习题课2　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题 教学设计

习题课2带电粒子在磁场中运动的临界极值问题题型一直线边界磁场中的临界和极值问题1．数学方法和物理方法的结合：利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。2．一个“解题流程”，突破临界问题3．从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态予以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。4．几个常用的结论(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。(3)当比荷相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的带电粒子圆心角越大，运动时间越长。【例1】一磁场宽度为L，磁感应强度为B，如图所示，一粒子质量为m，电荷量为－q，不计重力，以一速度v(方向如图)射入磁场。若不使其从右边界飞出，则电荷的速度应为多大？[解析]若要粒子不从右边界飞出，则当达到最大速度时，半径最大，此时运动轨迹如图所示，即轨迹恰好和右边界相切。由几何关系可求得最大半径r，即r＋rcosθ＝L所以r＝eq\f(L,1＋cosθ)由牛顿第二定律得qvB＝eq\f(mv2,r)所以vmax＝eq\f(Bqr,m)＝eq\f(BqL,m（1＋cosθ）)。[答案]0＜v≤eq\f(BqL,m（1＋cosθ）)[针对训练1](多选)长为l的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直于磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是()A．使粒子的速度v＜eq\f(Bql,4m)B．使粒子的速度v＞eq\f(5Bql,4m)C．使粒子的速度v＞eq\f(Bql,m)D．使粒子的速度eq\f(Bql,4m)＜v＜eq\f(5Bql,4m)解析：选AB。如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有req\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r1－\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋l2，又r1＝eq\f(mv1,Bq)，所以v1＝eq\f(5Bql,4m)；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝eq\f(l,4)＝eq\f(mv2,Bq)，v2＝eq\f(Bql,4m)，综合上述分析可知，A、B正确。题型二圆形边界磁场中的临界和极值问题【例2】地磁场可以减少宇宙射线中带电粒子对地球上生物体的危害。为研究地磁场可将其简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，某研究小组模拟了一个地磁场。如图所示，地球半径为R，模拟地磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于赤道平面。A处有一粒子源，可在赤道平面内以速度2v向各个方向射入带正电粒子，该粒子比荷为eq\f(q,m)＝eq\f(v,2BR)。研究发现，沿半径方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应。这时粒子在磁场中运动的时间是()A.eq\f(7πR,90v) B.eq\f(53πR,90v)C.eq\f(37πR,45v) D.eq\f(37πR,180v)[解析]其轨迹如图所示。由qB×2v＝meq\f(（2v）2,r)，解得粒子轨迹半径为r＝eq\f(m×2v,qB)＝4R，设包围地球的匀强磁场厚度为r0，由几何关系可知r2＋(R＋r0)2＝(r＋R)2，解得r0＝2R，圆心角θ＝74°，又T＝eq\f(2πr,2v)，所以粒子在磁场中运动的时间t＝eq\f(74°,360°)×eq\f(2πr,2v)＝eq\f(37πR,45v)，故C正确。[答案]C[针对训练2]如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为()A.eq\r(3)∶2 B.eq\r(2)∶1C.eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)解析：选C。由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝meq\f(v2,R)可知，R＝eq\f(mv,qB)，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点A离P点最远时，AP＝2R1；同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子的磁场出射点B离P点最远时，则BP＝2R2，由几何关系可知，R1＝eq\f(R,2)，R2＝Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R，则eq\f(v2,v1)＝eq\f(R2,R1)＝eq\r(3)，C正确。[针对训练3](多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内(圆心为O)有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)。一群具有相同比荷的负离子以相同的速率由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于R，则下列说法中正确的是(不计离子的重力)()A．从Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长B．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大C．所有离子飞出磁场时的动能一定相等D．在磁场中运动时间最长的离子不可能经过圆心O点解析：选AD。由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为PQ，由Q点飞出的离子圆心角最大，所对应的时间最长，轨迹不可能经过圆心O点，A、D正确，B错误；因洛伦兹力永不做功，故离子在磁场中运动时动能保持不变，但由于不知离子的初动能，故飞出时的动能不一定相等，C错误。题型三其他的临界和极值问题【例3】(2022·大同市高二期末)如图所示，边长为l的正三角形abc(含边界)内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，以大小不等的速度从a点沿ad方向射入磁场，ad与ab的夹角为30°。下列判断正确的是()A．若能从ac边射出，则粒子的速度v≥eq\f(Bql,m)B．若能从bc边射出，则粒子的速度v≤eq\f(Bql,m)C．若粒子的速度v＝eq\f(Bql,m)，则恰好从c点射出D．若粒子所带电荷量为－q，则会从bc的中点射出[解析]粒子刚好能从c点射出，据几何关系R＝l，据牛顿第二定律Bqv＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\f(Bql,m)，若能从ac边射出，则粒子的速度v≤eq\f(Bql,m)，若能从bc边射出，则粒子的速度v≥eq\f(Bql,m)，A、B错误，C正确；粒子带负电，向ab一侧偏转，不会从bc的中点射出，D错误。