【点睛】本题主要考查的是根据二元一次方程的解，求方程中的参数，掌握二元一次方程解的定义是解决此题的关键．【融会贯通】1．已知是二元一次方程组的解，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】将代入二元一次方程组可得：，计算出的值即可得到答案．【详解】解：将代入二元一次方程组可得：，解得：，，故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，根据题意求出的值是解题的关键．2．如果方程组的解为那么被“★、■”遮住的两个数分别为（

）A．3，10 B．4，10 C．10，4 D．10，3【答案】C【分析】把代入先求出被“■”遮住的数，再把x，y的值代入求出被“★”遮住的数．【详解】解：把代入得，∴∴被“■”遮住的数是4；再把代入得：，∴被“★”遮住的数是10．故选C．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解题意，利用代入法求解．3．小亮解方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则两个数●与★的值分别为（

）A．8， B．8，2 C．，2 D．，【答案】A【分析】把代入方程组中第二个方程求出y的值，即为“★”表示的数，再将x与y的值代入第一个方程求出“●”表示的数即可．【详解】解：把代入中，得：，把，代入得：，则“●”“★”表示的数分别为8，．故选A．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程之间解的关系．4．已知是方程组的解，则．【答案】【分析】将代入方程组中的两个方程，得到两个一元一次方程，即可求解．【详解】解：∵是方程组的解，∴将代入①，得，∴，将代入②，得，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键是把和的值代入方程，得到一元一次方程．5．若关于x，y的二元一次方程组的解也是的解，则k的值为．【答案】4【分析】让得：，根据，得出，求出即可．【详解】解：，得：，又∵，∴，解得：，∴k的值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用整体思想得出．类型二、年龄问题【解惑】学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（

）A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10【答案】A【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解．【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，由题意可得：，解得：．故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．【融会贯通】1．一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是．【答案】26【分析】设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，根据学生今年年龄减年龄差等于2，老师今年年龄加年龄差等于38，列出二元一次方程组即可．【详解】解：设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，依题意得：，解得：．故答案为：26．【点睛】本题考查二元一次方程组，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出方程组是解题的关键．2．六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大岁．【答案】12【分析】设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意列出二元一次方程组并求解即可计算甲比乙大多少岁．【详解】解：设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意，可得，解得，∴甲比乙大2412=12岁．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组．3．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是岁．【答案】15【分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可．【详解】设此时弟弟岁，哥哥岁，由题意：，解得：，∴此时哥哥的年龄是15岁，故答案为：15．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，准确建立二元一次方程组并求解是解题关键．4．甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是．【答案】42岁，23岁【分析】设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁，依题意，得：，解得：．答：甲现在42岁，乙现在23岁．故答案为：42岁，23岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则解得答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．类型三、分配问题【解惑】某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（

）A．34本 B．22本 C．24本 D．32本【答案】B【分析】设人数为，图书为，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本列出方程组解答即可．【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：，解得：，故选：B【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【融会贯通】1．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能便生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓人，生产螺帽人，则列方程组得．【答案】【分析】根据某车间有90名工人，一个螺栓配套两个螺帽，列二元一次方程组即可．【详解】解：根据题意，得，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．2．某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？【答案】应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套【分析】设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，根据3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，列出二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，由题意得：，解得：，答：应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．眼镜厂共有工人48人，每位工人每天能生产镜片40片或镜架28副．怎样分配工人能使一天生产的镜片和镜架配套？