微专题1　运动的合成与分解的两类模型 教学设计

微专题1运动的合成与分解的两类模型类型一小船渡河模型1．小船参与的两个分运动(1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同．(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．2．两类最值问题(1)渡河时间最短问题水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝eq\f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向满足tanθ＝eq\f(v船,v水).(2)渡河位移最短问题情况一：v水＜v船最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq\f(d,v船sinθ)，船头与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水，即cosθ＝eq\f(v水,v船)，如图乙所示．情况二：v水＞v船合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短航程为x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝eq\f(v船,v水).【例1】小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是5m/s.(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin37°＝0.6)(3)如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，应如何航行？[解析](1)因为小船垂直于河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40m＝120m，即小船经过40s，在正对岸下游120m处靠岸．(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝eq\r(veq\o\al(2,船)－veq\o\al(2,水))＝4m/s，经历时间t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s．又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝0.6，即船头指向与河岸的上游所成角度为53°.(3)如果水流速度变为10m/s，如图乙所示，应使v合的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cosθ′＝eq\f(v船,v水)＝eq\f(1,2)，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角．[答案](1)40s正对岸下游120m处(2)船头指向与河岸的上游成53°角50s(3)船头指向与河岸的上游成60°角[针对训练1](2022·湖南永州期末)一艘小船在静水中的速度是3m/s，一条河宽45m，河水流速为4m/s，下列正确的是()A．小船在这条河中运动的最大速度是5m/sB．小船在这条河中运动的最小速度是3m/sC．小船渡过这条河的最短时间是9sD．小船渡过这条河的最小位移是60m解析：选D.当小船在静水中的速度与水流速度同向时，小船速度最大，为7m/s，当小船在静水中的速度与水流速度反向时，小船速度最小，为1m/s，故A、B错误；当小船在静水中的速度与河岸垂直时，渡河时间最短t＝eq\f(d,v静)＝eq\f(45,3)s＝15s，故C错误；因为小船在静水中的速度小于水流速，可知合速度的方向不可能垂直于河岸，则小船不能垂直到对岸，当小船在静水中的速度方向垂直于合速度方向时，位移最小x＝eq\f(v水,v静)d＝60m，故D正确．[针对训练2](多选)一小船要渡过50m宽的河，已知船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s，则以下说法中正确的是()A．小船渡河的位移一定大于50mB．小船渡河的速度一定小于等于5m/sC．小船渡河的最短时间为12.5sD．若船头指向不变，则小船渡河时将做匀速直线运动解析：选CD.船在静水中的速度大于水流速度，故船可以垂直行驶至河岸正对面，这时船的位移就是50m，故A错误；小船的渡河速度与小船的渡河方向有关，当小船顺流而下时，渡河速度就会大于5m/s，故B错误；小船渡河最短时间跟垂直河岸的分运动有关，当垂直河岸的分运动的速度等于小船在静水中的速度时，小船的渡河时间最短，设河宽为d，则渡河时间为t＝eq\f(d,v静)＝12.5s，故C正确；若船头指向不变，小船垂直于河岸的分运动和沿河岸方向的分运动均是匀速直线运动，所以小船的合运动是匀速直线运动，故D正确．类型二“关联”速度1．“关联”速度问题：物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题．2．“关联”速度的分解规律(1)分解依据①物体的实际运动是合运动．②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同．