第3节　电势差与电场强度的关系 教学设计

第3节电势差与电场强度的关系[学习目标]1．掌握公式U＝Ed的推导过程，理解公式的含义，知道公式的适用条件。2．理解电场强度的另一种表述。3．能够应用U＝Ed或E＝eq\f(UAB,d)解决有关问题。知识点1电势差与电场强度的关系1．关系式：UAB＝Ed。2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。3．适用条件(1)匀强电场。(2)d为两点沿电场方向的距离。[判一判]1．(1)公式U＝Ed适用于所有电场。()(2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比。()(3)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于电场强度与这两点间距离的乘积。()提示：(1)×(2)×(3)×知识点2公式E＝eq\f(UAB,d)的意义1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比。2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。3．电场强度的另一个单位：由E＝eq\f(UAB,d)可导出电场强度的另一个单位，即伏[特]每米，符号为V/m。1V/m＝1N/C。[判一判]2．(1)匀强电场的电场强度值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值。()(2)电场强度的单位可用V/m表示。()提示：(1)√(2)√1．(对公式E＝eq\f(UAB,d)的理解)下列说法正确的是()A．由公式E＝eq\f(UAB,d)得，电场强度E与电势差UAB成正比，与两点间距离d成反比B．由公式E＝eq\f(UAB,d)得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积D．公式E＝eq\f(UAB,d)只适用匀强电场解析：选D。公式E＝eq\f(U,d)只适用于匀强电场，E与电势差和两点间的距离无关，故A错误，D正确；在匀强电场中，电场强度处处相等，故B错误；在匀强电场中，两点间电势差等于电场强度与两点间沿电场方向距离的乘积，故C错误。2．(公式E＝eq\f(UAB,d)的应用)(多选)如图所示，在匀强电场中有A、B、C三点，三点构成直角三角形，∠A＝37°，AB边长为5m，D为AB中点，电场线与ABC所在平面平行，A、B、C三点的电势分别为14V、6V和6V，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则()A．CD两点间电势差UCD＝4VB．D点电势φD＝10VC．该电场的电场强度E＝2V/mD．该电场的方向沿BC方向解析：选BC。在匀强电场中，平行等距离的两点电势差相等，则φA－φD＝φD－φB解得φD＝10V所以UCD＝φC－φD＝－4V故A错误，B正确；三角形中B、C的电势分别为6V和6V，则B和C为等势点，BC为等势线，电场线方向沿AC方向，则电场强度为E＝eq\f(UAC,ABcos37°)＝eq\f(8,5×0.8)V/m＝2V/m，故C正确，D错误。3.(非匀强电场中UAB＝Ed的定性分析)如图所示的同心圆是电场中的一簇等差等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是()A．电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小B．电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大C．电势差UAB＝UBCD．电势φA<φB<φC解析：选B。由等势线分布和电子速度变化可知该电场为负点电荷的电场，电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大，A错误；根据电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，B正确；根据U＝Ed，由于电场为非匀强电场，平均电场强度EAB<EBC，故电势差UAB<UBC，C错误；电势φA>φB>φC，D错误。4．(等分法确定匀强电场的电场强度)a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10V，φb＝2V，φc＝6V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是()解析：选D。由于是匀强电场，因此a、b连线的中点与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势面且由高电势处指向低电势处，D正确。探究一匀强电场中E＝eq\f(UAB,d)的应用【问题导引】如图所示的一个匀强电场，电场强度大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间相距为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功。(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系。(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？