【答案】分配28人生产镜片，20人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套．【分析】设分配人生产镜片，人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套，根据共有工人48人，镜片数量镜架数量，列出二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：设分配人生产镜片，人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套，由题意得：，解得：，答：分配28人生产镜片，20人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．列方程组解应用题用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？【答案】16张制盒身，20张制盒底【分析】设用x张制盒身，y张制盒底可以使盒身与盒底正好配套，根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮列方程组求解即可．【详解】解：设用x张制盒身，y张制盒底可以使盒身与盒底正好配套根据题意得或解得：答：用16张制盒身，20张制盒底可以使盒身与盒底正好配套．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．5．某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，那么第一车间人数就是第二车间人数的，求原来每个车间的人数．【答案】第一车间的人数为170人，第二车间的人数为250人【分析】设原来第一车间有x人，第二车间有y人．根据已知数量关系列二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：设原来第一车间有x人，第二车间有y人．由题意得，解得：．答：原来第一车间的人数为170人，第二车间的人数为250人．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．类型四、和差倍分问题【解惑】不考虑优惠，买2本笔记本和3支水笔共需22元，买4本笔记本和3支水笔共需38元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（

）A．10元 B．8元 C．5元 D．3元【答案】A【分析】设每个笔记本x元，每支水笔y元，根据题意列出方程组求解即可．【详解】解：设每个笔记本x元，每支水笔y元，根据题意得：，解得：，所以每个笔记本8元，每支水笔2元，则购买1本笔记本和1支水笔共需：（元），故选：A．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，正确理解题意找出关系量列出方程组是解题的关键．【融会贯通】1．某校七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍，则该校七年级学生共有（

）人．A．72人 B．80人 C．96人 D．100人【答案】C【分析】设参加者为x人，未参加者为y人，根据参加者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍列出方程组求解即可．【详解】解：设参加者为x人，未参加者为y人，由题意得，，解得，∴，∴该校七年级学生共有96人，故选C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．2．一批书分给一组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，这批书共有本．【答案】60【分析】可设书有x本，学生有y人，根据总本数相等和每人分6本，那么还差6本，如果每个学生分5本，那么还多5本可列出方程组，求解即可．【详解】解：设书有x本，学生有y人，根据题意得，解得，答：这批书共有60本，故答案为：60．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．3．为做好疫情防控工作，某单位计划再购买甲、乙两种新型额温枪．若购买1支甲种额温枪和2支乙种额温枪共需700元，购买2支甲种额温枪和3支乙种额温枪共需1160元．试求出甲、乙两种额温枪的单价各多少元．【答案】每支甲种额温枪220元，每支乙种额温枪240元【分析】设甲种额温枪的单价为元，乙种额温枪的单价为元，根据“购买1支甲种额温枪和2支乙种额温枪共需700元，购买2支甲种额温枪和3支乙种额温枪共需1160元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设每支甲种额温枪x元，每支乙种额温枪y元，根据题意得，解得，经检验，符合题意．答：每支甲种额温枪220元，每支乙种额温枪240元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．“绿水青山就是金山银山”，保护环境从日常出行做起．我市实行限行政策后，某天小林在某停车场观察到：该停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，已知停车场的车轮总数为110个，求三轮车和小轿车各有多少辆？（请用二元一次方程组解答）【答案】停车场有三轮车10辆，小轿车20辆【分析】设停车场有三轮车x辆，小轿车y辆，根据停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，停车场的车轮总数为110个，列出方程组进行求解．【详解】解：设停车场有三轮车x辆，小轿车y辆．由题意得：，解得：；答：停车场有三轮车10辆，小轿车20辆．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．5．为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．(1)求A，B两种品牌足球的单价．(2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？【答案】(1)A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元(2)学校最少需要花费2120元【分析】（1）根据购买6个品牌的足球和4个品牌的足球共需960元；购买5个品牌的足球和2个品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）设购买种品牌的足球个，则两种品牌的足球个，然后根据购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到的取值范围，再依次代入计算可得结果．【详解】（1）解：设种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元，由题意可得：，解得，答：种品牌的足球单价为80元，种品牌的足球单价为120元；（2）若购品牌的足球个，则购买品牌的足球个，则共需要元，购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，购买品牌的足球有3个或4个或5个或6个或7个，分别代入可得：当购买品牌的足球7个时，式子取得最小值，原式，答：学校最少需要花费2120元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的代数式．类型五、古代问题【解惑】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为.