数学单元整合学案：第一讲相似三角形的判定及有关性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元整合知识网络专题探究专题一证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式,是解决这类问题的基本方法．解决这类问题一般可分为三步：（1)把等积式化为比例式，从而确定相关的两个三角形相似．（2)确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或者竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形．(3）设法找到证明这两个三角形相似的条件．【例1】如图，已知△ABC中,∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D,E是AC的中点，连接ED并延长与AB的延长线交于点F.求证：eq\f（AB，AC）＝eq\f(DF,AF）。提示：由条件知AB∶AC＝BD∶AD，转证BD∶AD＝DF∶AF，即证△FAD∽△FDB.证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC,∴∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽Rt△CAB。∴AB∶AC＝BD∶AD。又∵E是AC的中点，∴AE＝DE＝EC.∴∠DAE＝∠ADE。∴∠BAD＝∠CDE＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD。∴BD∶AD＝DF∶AF，即AB∶AC＝DF∶AF。【例2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E为底边BC上的任意一点，过点E作与AD平行的直线，分别交AB，CA的延长线于点F，G,求证：eq\f(BE，BF)＝eq\f(CE，CG）.证明：过点C作CH∥AD并交BA的延长线于点H，则eq\f（BA,AH)＝eq\f(BD,DC）。∵EF∥AD，∴eq\f(BE,BD)＝eq\f（BF，AB），∴eq\f(BE,BF)＝eq\f(BD，AB).∵AD∥CH，∴eq\f（BD,CD）＝eq\f（AB，AH)。∵AD平分∠BAC，AD∥CH，∴∠BAD＝∠CAD，∠BAD＝∠H,∠CAD＝∠ACH，∴∠ACH＝∠H，∴AC＝AH.∴eq\f（BD，AB)＝eq\f(CD，AC）.又AD∥EG，∴eq\f(CD,AC）＝eq\f（CE，CG）。∴eq\f（BE,BF）＝eq\f(CE，CG）。专题二利用相似三角形证明线段相等证明两条线段相等,一般情况下，利用等角对等边或全等三角形的性质来解决．但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来，或过程比较烦琐，此时可以借助相似三角形的有关比例线段来解决．【例3】如图，AD，CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P,使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.求证：PQ＝CF。提示：利用相似三角形的性质，并结合AP＝AD进行证明．证明：∵AD，CF是△ABC的两条高线，∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF。∴eq\f（AD,CF）＝eq\f(AB,CB).又∵PQ∥BC，∴∠APQ＝∠B,∠AQP＝∠ACB，∴△APQ∽△ABC.∴eq\f(PQ,BC）＝eq\f（AP，AB），即eq\f(AP，PQ）＝eq\f(AB，BC).∴eq\f（AD，CF)＝eq\f（AP,PQ).又∵AP＝AD,∴PQ＝CF。【例4】如图，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为边向外作正方形ABDE,连接EC交AB于点P,过点P作PQ∥BC交AC于点Q。求证：PQ＝PB。提示：要证PQ＝PB,直接证明不好证，可以通过证明有关的三角形相似得出比例式，再由等式的性质证明其相等．证明：∵PQ∥BC，BC∥AE,∴PQ∥AE.∴∠CPQ＝∠CEA，∠CQP＝∠CAE，∴△CPQ∽△CEA.∴eq\f(PQ，EA)＝eq\f(CP,CE）。同理可得eq\f（PB，ED)＝eq\f(CP,CE），∴eq\f(PQ，EA）＝eq\f（PB，ED）.而由题意知，AE＝DE，∴PQ＝PB。专题三平行线分线段的规律性质平行线分线段的相关定理即平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律；主要用来证明比例式成立,证明直线平行，计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的平行线分线段成比例定理的特例．【例5】如图，在△ABC中，M是AC边的中点，E是AB边上的一点，且AE＝eq\f（1，4)AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D。求证：BC＝2CD.证明：过点C作CF∥AB交ED于点F.∴eq\f（CF，AE）＝eq\f（CM,MA）.∵AM＝CM，∴CF＝AE＝eq\f(1,4）AB.∴CF＝eq\f（1，3）BE.∵CF∥AB,∴eq\f(CF,BE)＝eq\f(CD，BD)＝eq\f（1,3）。∴BD＝3CD，即BC＋CD＝3CD。∴BC＝2CD.【例6】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，一直线平行于两底,且顺次交AD，BD,AC，BC于点E，F,G，H.求证：EF＝GH。证明:因为EF∥AB,所以eq\f(EF，AB)＝eq\f(