[要点提示](1)WAB＝Fd＝qEdWAB＝qUAB(2)UAB＝Ed(3)UAC＝Ed【例1】如图所示，在电场强度E＝1×102V/m的匀强电场中，将一电荷量为2×10－2C正点电荷由A点移到B点。已知A、B两点间距离L＝2m，两点连线与电场方向成60°角，求：(1)A、B两点间的电势差UAB；(2)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功WAB。[解析](1)根据匀强电场的电势差与电场强度的关系，由题图可知A、B两点间的电势差为UAB＝ELcos60°代入数据解得UAB＝100V；(2)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功为WAB＝qUAB，代入数据解得WAB＝2J。[答案](1)100V(2)2J[针对训练1]如图所示，匀强电场中某电场线上的两点A、B相距0.2m，正电荷q＝106C，从A移到B，电场力做功为2×106J，则()A．该电场的电场强度为10V/mB．该电场的电场强度方向由B指向AC．A、B间的电势差为10VD．B点的电势比A点的高解析：选A。根据电场力做功公式UAB＝eq\f(WAB,q)＝2V，电场强度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(2,0.2)V/m＝10V/m，故A正确；由A向B电场力做正功，电场力由A指向B，电荷带正电，电场力方向与电场强度方向相同，电场强度方向由A指向B，故B错误；A、B间的电势差为2V，故C错误；电场强度方向由A指向B，沿电场线方向电势降低，故D错误。探究二非匀强电场中E＝eq\f(UAB,d)的定性分析1．定性分析在非匀强电场中，公式E＝eq\f(U,d)可用来定性分析问题，由U＝Ed可以得出结论。在等差等势面中等势面越密的地方电场强度就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab<Ubc。2．三点妙用(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低。(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq\f(Δφ,Δx)＝eq\f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。【例2】如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50V，φc＝20V，则a、c连线中点b的电势φb为()A．等于35V B．大于35VC．小于35V D．等于15V[解析]从电场线疏密可以看出Ea＞Eb＞Ec，由公式UAB＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜eq\f(φa＋φc,2)＝35V。[答案]C[针对训练2]如图所示的是某电场中的三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势φA＝30V，B点的电势φB＝－20V，则下列说法正确的是()A．C点的电势φC＝5VB．C点的电势φC＞5VC．C点的电势φC＜5VD．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能解析：选C。由题图看出，AC段电场线比CB段电场线密，则AC段电场强度较大，根据公式U＝Ed可知，AC间电势差UAC大于CB间电势差UCB，所以φC＜eq\f(φA＋φB,2)＝5V，故C正确，A、B错误；而负电荷在低电势处电势能较大，故D错误。探究三应用“等分法”求解匀强电场的电场强度1．方法介绍先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。2．两个结论结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如图甲所示。结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。【例3】(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为17V、33V、49V。下列说法正确的是()A．坐标原点处的电势为1VB．电场强度的大小为5V/mC．匀强电场的方向由O点指向c点D．质子从b点运动到c点，电场力做功为－16eV[解析]如图所示。在ac连线上，确定中点b′点，电势为33V，将bb′连线，即为等势线，那么垂直bb′连线，则为电场线，再依据沿着电场线方向，即匀强电场的方向由c点指向O点，电势降低，则电场线方向如图，因为匀强电场，则有E＝eq\f(Ucb,d)依据几何关系，则d＝eq\f(b′c×bc,bb′)代入数据，得电场强度大小为E＝eq\f(4\r(13),3)×102V/m，故B、C错误；根据φc－φa＝φb－φO，因a、b、c三点电势分别为φa＝17V、φb＝33V、φc＝49V，解得原点处的电势为φO＝1V，故A正确；质子从b点运动到c点，电场力做功为W＝eUbc＝－16eV，故D正确。[答案]AD[针对训练3](多选)在匀强电场中a、b、c、d为矩形的四个顶点，e、f分别为ab边和cd的中点。ab＝cd＝2cm，ad＝bc＝1cm。已知电场线的方向平行于矩形所在平面，a、b、c三点电势分别为4V、8V、6V，则()A．