【答案】7人【分析】设共有x人，价格为y钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：设共有x人，价格为y钱，依题意得：，解得：，答：物品价格为53钱，共同购买该物品的人数有7人,故答案为：7．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．【融会贯通】1．“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六；问人数、鸡价各几何?”（《九章算术》），题目的大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出九枚铜钱，则多了11枚钱；每人出六枚铜钱，则少了16枚铜钱，那么有几个人共同买鸡?鸡的价钱是多少?设有x人，鸡的价钱为y钱，则根据题意可列出方程组．【答案】【分析】根据每人出九枚铜钱，则多了11枚钱得；每人出六枚铜钱，则少了16枚铜钱得，由此列得方程组．【详解】解：设有x人，鸡的价钱为y钱，则，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何，”其大意是“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问鸡兔各有多少只？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为．【答案】【分析】根据“一共有35个头，94条腿”列方程组即可．【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．3．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而亦钱六十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱60．甲、乙两人各带了多少钱？【答案】甲带了45钱，乙带了30钱．【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱60．”列方程组求解即可．【详解】解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意，得，解得．∴甲带了45钱，乙带了30钱．【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键．4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十二枚，称之重适等.交易其二，金轻二十四两.问金、银一枚各重几何?”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银12枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换2枚后，甲袋比乙袋轻了24两(袋子重量忽略不计)，问：黄金、白银每枚各重多少两?【答案】黄金每枚重24两，白银每枚重18两【分析】设黄金每枚重两，白银每枚重两，根据两袋互相交换2枚后，甲袋比乙袋轻了24两可列方程，即可解得答案．【详解】解：设黄金每枚重两，白银每枚重两，根据题意列方程得，，解得，答：黄金每枚重24两，白银每枚重18两．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出等量关系，正确列出方程组．5．我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题．【答案】共有126家共同买牛，牛价为3750个钱【分析】设有x家，牛价为y个钱，然后根据题意可列二元一次方程组进行求解．【详解】解：设有x家，牛价为y个钱，根据题意，得：，解得：，答：共有126家共同买牛，牛价为3750个钱．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意．类型六、方案问题【解惑】在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下购买情况：免洗手消毒液84消毒液总花费第一次购买40瓶90瓶1320第二次购买60瓶120瓶1860求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？【答案】每瓶免洗手消毒液的价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元【分析】设每瓶免洗手消毒液的价格是元，每瓶84消毒液的价格是元，根据总价单价数量，结合两次购买的数量及总花费，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设每瓶免洗手消毒液的价格是元，每瓶84消毒液的价格是元，依题意得：，解得：．答：每瓶免洗手消毒液的价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系列出方程组．【融会贯通】1．小李在某商场购买A、B两种商品若干次（每次A、B商品都买），三次购买A、B商品的数量和费用如下表所示：购买A商品的数量/个购买B商品的数量/个购买总费用/元第一次65980第二次37940第三次660(1)求A、B商品的标价各是多少元？(2)小李第三次购买方案可能有哪几种？【答案】(1)商品的标价是80元，商品的标价是100元(2)见解析【分析】（1）设商品的标价为元，商品的标价为元，根据前两次购物的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据总价单价数量，列出关于，的二元一次方程，求出正整数解，即可得出各购买方案．【详解】（1）解：设商品的标价是元，商品的标价是元，依题意得：，解得：，答：商品的标价是80元，商品的标价是100元；（2）依题意得：，整理得：，又，均为正整数，或，购买方案可能有2种，①购买商品2件，商品5件；②购买商品7件，商品1件．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．2．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有36吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若A型车每辆需租金110元/次，B型车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨；(2)最省钱的租车方案为：租用12辆A型车，最少租车费为1320元．【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据“一次性运36吨货物，且恰好每辆车都载满货物”，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出各租车方案，再求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨，依题意得：，解得：．答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨；（2）解：依题意得：，．又，均为自然数，或或或，共有4种租车方案，方案1：租用9辆B型车，所需总租金为（元；方案2：租用4辆A型车，6辆B型车，所需总租金为（元；方案3：租用8辆A型车，3辆B型车，所需总租金为（元；方案4：租用12辆A型车，所需总租金为（元．，最省钱的租车方案为：租用12辆A型车，最少租车费为1320元．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的实际应用和二元一次方程有整数解的实际意义．在解与实际问题有关的二元一次方程组时，要结合未知数的实际意义求解．3．