(2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量．(3)常见的速度分解情形【例2】如图所示，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为θ，放手让小球和木块同时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为vA和vB，则()A．vA∶vB＝1∶1B．vA∶vB＝sinθ∶cosθC．vA∶vB＝cosθ∶sinθD．vA∶vB＝sinθ∶tanθ[解析]将vA分解到沿斜面和垂直于斜面两个方向，如图甲所示，则有：v2＝vAcosθ，将vB分解到沿斜面和垂直于斜面两个方向，如图乙所示，则有v2＝vBsinθ，因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度vA和木块的速度vB在垂直于接触面的方向上的投影相等，即：vAcosθ＝vBsinθ，即vA∶vB＝sinθ∶cosθ，B正确．[答案]B【例3】如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平．从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是()A．物体A做减速运动B．物体A做匀速运动C．T小于mgsinθD．T大于mgsinθ[解析]将物体B的速度进行分解，如图，由图可知绳端的速度为v绳＝vsinα，与B的位置有关，因为B为匀速运动，B下降过程中α变大，因此物体A做加速运动，则T大于mgsinθ.[答案]D[针对训练3]如图所示，物体A以速度v沿杆匀速下滑，A用细绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平夹角为θ时，B的速度为()A．vsinθ B．vcosθC.eq\f(v,cosθ) D.eq\f(v,sinθ)解析：选A.将A物体的速度按沿绳和垂直于绳两个方向正交分解，如图所示，可得绳子速率v绳＝vsinθ，而绳子速率等于物体B的速率，则有物体B的速度大小为vB＝v绳＝vsinθ，故A正确，B、C、D错误．[针对训练4](多选)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和小球B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L.由于微小的扰动，A球沿竖直滑槽向下运动，B球沿水平滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是()A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等B．若θ＝45°，则A、B两球的速度大小相等C．vA＝vBtanθD．vA＝vBsinθ解析：选BC.当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度相等，vAcosθ＝vBsinθ，即vA＝vBtanθ.当θ＝45°时，vA＝vB.[A级——合格考达标练]1．小船横渡一条河，船在静水中的速度大小不变，方向始终垂直于河岸．已知小船的部分运动轨迹如图所示，则可判断，此过程中河水的流速()A．越接近B岸水速越大B．越接近B岸水速越小C．由A到B水速先增大后减小D．水流速度恒定解析：选B.小船对地速度等于在静水中速度与随水流运动速度的矢量和，若水流速度恒定，则小船对地速度也恒定，运动轨迹应为直线，D错误；由于小船运动轨迹的弯曲方向不变，则水流速度一直减小，C错误；因为只有水流速度发生变化，则加速度方向应平行于水流速度方向，由轨迹的弯曲方向可知，加速度方向应向左，与水流方向相反，故越接近B岸，水流速度越小，A错误，B正确．2．如图所示，一条小船位于200m宽的河的正中A点处，从这里向下游100eq\r(3)m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是()A.eq\f(4\r(3),3)m/s B.eq\f(8\r(3),3)m/sC．2m/s D．4m/s解析：选C.恰使小船避开危险区，小船应沿直线AB到达对岸，如图所示，则有tanθ＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(\r(3),3)，所以θ＝30°.当船头与AB垂直时，小船在静水中的速度最小．最小速度为v1＝v2sinθ＝4sin30°m/s＝2m/s，故C正确．3．某船要渡过60m宽的河，船渡河的最短时间是12s；若船沿垂直于河岸的直线到达正对岸，渡河时间是15s，则船在静水中的速率v1及河水的流速v2分别为()A．v1＝5m/sv2＝4m/sB．v1＝5m/sv2＝3m/sC．v1＝4m/sv2＝5m/sD．v1＝4m/sv2＝3m/s解析：选B.当船以最短时间渡河时，船头指向正对岸，则渡河时间为：t1＝eq\f(d,v1)，所以船在静水中的速度为：v1＝eq\f(d,t1)＝eq\f(60,12)m/s＝5m/s，故C、D错误；当船垂直于河岸到达正对岸时，合速度垂直于河岸，渡河时间为：t2＝eq\f(d,\r(veq\o\al(2,1)－veq\o\al(2,2)))，代入数据得：v2＝3m/s，故A错误，B正确．4.