习题课4　电磁感应中的电路、电荷量及图像问题 教学设计

习题课4电磁感应中的电路、电荷量及图像问题题型一电磁感应中的电路问题1．明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路。2．画等效电路图，分清内、外电路。3．用法拉第电磁感应定律E＝neq\f(ΔΦ,Δt)或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。注意在等效电源内部，电流方向从负极流向正极。4．运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。【例1】如图甲所示，N＝200匝的线圈(图中只画了2匝)，电阻r＝2Ω，其两端与一个R＝48Ω的电阻相连。线圈内有垂直于纸面向里的磁场，磁通量按图乙所示的规律变化。下列选项正确的是()A．电阻R两端b点比a点电势高B．电阻R两端的电压大小为10VC．0.1s时间内非静电力所做的功为0.2JD．0.1s时间内通过电阻R的电荷量为0.05C[解析]由题图乙可知，线圈中的磁通量增加，根据楞次定律，线圈中产生逆时针方向的电流，所以电阻R两端b点比a点电势低，A错误；线圈产生的感应电动势为E＝Neq\f(ΔΦ,Δt)＝200×eq\f(0.015－0.010,0.1)V＝10V，电阻R两端的电压大小为U＝eq\f(R,R＋r)E＝9.6V，B错误；根据功能关系，非静电力所做的功转化为电路的电能，有W＝EIt＝eq\f(E2,R＋r)t＝0.2J，0.1s时间内通过电阻R的电荷量为q＝eq\f(W,E)＝eq\f(0.2,10)C＝0.02C，C正确，D错误。[答案]C【例2】把总电阻为R＝4Ω的均匀电阻丝焊接成一半径为a＝0.5m的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B＝1T的匀强磁场中，如图所示，一长度为L＝1.0m，电阻为r＝2Ω，粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒在外力的作用下以恒定速度v＝6m/s向右移动经过环心O时，求：(1)金属棒上电流的大小及金属棒两端的电压UMN。(2)圆环消耗的热功率。[解析](1)金属棒运动产生电流，它相当于电源，内阻为r，电动势为E＝BLv＝6V，画出等效电路图如图所示，根据右手定则，金属棒中电流从N流向M，所以M相当于电源的正极，N相当于电源的负极。外电阻R外＝eq\f(\f(R,2)×\f(R,2),\f(R,2)＋\f(R,2))＝eq\f(R,4)由闭合电路欧姆定律得电流大小I＝eq\f(E,R外＋r)＝eq\f(E,\f(R,4)＋r)＝2A金属棒两端的电压UMN＝eq\f(IR,4)＝2V。(2)圆环消耗的热功率P＝I2R外＝I2eq\f(R,4)＝4W。[答案](1)2A2V(2)4W[针对训练1]如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场。当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为()A.eq\r(2)BRv B.eq\f(\r(2),2)BRvC.eq\f(\r(2),4)BRv D.eq\f(3\r(2),4)BRv解析：选D。设整个圆环的电阻为r，圆环位于题图所示位置时，电路的外电阻是圆环总电阻的eq\f(3,4)，即磁场外的部分，而在磁场内切割磁感线的有效长度是eq\r(2)R，其相当于电源，E＝B·eq\r(2)R·v，由右手定则可知a点电势高于b点电势，根据闭合电路欧姆定律可得Uab＝eq\f(\f(3,4)r,r)E＝eq\f(3\r(2),4)BRv，D正确。题型二电磁感应中的电荷量问题闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内迁移的电荷量(感应电荷量)q＝I·Δt＝eq\f(E,R总)·Δt＝neq\f(ΔΦ,Δt)·eq\f(1,R总)·Δt＝eq\f(nΔΦ,R总)。(1)从上式可知，线圈匝数一定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关。(2)求解电路中通过的电荷量时，I、E均为平均值。【例3】物理实验中，常用一种叫作“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量。如图所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度。已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R。