[答案]C【例4】平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q＞0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为()A.eq\f(mv,2qB) B.eq\f(\r(3)mv,qB)C.eq\f(2mv,qB) D.eq\f(4mv,qB)[解析]粒子在匀强磁场中的运动轨迹示意图如图所示，设出射点为P，粒子运动轨迹与ON的交点为Q，粒子入射方向与OM成30°角，则射出磁场时速度方向与OM成30°角，由几何关系可知，PQ⊥ON，故出射点到O点的距离为轨迹圆直径的2倍，即4R，又粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径R＝eq\f(mv,qB)，故出射点到O点的距离为eq\f(4mv,qB)，D正确。[答案]D[针对训练4](多选)如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝a，在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射同种带负电粒子，粒子的比荷为eq\f(q,m)，发射速度大小都为v0，且满足v0＝eq\f(aqB,m)，发射方向由图中的角度θ表示。对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是()A．在0°＜θ＜30°范围入射的粒子将从AC边界射出B．在AC边界上只有一半区域有粒子射出C．以θ＝0°、θ＝60°入射的粒子在磁场中运动的时间最长D．以60°＜θ＜90°范围飞入的粒子将从AC边界射出解析：选ABC。由左手定则，可知带负电的粒子向右偏转。由qv0B＝meq\f(veq\o\al(2,0),R)和T＝eq\f(2πm,Bq)得R＝a，t＝eq\f(α,2π)T，以θ＝0°、θ＝60°入射的粒子在磁场中运动的时间最长。以60°＜θ＜90°范围飞入的粒子将从AO边界射出，由几何关系得在AC边界上只有一半区域有粒子射出，A、B、C正确，D错误。[A级——基础达标练]1．如图所示，宽为d的有界匀强磁场的边界为PP′、QQ′，一个质量为m、电荷量为q的负电荷沿图示方向以速度v0垂直射入磁场，磁感应强度大小为B，要使粒子不能从边界QQ′射出，粒子的入射速度v0的最大值可能是下面给出的(粒子的重力不计)()A.eq\f(qBd,m)B.eq\f(2qBd,m)C.eq\f(2qBd,3m)D.eq\f(qBd,3m)解析：选C。粒子带负电荷，当粒子轨迹与QQ′相切时，恰好不能从边界QQ′射出，此时速度最大，如图所示，根据几何知识得R＋Rcos60°＝d，解得R＝eq\f(2,3)d，由qvB＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\f(2qBd,3m)。2.如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q(q＞0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足()A．B＞eq\f(\r(3)mv,3aq) B．B＜eq\f(\r(3)mv,3aq)C．B＞eq\f(\r(3)mv,aq) D．B＜eq\f(\r(3)mv,aq)解析：选B。若粒子刚好到达C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝eq\f(a,tan30°)＝eq\r(3)a。由qvB＝eq\f(mv2,r)得r＝eq\f(mv,qB)，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r＞r0，解得B＜eq\f(\r(3)mv,3aq)，B正确。3．如图所示，边界OA与OC之间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一个粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间，有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于eq\f(T,6)(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为()A.eq\f(T,3)B.eq\f(T,2)C.eq\f(2T,3)D.eq\f(5T,6)解析：选B。由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动。粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，弦长也越短，所以从S点作OC的垂线SD，则SD为最短弦，可知粒子从D点射出时运行时间最短，如图所示，根据最短时间为eq\f(T,6)，可知△O′SD为等边三角形，粒子圆周运动半径R＝SD，过S点作OA的垂线交OC于E点，由几何关系可知SE＝2SD，SE为圆弧轨迹的直径，所以从E点射出，对应弦最长，运行时间最长，且t＝eq\f(T,2)，B正确。4．(2022·河北石家庄二中期末)如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)处于垂直于纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，ab＝eq\r(3)L。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，从a点沿ab方向运动，不计粒子重力。求：(1)粒子能通过cd边的最小速度v；(2)粒子能通过cd边的最短时间t。解析：粒子运动轨迹如图所示。(1)粒子能通过cd边，可知粒子以最小速率运动时恰好打在d点，由几何关系可知其半径r1＝eq\f(1,2)L根据qvB＝meq\f(v2,r1)解得v＝eq\f(qBL,2m)。(2)粒子能通过cd边，从c点射出的粒子在磁场中运动的时间最短，根据几何关系(r2－L)2＋(eq\r(3)L)2＝req\o\al(2,2)解得r2＝2L则转过的圆心角sinθ＝eq\f(\r(3)L,2L)＝eq\f(\r(3),2)即θ＝60°粒子在磁场中运动的周期T＝eq\f(2πm,qB)则粒子能通过cd边的最短时间t＝eq\f(θ,360°)T＝eq\f(πm,3qB)。答案：(1)eq\f(qBL,2m)(2)eq\f(πm,3qB)[B级——能力增分练]5．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0T。一质量m＝5.0×10－8kg、电荷量q＝1.0×10－6C的带电粒子从P点沿图示方向以v＝20m/s的速度进入磁场，从x轴上的Q点离开磁场(Q点未画出)。已知OP＝30cm(粒子重力不计，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。(1)求OQ的距离；(2)若粒子不能进入x轴上方，求磁感应强度B′满足的条件。解析：(1)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB＝meq\f(v2,R)得R＝eq\f(mv,qB)＝0.50m而eq\f(OP,cos53°)＝0.50m故圆心一定在