如图所示，人在岸上以恒定速度v拉船，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为()A．vcosθ B.eq\f(v,cosθ)C．v D．vsinθ解析：选B.将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v＝v船cosθ，故v船＝eq\f(v,cosθ)，B正确．5．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动时，物体P的速度为()A．v B．vcosθC.eq\f(v,cosθ) D．vcos2θ解析：选B.将绳两端所连物体速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，根据沿绳方向的分速度相等可得vP＝vcosθ，B正确．6．一条笔直的河流沿东西走向，两岸平行，各处的宽度均为d＝80m，水流的速度均为v水＝3m/s，船在静水中的速度恒为v船＝5m/s，则()A．渡河的最短时间为20sB．渡河的最短位移为90mC．保持船头沿南北方向到达对岸，渡河位移最短D．船能够沿南北方向的直线渡到正对岸解析：选D.当v船方向与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝eq\f(d,v船)＝16s，故A错误；当小船合速度的方向与河岸的方向垂直时，渡河位移最短，设此时船头的方向与河岸的夹角为θ，cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)，船渡河的位移为河宽d＝80m，船能够沿南北方向的直线渡到正对岸，故B、C错误，D正确．7．(多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是()A．乙船先到达对岸B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L解析：选BD.将小船的运动分解到平行于河岸和垂直于河岸两个方向，由分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等．渡河的时间t＝eq\f(d,vsinθ)，故A错误；若仅是河水流速v0增大，渡河的时间t＝eq\f(d,vsinθ)与河水流速无关，则两船的渡河时间都不变，故B正确；只有甲船速度大于水流速度时，不论水流速v0如何改变，甲船都可能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向的分速度的差值仍不变，则两船之间的距离仍然为L，故D正确．[B级——等级考增分练]8．(多选)(2022·广东高州期末)如图所示，小船从河岸的O点沿虚线运动轨迹，匀速运动到河对岸的P点，河水的流速v水、船在静水中的速度v静与虚线的夹角分别为α、θ，河宽为L，且v静、v水的大小不变，下列说法正确的是()A．渡河时间t＝eq\f(L,v静)B．渡河时间t＝eq\f(L,v静sin（θ＋α）)C．v水越小，渡河时间越短D．当α＋θ＝90°时，渡河的时间最短解析：选BD.渡河的时间t＝eq\f(d,v静sin（α＋θ）)，与v水无关，A、C错误，B正确；当α＋β＝90°时，渡河时间最短tmin＝eq\f(d,v静sin90°)＝eq\f(d,v静)，D正确．9.如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以速度v沿水平方向匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球()A．竖直方向速度大小为vcosθB．竖直方向速度大小为vsinθC．竖直方向速度大小为vtanθD．相对于地面速度大小为v解析：选B.将光盘的速度在沿绳和垂直于绳的方向分解，如图所示，沿绳方向的分量v′＝vsinθ，这就是桌面以上绳子变长的速度，也等于铁球上升的速度，B正确，A、C错误；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为vsinθ，可得铁球相对于地面速度大小为veq\r(1＋sin2θ)，D错误．10．(2022·广东高州期末)如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连．到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为夹角为37°、53°，两物体的速率分别为vA、vB，且此时vA＋vB＝eq\f(20,3)m/s，sin37°＝eq\f(3,5)、cos37°＝eq\f(4,5)，则vA的大小为()A.eq\f(10,3)m/sB.eq\f(4,3)m/sC．2m/sD．4m/s解析：选A.设此时绳子的速率为v绳，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解，可得v绳＝vAsin37°，v绳＝vBcos53°，结合vA＋vB＝eq\f(20,3)m/s，解得vA＝eq\f(10,3)m/s.11．(多选)小河宽80m，河中各点水流速度与各点到较近河岸边的距离关系为v水＝kx(k＝0.1s－1)，一小船以4m/s速度垂直于河岸渡河，则下列说法中正确的是()A．小船渡河时的轨迹为直线B．小船渡河时的轨迹为曲线C．小船到达距河对岸20m处，船的渡河速度为4eq\r(5)m/