若将线圈放在被测匀强磁场中，开始线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可测出被测磁场的磁感应强度为()A.eq\f(qR,S) B.eq\f(qR,nS)C.eq\f(qR,2nS) D.eq\f(qR,2S)[解析]由法拉第电磁感应定律E＝neq\f(ΔΦ,Δt)，闭合电路欧姆定律I＝eq\f(E,R)，电荷量的公式q＝It，联立可得q＝neq\f(ΔΦ,R)，由于开始线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，则有ΔΦ＝2BS；所以由以上公式可得q＝eq\f(2nBS,R)，则磁感应强度B＝eq\f(qR,2nS)，故C正确，A、B、D错误。[答案]C[针对训练2]如图所示，将一个闭合金属圆环从有界匀强磁场中匀速拉出，第一次速度为v，通过金属圆环某一截面的电荷量为q1，第二次速度为2v，通过金属圆环某一截面的电荷量为q2，则()A．q1∶q2＝1∶2B．q1∶q2＝1∶4C．q1∶q2＝1∶1D．q1∶q2＝2∶1解析：选C。由q＝I·Δt＝eq\f(ΔΦ,ΔtR)·Δt得q＝eq\f(ΔΦ,R)＝eq\f(B·S,R)，S为圆环面积，故q1＝q2。题型三电磁感应中的图像问题1．问题类型(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像。(2)由给定的图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量。2．图像类型(1)各物理量随时间t变化的图像，即B－t图像、Φ－t图像、E－t图像和I－t图像。(2)导体切割磁感线运动时，还涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移变化的图像，即E－x图像和I－x图像。3．解决此类问题需要熟练掌握的规律：安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律等。【例4】如图甲所示，矩形线圈abcd位于匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈所在平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。以图中箭头所示方向为线圈中感应电流i的正方向，以垂直于线圈所在平面向里为磁感应强度B的正方向，则下列图中能正确表示线圈中感应电流i随时间t变化规律的是()[解析]由法拉第电磁感应定律和欧姆定律得I＝eq\f(E,R)＝eq\f(ΔΦ,RΔt)＝eq\f(S,R)·eq\f(ΔB,Δt)，所以线圈中的感应电流决定于磁感应强度B随t的变化率，B－t图像的斜率为eq\f(ΔB,Δt)，故在2～3s内感应电流的大小是0～1s内的2倍。再由B－t图像可知，0～1s时间内，B增大，Φ增大，由楞次定律知，感应电流的磁场与原磁场方向相反(感应电流的磁场方向向外)，由安培定则知，感应电流是逆时针的，因此是负值。所以可判断感应电流在0～1s内为负的恒定值，1～2s内为0，2～3s内为正的恒定值，C正确。[答案]C【例5】如图所示，一底边长为L，底边上的高也为L的等腰三角形导体线框以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过长为2L、宽为L的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。t＝0时刻，三角形导体线框的底边刚进入磁场，取沿逆时针方向的感应电流为正方向，则在三角形导体线框穿过磁场区域的过程中，感应电流i随时间t变化的图线可能是()[解析]根据E＝BL有v，I＝eq\f(E,R)＝eq\f(BL有v,R)可知，三角形导体线框进、出磁场时，有效长度L有都变小，则I也变小。再根据楞次定律及安培定则，可知进、出磁场时感应电流的方向相反，进磁场时感应电流方向为正方向，出磁场时感应电流方向为负方向，故A正确。[答案]A[针对训练3]如图甲所示，一根电阻R＝4Ω的导线绕成半径d＝2m的圆，在圆内部分区域存在变化的匀强磁场，中间“S形”虚线是两个直径均为d的半圆，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示(磁场垂直于纸面向外为正，电流逆时针方向为正)，关于圆环中的感应电流—时间图像，下列选项正确的是()解析：选C。0～1s内，感应电动势为E1＝Seq\f(ΔB,Δt)＝eq\f(πd2,2)×eq\f(2,1)V＝4πV，感应电流大小为I1＝eq\f(E1,R)＝eq\f(4π,4)A＝πA，由楞次定律知，感应电流为顺时针方向，为负值，故C正确，A、B、D错误。[A级——基础达标练]1．如图所示，面积为0.2m2的100匝线圈处在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，已知磁感应强度随时间变化的规律为B＝(2＋0.2t)T，定值电阻R1＝6Ω，线圈电阻R2＝4Ω，则a、b两点间电压Uab＝()A．2.4V B．0.024VC．