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．(1)购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？(2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？【答案】(1)购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元；(2)该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件．【分析】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据“若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，根据总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于a、b的二元一次方程，再由a、b均为不小于12的正整数，即可找出各进货方案．【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据题意得：，解得：．答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元；（2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，根据题意得：，化简得：，即．∵a、b均为不小于12的正整数，∴当时，；当时，；当时，；当时，．答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程．4．已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．(3)若A型车每辆租金1000元/次，B型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费．【答案】(1)一辆A型车装满货物一次可运货吨，一辆B型车装满货物一次可运货吨，(2)可租用A型车9辆，B型车1辆；租用A型车5辆，B型车4辆；租用A型车1辆，B型车7辆(3)最省钱的租车方案为：租用A型车1辆，B型车7辆，费用为元【分析】（1）设一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货吨，根据题意建立二元一次方程组即可求解；（2）根据货物总重量可得，即可求解；（3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解．【详解】（1）解：设一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货吨则解得：答：一辆A型车装满货物一次可运货吨，一辆B型车装满货物一次可运货吨，（2）解：由题意得：即：∵只能取整数∴答：可租用A型车9辆，B型车1辆；租用A型车5辆，B型车4辆；租用A型车1辆，B型车7辆（3）解：（元）；（元）；（元）；∴最省钱的租车方案为：租用A型车1辆，B型车7辆，费用为元【点睛】本题考查了二元一次方程组与方案问题．正确理解题意是解题关键．5．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(2)如果租用A型车a辆，B型车b辆，请你帮该物流公司设计租车方案．【答案】(1)1辆A型车一次可运货3吨，1辆B型车一次可运货4吨(2)租用A型车1辆，B型车7辆或租用A型车5辆，B型车4辆或租用A型车9辆，B型车1辆【分析】（1）设1辆型车一次可运货吨，1辆型车一次可运货吨，由“用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨”列出方程组可求解；（2）由“现有31吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物”列出方程，求出正整数解，即可求解．【详解】（1）解：设1辆型车一次可运货吨，1辆型车一次可运货吨，由题意可得：，解得：，答：1辆型车一次可运货3吨，1辆型车一次可运货4吨．（2）由题意可得：，，为正整数，，或，或，，答：租用型车1辆，型车7辆或租用型车5辆，型车4辆或租用型车9辆，型车1辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，找出正确的等量关系是解题的关键．类型七、行程问题【解惑】甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发后，大客车从乙地出发相向而行，又经过两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行，设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设大客车每小时行，小轿车每小时行，根据小轿车比大客车每小时多行20千米，甲车行驶2小时，两车相向行驶4小时共走了880千米，据此列方程组求解．【详解】解：设大客车每小时行，小轿车每小时行，由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．【融会贯通】1．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为里/小时．【答案】60【分析】设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．【详解】解：戴宗顺风行走的速度为：（里小时），戴宗逆风行走的速度为：（里小时），设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，由题意得：，解得：，设戴宗的速度为60里小时，答：戴宗的速度为60里小时．故答案为：60．【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．2．小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变，小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分，下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间．小明：如果我骑车，你步行，那么我从家到学校比你少用4分钟小红：如果我俩都步行，那么我从家到学校比你少用2分钟．【答案】小明从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟．【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．根据这两个等量关系可列出方程组．【详解】解：设小明同学从家到学校的路程为x米，小红从家到学校所需时间是y分钟．由题意，得，解得，答：小明从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟．【点睛】本题是二元一次方程组的应用，解题关键是找出题中存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．3．从王老师家到学校有一段上坡路、一段的平路和一段下坡路，王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需，从学校到家需．求从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程．【答案】从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为【分析】设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解．