山西省忻州市第十中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷（解析版）

忻州市第十中学2024-2025学年度高一9月考数学试卷（考试时间120分钟，总分150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卷的密封线内.答案一律写在答题卷对应題目的空格内，答案写在试卷上无效.考试结束后，上交答题卷.2.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.3.填写选择题答案时，请规范使用2B铅笔填写，书写统一使用0.5毫米黑色签字笔.一、单选题：本题共8小題，每小题5分，共40分.1.下面给出的四类对象中，能构成集合的是（）A.某班视力较好的同学 B.某小区长寿的人C.的近似值 D.方程的实数根【答案】D【解析】【分析】根据集合的特征，即可判断各选项是否能组成集合.对于A，描述的对象“视力较好”不确定，不能构成集合，A不是；对于B，描述的对象“长寿”不确定，不能构成集合，B不是；对于C，没有给出精确度，描述的对象“π

的近似值”不确定，不能构成集合，C不是；对于D，方程的实数根是和1，明确可知，能构成集合，D是.故选：D2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.因，所以．故选：B3.若集合，且，则（）A.10或13 B.13 C.4或7 D.7【答案】B【解析】【分析】利用元素与集合的关系计算即可.当，即时，，此时与4重复，则.当，即时，.故选：B4.M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子中正确的是（）A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N＝【答案】C【解析】【分析】求得两个集合的元素，由此确定正确选项.，所以，，所以，所以故选：C5.使“｛或｝”成立的一个充分不必要条件是（）A. B.或C.或 D.【答案】D【解析】【分析】利用充分不必要条件与集合的关系，判断选项.设或，，若是的充分不必要条件，则，满足条件的只有D.故选：D6.已知，则下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质判断ABC，由作差法判断D即可得解.因为，所以，由不等式的性质可得，A正确，B错误；由不等式的性质可得，若，C错误；若，则，即，D错误.故选：A7.已知函数，则函数的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】将变为，利用基本不等式，即可求得答案.因为，所以，当且仅当，即，即时取等号．故选：B8.《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用表示出，由勾股定理求得，由可得结论.，，，，（当且仅当与重合，即时取等号），.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列命题中，真命题的是（）A. B.平行四边形的对角线互相平分C.对任意的，都有 D.菱形的两条对角线相等【答案】AB【解析】【分析】对A，求出判别式判断；对B，由平行四边形的性质判断；对C，将配方可判断；对D，根据菱形的性质可判断.对于A，方程的判别式，故A正确；对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误.故选：AB.10.下列结论中，错误的结论有（）A.取得最大值时的值为B.若，则的最大值为C.函数的最小值为D.若，，且，那么的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D.对于A，因为，则函数的对称轴为，所以取得最大值时的值为，故A错误；对于B，令，若，，，，当时取等号，所以，则，则的最大值为，故B错误；对于C，函数，令，当时，解得，不满足题意，故C错误；对于D，若，，且，所以，当时，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.故选：ABC.11.非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.对于A，假设，则令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，∴，故A对；对于B，由题，，则∴，故B对；对于C，∵，，，∵故C对；对于D，∵，，若，则，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“”的否定为__________.【答案】【解析】【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为.故答案为：13.已知集合，其中，则实数______.【答案】【解析】【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案.①当时，解得，当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；当时，，得到与矛盾，所以舍去；②当时，解得，当时，，得到与矛盾，所以舍去；当时，，得到，符合题意，所以.故答案为：.14.对任意实数，，，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的必要条件；④“”是“”的充分条件，其中真命题是_______.【答案】②③【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义，逐个判断即可得解.对于①，由“”可推出“”；当时，成立，但不一定成立，所以由“”推不出“”；所以“”是“”的充分不必要条件，故①错误；对于②，“是无理数”可推出“是无理数”，“是无理数”也可推出“是无理数”，所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故②正确；对于③，由“”可推出“”，所以“”是“”的必要条件，故③正确；对于④，当时，满足，但不成立，所以“”推不出“”，“”不是“”的充分条件，故④错误.故答案为：②③.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合．（1）当时，求；（2）若，求取值范围．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）代入值，根据交集和并集含义即可；（2）分析得，分和讨论即可.【小问1】时，，则，.【小问2】若，则以，当时，则；当时，则，则.综上。16.设集合，.（1）若，求实数的值；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可.（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.【小问1】由，所以或，故集合.因为，所以，将代入中的方程，得，解得或，当时，，满足条件；当时，，满足条件，综上，实数的值为或.【小问2】因为“”是“”的必要条件，所以.对于集合，.当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，要想有，须有，此时：，该方程组无解.综上，实数的取值范围是.17.已知，，.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解；（2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值.【小问1】因为，令，则，所以，解得，所以，当且仅当，即，时等号成立；【小问2】由，得，所以，当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为.18.解答下列各题．（1）若，求的最小值．（2）若正数，满足，求的最小值．【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）易知，利用基本不等式可求得和的最小值为7；（2）依题意可得，再由基本不等式中“1”的妙用即可得出最小值.【小问1】由可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立；此时的最小值为7；【小问2】由可得，因此，当且仅当时，即时，等号成立；此时的最小值为.19.要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有完全相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分）．这两栏的面积之和为，四周空白的宽度均为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设矩形栏目的高为．（1）用含有x的代数式表示广告牌的面积S；（2）求广告牌面积最小值．【答案