4V D．1.6V解析：选A。由法拉第电磁感应定律，线圈中感应电动势E＝eq\f(nΔΦ,Δt)＝eq\f(nSΔB,Δt)＝100×0.2×0.2V＝4V，感应电流I＝eq\f(E,R1＋R2)＝eq\f(4,6＋4)A＝0.4A，所以a、b两点间电压即路端电压Uab＝IR1＝0.4×6V＝2.4V。2．(2022·周至县二中高二期末)如图所示，一宽40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里。一边长为20cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v＝20cm/s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行，取它刚进入磁场的时刻为t＝0，在下列图线中，能正确反映感应电流随时间变化规律的是()解析：选C。设磁场宽度为d，线框宽度为L，线框进入磁场过程：时间为t1＝eq\f(L,v)＝1s，根据楞次定律判断可知感应电流方向是逆时针方向，取为正方向，感应电流大小为i＝eq\f(BLv,R)，知i不变。线框完全在磁场中运动过程：磁通量不变，没有感应电流产生，经历时间为t2＝eq\f(d－L,v)＝1s。线框穿出磁场过程：时间为t3＝eq\f(L,v)＝1s，感应电流方向是顺时针方向，为负方向，感应电流大小为i＝eq\f(BLv,R)，i不变。3．如图所示，一个有矩形边界的匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里。一个三角形闭合导线框，由位置1(左)沿纸面匀速运动到位置2(右)。取线框刚到达磁场的时刻为计时起点(t＝0)，规定逆时针方向为电流的正方向，则下图中能正确反映线框中电流与时间关系的是(线框底边长度小于磁场区域宽度)()解析：选A。线框进入磁场的过程，磁通量向里增加，根据楞次定律得知感应电流的磁场向外，由安培定则可知感应电流方向为逆时针，电流i应为正值，故B、C错误；线框进入磁场的过程，线框的有效切割长度先均匀增大后均匀减小，由E＝BLv，可知感应电动势先均匀增大后均匀减小；线框完全进入磁场后的过程，磁通量不变，没有感应电流产生。线框穿出磁场的过程，磁通量向里减小，根据楞次定律得知感应电流的磁场向里，由安培定则可知感应电流方向为顺时针，电流i应为负值；线框的有效切割长度先均匀增大后均匀减小，由E＝BLv，可知感应电动势先均匀增大后均匀减小，故A正确，D错误。4．(多选)在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1500匝，横截面积S＝20cm2。螺线管导线电阻r＝1.0Ω，R1＝4.0Ω，R2＝5.0Ω，C＝30μF。在一段时间内，穿过螺线管的磁场的磁感应强度B按如图乙所示的规律变化，螺线管内的磁场B的方向向下为正方向。则下列说法正确的是()A．螺线管中产生的感应电动势为1VB．闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为5×10－2WC．电路中的电流稳定后电容器下极板带正电D．S断开后，流经R2的电荷量为1.8×10－5C解析：选CD。根据法拉第电磁感应定律E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝neq\f(ΔB,Δt)S＝1500×eq\f(1.0－0.2,2.0)×20×10－4V＝1.2V，A错误；根据闭合电路欧姆定律I＝eq\f(E,R1＋R2＋r)＝eq\f(1.2,4.0＋5.0＋1.0)A＝0.12A，根据P＝I2R1，得R1消耗的功率P＝0.122×4.0W＝5.76×10－2W，B错误；根据楞次定律，从上往下看螺线管感应电流沿逆时针方向，即等效电源为上负下正，所以电路中电流稳定后电容器下极板带正电，C正确；S断开后，流经R2的电荷量即为S闭合时电容器所带电荷量Q，电容器两端的电压等于R2两端电压，故U＝IR2＝0.6V，流经R2的电荷量Q＝CU＝1.8×10－5C，D正确。5．(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置(导轨电阻忽略不计)，间距为l＝1m，cd间、de间、cf间分别接阻值为R＝10Ω的电阻。一阻值为R＝10Ω的导体棒ab以速度v＝4m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B＝0.5T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法正确的是()A．导体棒ab中电流的流向为由b到aB．cd两端的电压为1VC．de两端的电压为1VD．fe两端的电压为1V解析：选BD。由右手定则可判知A错误；由法拉第电磁感应定律得E＝Blv＝0.5×1×4V＝2V，Ucd＝eq\f(R,R＋R)E＝1V，B正确；de、cf间没有电流流过，故Ude＝Ucf＝0，所以Ufe＝Ucd＝1V，C错误，D正确。