d点的电势为2VB．电场线方向沿bf指向fC．电场强度为200V/mD．一电子从a点运动到c点，电势能减少解析：选ABD。由于该电场是匀强电场，等势线是等间距的平行直线，故Uad＝Ubc，故d点的电势为φd＝2V，故A正确；ab中点的电势为φe＝eq\f(φa＋φb,2)＝6V，故ec为等势线，电场方向与等势面垂直，由高电势指向低电势，故电场方向沿bf方向且由b指向f，故B正确；be之间沿电场线方向的距离为d＝eq\f(\r(2),2)cm，由U＝Ed可知，电场强度为E＝eq\f(Ube,d)＝2eq\r(2)×102V/m，故C错误；电子带负电，在电势越高的地方电势能越小，故电子从a到c电势能减小，故D正确。(限时：45分钟)【合格考练】1．关于电场强度的公式①E＝keq\f(q,r2)、②E＝eq\f(F,q)、③E＝eq\f(U,d)，下列说法正确的是()A．它们都只对点电荷的电场成立B．①②式只对点电荷的电场成立，③式只对匀强电场成立C．①式只对点电荷的电场成立，②式对任何电场都成立，③式只对匀强电场成立D．①式只对点电荷的电场成立，②③式对任何电场都成立解析：选C。公式②是电场强度的定义式，适用于所有电场；而两个点电荷间相互作用力，根据库仑定律F＝keq\f(Qq,r2)，代入②式就会得出①式的表达式，因此①式是由两个点电荷间作用力推出的，故只适用于点电荷的电场，而③式是电荷在匀强电场中运动时，电场力做功Edq＝Uq推出的，因此③式只适用于匀强电场，C正确，A、B、D错误。2．(多选)关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是()A．任意两点间的电势差，等于电场强度和这两点间距离的乘积B．沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等C．电势降低最快的方向必是电场强度方向D．在相同距离的两点上，电势差大的，其电场强度也大解析：选BC。UAB＝Ed中的d为A、B两点沿电场方向的距离，A、D错误；由UAB＝Ed可知沿电场线方向，电势降落最快，且相同距离上电势降落必相等，B、C正确。3.如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA＝10V和φC＝2V，则B点的电势()A．一定等于6V B．一定低于6VC．一定高于6V D．无法确定解析：选B。从点电荷的电场线和等势面的特点知，EA＞EB＞EC，AB＝BC，由U＝Ed定性分析，UAB＞UBC，所以φB＜6V。4.如图所示，匀强电场E＝100V/m，A、B两点相距10cm，A、B连线与电场线夹角为60°，若取A点电势为0，则B点电势为()A．－10V B．10VC．－5V D．－3V解析：选C。A、B连线沿电场线的距离为d＝0.05m，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可知，UAB＝Ed＝5V，电场中B点的电势等于B点到零电势点的电势差，φB＝UBA＝－UAB＝－5V，C正确。5．如图，△abc中bc＝4cm，∠acb＝30°。匀强电场的电场线平行于△abc所在平面，且a、b、c三点的电势分别为3V、－1V、3V。下列说法正确的是()A．电场强度的方向沿ac方向B．电场强度的大小为200V/mC．电子从a点移动到b点，电势能减少了4eVD．电子从c点移动到b点，电场力做功为4eV解析：选B。由于ac两点电势相等，故ac为一条等势线，电场方向与等势线垂直，且由高电势指向低电势可知，电场方向垂直ac，且指向斜上方E＝eq\f(Ucb,cbsin30°)＝eq\f(4,4×\f(1,2))V/cm＝200V/m故A错误，B正确；电子从a点移动到b点，电场力做功Wab＝－eUab＝－4eV“－”表示电场力做负功，电势能增加，增加了4eV，故C错误；电子从c点移动到b点，电场力做功为Wcb＝－eUcb＝－4eV，故D错误。6．(多选)如图，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为L＝2cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、D、E的电势分别为－2V、0、6V、4V。则下列说法正确的是()A．C点的电势φC＝2VB．A、F间的电势差UAF＝2VC．C、F间的电势差UCF＝4VD．该匀强电场的电场强度大小E＝200V/m解析：选CD。连接AD、BF、CE，如图所示：由图可知AD与BF、CE都垂直，故电场强度方向由D指向A，由正六边形对称性可知F与B的电势相等，C与E的电势相等，故F点的电势为0，C点的电势为4V，则A、F间的电势差为UAF＝φA－φF＝－2V－0＝－2VC、F间的电势差为UCF＝φC－φF＝4V－0＝4V由几何关系得dOA＝Lsin30°UOA＝UFA＝－UAF＝2V则电场强度的大小为E＝eq\f(UOA,dOA)＝eq\f(2,2×10－2×\f(1,2))V/m＝200V/m，故A、B错误，C、D正确。7．如图所示，在匀强电场中有一直角三角形OBC，电场方向与三角形所在平面平行，若三角形三顶点O、B、C处的电势分别为φO、φB、φC，已知φO＝0，φB＝3V，φC＝6V，OB＝4cm，OC＝6cm。则下列说法正确的是()A．匀强电场中电场强度的大小为125V/mB．匀强电场中电场强度的大小为200V/mC．匀强电场中电场强度的方向斜向下与OC夹角为30°D．