【详解】解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意得，解得：答：从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．4．某校组织学生乘汽车去野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；返回时先以40km/h的速度下坡，后以50km/h的速度走平路，共用了6h，学校距离野营地有多远？【答案】270km【分析】设平路xkm，坡路ykm，根据题意列出二元一次方程组求解即可．【详解】设平路xkm，坡路ykm，据题意得解得：．答：学校距离野营地有270km．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用（行程问题）．方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解．5．甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，(1)求小车和摩托车的速度．(2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？【答案】(1)小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时(2)小时或小时或小时或小时【分析】（1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度；（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：1小时20分小时．设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，根据题意得：，解得：．答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为45千米时；（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，根据题意得：或或或，解得：或或或．答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解．类型八、工程问题【解惑】现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．(1)根据题意，甲列出的方程组为分析甲所列的方程组，请指出未知数x，y表示的意义，x表示，y表示；(2)若设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m，n的值．【答案】(1)A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数(2)；60，120【分析】（1）根据所列的方程组，结合题意，作答即可；（2）根据有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成，得到，根据共用时20天得到：，即可得出方程组，再求解即可．【详解】（1）解：由题意和所列方程组可知：x表示A工程队整治河道的天数，表示：B工程队整治河道的天数，故答案为：A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数；（2）设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，由题意，得：，解得：．即m，n的值分别为60，120．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键．【融会贯通】1．威宁彝族回族苗族自治县，隶属于贵州省毕节市，是中国最贫困县之一，也是脱贫攻坚精准扶贫县．威宁县土地资源丰富，加上日照强、温差大的气候特点，很适宜发展高山冷凉蔬菜种植．蔬菜成熟季，威宁县冷冻蔬菜种植作业大队紧锣密鼓的开展采摘工作．据评估，如果甲乙两个作业队合作采摘，那么天可完成，如果甲队先做天后，剩下的采摘任务由乙单独承担，还需天才能完成．问甲乙两个作业队单独完成此项采摘工作各需多少天？【答案】甲队单独完成此项采摘工作需天，乙队单独完成此项采摘工作需天【分析】根据题意，设甲的工作效率为，乙的工作效率为，由题目中的数量关系列二元一次方程组求解即可．【详解】解：设甲的工作效率为，乙的工作效率为，∴，解得，，∴甲队单独完成此项采摘工作需天，乙队单独完成此项采摘工作需天．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握工程问题与二元一次方程组的综合运用是解题的关键．2．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．）【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元(2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得；（2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得．【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，解得，答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元．（2）解：甲单独完成：（元）乙单独完成：（元）甲、乙两队完成：（元），∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算．3．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治现有一段长米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成甲工程队每天整治米，乙工程队每天整治米，共用时天求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据题意，得②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______；则可列方程组为请你补全小明、小华两位同学的解题思路．(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．【答案】(1)①，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数(2)见解析【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义；（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．【详解】（1）解：①，故答案为：，；②表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；（2）解：选择①解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．则，解得，经检验，符合题意．答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．选择②设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则，解得，经检验，符合题意．甲整治的河道长度：(米)；乙整治的河道长度：(米)．答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12m,乙工程队每天整治8m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？