6．用相同导线制成的边长为L或2L的4个单匝闭合线框如图所示，以相同的速度先后沿垂直于磁场边界的方向穿过正方形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向外，区域宽度大于2L，则进入磁场过程中，感应电流最大的回路是()解析：选C。线框进入磁场过程中，做切割磁感线运动，设切割磁感线的有效长度为d，产生的感应电动势E＝Bdv，根据电阻定律可知，线框的电阻R＝ρeq\f(L总,S)，由闭合电路欧姆定律可知，回路中的感应电流I＝eq\f(E,R)，联立以上各式有I＝eq\f(BSv,ρ)·eq\f(d,L总)，所以线框的eq\f(d,L总)越大，感应电流越大，对照4种图形可知，C正确。7.如图所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面。环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为eq\f(R,2)的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为()A.eq\f(Bav,3) B.eq\f(Bav,6)C.eq\f(2Bav,3) D．Bav解析：选A。导体棒AB摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·eq\f(1,2)v＝Bav。外电路电阻大小为eq\f(\f(R,2)·\f(R,2),\f(R,2)＋\f(R,2))＝eq\f(R,4)，由闭合电路欧姆定律有|UAB|＝eq\f(E,\f(R,2)＋\f(R,4))·eq\f(R,4)＝eq\f(1,3)Bav。[B级——能力增分练]8．(多选)如图甲所示，静止在水平面上的等边三角形闭合金属线框，匝数n＝20匝，总电阻R＝2.5Ω，边长L＝0.3m，处在两个半径均为r＝0.1m的圆形匀强磁场中，线框顶点与右侧圆的圆心重合，线框底边与左侧圆的直径重合。磁感应强度B1垂直于水平面向外，B2垂直于水平面向里，B1、B2随时间t的变化如图乙所示，线框一直处于静止状态，计算过程中π取3，下列说法正确的是()A．线框具有向左运动的趋势B．t＝0时刻穿过线框的磁通量为0.5WbC．t＝0.4s时刻线框中感应电动势为1.5VD．0～0.6s内通过线框横截面的电荷量为0.36C解析：选CD。磁感应强度B1增加，由楞次定律和右手定则可知，线框中的电流为顺时针方向，由左手定则可知，线框所受安培力方向向右，所以线框有向右运动的趋势，A错误；由Φ＝BS可知，t＝0时刻，由磁场B1产生的磁通量Φ1＝B1·eq\f(1,2)πr2＝0.03Wb，方向向外，由磁场B2产生的磁通量Φ2＝B2·eq\f(1,6)πr2＝0.005Wb，方向向里，所以穿过整个线框的磁通量Φ＝Φ1－Φ2＝0.025Wb，B错误；根据法拉第电磁感应定律，t＝0.4s时刻线框中感应电动势E＝neq\f(ΔB1,Δt)·eq\f(1,2)πr2＝20×eq\f(5－2,0.6)×eq\f(1,2)×3×0.01V＝1.5V，C正确；0～0.6s内，通过线框横截面的电荷量q＝n·eq\f(ΔB1·\f(1,2)πr2,R)＝20×eq\f(0.045,2.5)C＝0.36C，D正确。9．如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为eq\f(3,2)l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动。线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是()解析：选D。设线框运动的速度为v，则线框向左匀速运动第一个eq\f(l,2v)的时间内，线框切割磁感线运动产生的电动势为E＝2Bdv(d为导轨间距)，电流i＝eq\f(E,R)，回路中电流方向为顺时针；第二个eq\f(l,2v)的时间内，线框切割磁感线运动产生的电动势为0，电流为0；第三个eq\f(l,2v)的时间内，线框切割磁感线运动产生的电动势为E＝2Bdv，电流i＝eq\f(E,R)，回路中电流方向为逆时针，所以D正确。10．(2022·固原市高二期末)如图所示，水平面上有两根相距0.5m的足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，它们的电阻不计，在M和P之间接有R＝3.0Ω的定值电阻，导体棒长ab＝0.5m，其电阻为r＝1.0Ω，与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，B＝0.4T，现使ab以v＝10m/s的速度向右做匀速运动。(1)ab中的电流为多大？ab两点间的电压为多大？(2)维持ab做匀速运动的外力为多大？(3)ab向右运动1m的