一个电子由C点运动到O点再运动到B点的过程中电场力做功3eV解析：选A。如图根据匀强电场的特点，OC中点D的电势为3V，则BD为一条等势线，电场方向如图，电场强度的方向斜向下与OC夹角为θ，tanθ＝eq\f(OD,OB)＝eq\f(3,4)θ＝37°由几何关系得，O到BD的距离d＝2.4cm，在匀强电场中E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,2.4×10－2)V/m＝125V/m故A正确，B、C错误；根据W＝qU可知一个电子由C点运动到O点再运动到B点的过程中电场力做功为W＝－e×3V＝－3eV，故D错误。8．(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5V，φB＝2V，φC＝3V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是()解析：选BC。根据匀强电场的特点可知，H、F的电势分别为φH＝4V，φF＝3V，G的电势φG＝eq\f(5V＋3V,2)＝4V，则φH＝φG，则电场线垂直于GH，又φC＝φF＝3V，可知电场线与CF垂直，故选B、C。【等级考练】9．如图所示，在平行于ABC平面的匀强电场中，有一个边长为6cm的等边三角形，A、B、C三点电势分别为8V，－4V和2V，D为靠近A点的AB线段的三等分点。下列说法正确的是()A．电场强度为400V/mB．电场线方向与AB平行，方向指向AC．电子在A点的电势能小于在B点的电势能D．若将一电子从C点移至D点，电场力做功为－2eV解析：选C。由匀强电场中的任一线段两端电势与中点电势的关系，则有AB的中点F点的电势为φF＝eq\f(φA＋φB,2)＝eq\f(8＋（－4）,2)V＝2V则F、C为等电势点，FC为等势线，则AB为一电场线，方向由A到B，则匀强电场的电场强度为E＝eq\f(UAB,dAB)＝eq\f(8－（－4）,6×10－2)V/m＝200V/m方向由A到B，故A、B错误；电子带负电，由Ep＝qφ知其在电势高处电势能小，故C正确；D点的电势为φD＝8V－eq\f(8－（－4）,3)V＝4V则UCD＝－2V，将一电子从C点移至D点，电场力做功为W＝－eUCD＝2eV，故D错误。10.(多选)空间有平行于梯形区域abcd的匀强电场，已知∠a＝45°，∠c和∠d均为直角，且上底bc＝2cm、下底ad＝4cm，a、b、c三点的电势分别为4V、8V、10V。将一电荷量q＝－2×10－5C的点电荷从a点开始沿abcd路线移动，则下列判断正确的是()A．梯形区域的下底ad中点的电势为6VB．该匀强电场的场强大小为eq\r(2)V/mC．该点电荷在c点的电势能为＋2×10－4JD．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力对它做的功为＋8×10－5J解析：选AD。根据题述a、b、c三点电势分别为4V、8V、10V，如图所示，g为ad中点，根据在匀强电场中，平行线上相等长度的线段电势差相等可知，ad中点的电势为6V，d点电势为8V，A正确；由几何关系可知，ab⊥bd，根据电场线与等势线垂直可知，电场强度方向沿ba方向。由E＝eq\f(U,d)可得该匀强电场的电场强度E＝eq\f(Uba,dab)＝100eq\r(2)V，B错误；根据电势能公式可知，电荷量q＝－2×10－5C的点电荷在c点的电势能Ep＝qφc＝－2×10－5×10J＝－2×10－4J，C错误；电荷量q＝－2×10－5C的点电荷从a点移动到d点的过程中，电场力对它做的功为W＝qUad＝q(φa－φd)＝－2×10－5×(4－8)J＝＋8×10－5J，D正确。11.在研究未知电场时，一般是先通过实验找出等势点描绘出等势面，再由等势面得到电场线。如图所示，在平面直角坐标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V。则该电场的电场强度()A．方向垂直x轴B．方向垂直AB连线C．大小为100V/mD．大小为100eq\r(2)V/m解析：选D。坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，则OA中点C的电势为φC＝eq\f(0＋φA,2)＝3V＝φB，则BC连线为等势面，场强方向与等势面垂直，可知场强方向垂直BC斜向下，场强大小为E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,3×cos45°×10－2)V/m＝100eq\r(2)V/m。12．如图所示，在匀强电场中，将一电荷量为2×10－4C的负电荷由A点移到B点，其电势能增加了0.2J，已知A、B两点间距离为2cm，两点连线与电场方向成60°角，求：(1)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功WAB；(2)A、B两点间的电势差UAB；(3)该匀强电场的电场强度E。解析：(1)因负电荷由A移到B的过程中，负电荷的电势能增加了ΔE＝0.2J，所以这个过程中电场力对负电荷所做的功W＝－ΔE＝－0.2J；(2)A、B两点间的电势差UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(－0.2,－2×10－4)V＝1000V；(3)匀强电场的电场强度E＝eq\f(UAB,d×cos60°)＝e