【答案】【分析】设甲、乙两工程队分别整治了米和米，根据总共整治180米，与甲工程队每天整治12m,乙工程队每天整治8m,共用时20天，列出关于和的二元一次方程，解出即可．【详解】解：设甲、乙两工程队分别整治了米和米，根据题意列方程得，解得，答：甲工程队整治了60米，乙工程队整治了120米．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．5．某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成(1)乙车间单独完成这批防护服需几天？(2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？【答案】(1)24(2)125【分析】（1）根据题意设甲乙每天生产的数量为x、y，可得y=，根据工作效率=工作量÷工作时间，可得乙车间单独完成这批防护服需24天；（2）根据甲乙车间工作效率关系可求．【详解】（1）解：设甲每天生产x套，则总任务为15x套，乙每天生产y套，则（155）x+（1525）y=15x，整理得10x+8y=15x，∴y=，∴15x=，答：乙车间单独完成这批防护服需24天．（2）解：（套）答：乙车间平均每天生产防护服125套．【点睛】本题考查了工程问题，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解题的关键．类型九、销售利润问题【解惑】在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元，支出是y元．依题意列方程组．【答案】【分析】审题，明确等量关系，建立方程组．【详解】解：由题意知，今年收入为，今年支出，故故答案为：【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键．【融会贯通】1．某药店用3000元购进甲、乙两种体温计，体温计卖出后，甲种体温计的利润率是，乙种体温计的利润率是，两种体温计共获利675元，若甲种体温计的进价为每支2元，乙种体温计的进价为每支5元，则甲、乙两种体温计共购进支．【答案】1050【分析】设甲种体温计购进x支，乙种体温计购进y支,根据共用3000元，共获利675元列出二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设甲种体温计购进x支，乙种体温计购进y支,根据题意得，，解得，，则（支），所以，甲、乙两种体温计共购进1050支．故答案为：1050．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价、标价如表所示：A种B种进价（元/件）60100标价（元/件）100160(1)这两种服装各购进的件数；(2)如果A中服装按标价的7折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，求服装店的利润．【答案】(1)A种服装购进50件，B种服装购进30件(2)1340元【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可求解．（2）由（1）得：A种服装购进50件，B种服装购进30件，再利用数量关系即可求解．【详解】（1）解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件，依题意得：，解得：．答：A种服装购进50件，B种服装购进30件．（2）（元）．答：服装店的利润为1340元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列出二元一次方程组是解题的关键．3．某企业准备生产一批航天模型玩具投放市场，若按定价销售该玩具，每件可获利30元；若按定价的八折销售该玩具6件与将定价降低10元销售该玩具3件获得利润相同．(1)求该航天玩具模型每件的定价与成本价．(2)若现按定价销售这种航天模型玩具600件，销售一部分后发现生意火爆，又将每件航天玩具模型提价10元，很快销售完，要想利润不低于22000元，提价前应最多销售多少件玩具？【答案】(1)该航天玩具模型每件的定价为100元，成本价为70元(2)提价前应最多销售200件玩具【分析】（1）设该航天玩具模型每件的定价为m元，成本价为n元，根据“若按定价销售该玩具，每件可获利30元；若按定价的八折销售该玩具6件与将定价降低10元销售该玩具3件获得利润相同”建立方程组，求解即可；（2）设提价前应销售x件玩具，根据利润不低于22000元，建立不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设该航天玩具模型每件的定价为m元，成本价为n元，根据题意得，，解得，∴该航天玩具模型每件的定价为100元，成本价为70元；（2）设提价前应销售x件玩具，则提价后销售件玩具，根据题意可知，，解得，，∴提价前应最多销售200件玩具．【点睛】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．4．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进、两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：类型进价（元/袋）售价（元/袋）种大米2030种大米3045(1)该超市在3月份购进、两种大米共70袋，进货款恰好为1800元．①求这两种大米各购进多少袋；②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元．(2)超市决定在4月份销售、两种大米共盈利100元（，两种品种都有购进），请你帮助设计一下进货方案，并写出来．【答案】(1)①购进A种大米30袋，B种大米40袋；②600元(2)方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋；方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋；方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋【分析】（1）①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意，列出方程组，即可求解；②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“两种大米的销售总额为900元，”可得，即可求解；（2）设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“销售、两种大米共盈利100元”得到关于x，y的方程，再根据x，y均为正整数，即可求解．【详解】（1）解①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意得：，解得：答：购进A种大米30袋，B种大米40袋；②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据题意得：，即，∴超市3月份已售出大米的进货款为元；（2）解：设购进A种大米x袋，B种大米y袋，根据题意得：，整理得：，即，∴是3的倍数，∵x，y均为正整数，∴或或，∴方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋；方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋；方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋．【点睛】本题主要考查了二元一次方程