数学单元检测：第二章几个重要的不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学北师版选修4-5第二章几个重要的不等式单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知x＋3y＋5z＝6,则x2＋y2＋z2的最小值为（)．A．B．C．D．62．已知3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是()．A．B．C．D．[－5,5]3．已知a,b，c∈R＋，则a2（a2－bc）＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab）的正负情况是(）．A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零4．用数学归纳法证明(a≠1，n∈N＋）．在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(）．A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a35．（k＝1,2,3，…），则Sk＋1＝（）．A．B．C．D．6．设n∈N＋，则4n与3n的大小关系是（)．A．4n＞3nB．4n＝3nC．4n＜3nD．不确定7．设a，b，c∈(0,＋∞），a＋b＋4c2＝1,则的最大值是（）．A．5B．C．8D．8．用数学归纳法证明(n∈N＋)时，从“n＝k"到“n＝k＋1”,等式左边需增添的项是(）．A．B．C．D．9．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是(）．A．16(42k－1＋3k＋1）－13×3k＋1B．4×42k＋9×3kC．（42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1D．3(42k－1＋3k＋1）－13×42k－110．设函数f（n)＝(2n＋9)·3n＋1＋9，当n∈N＋时,f（n)能被m(m∈N＋）整除，猜想m的最大值为(）．A．9B．18二、填空题（每小题5分，共25分)11．设f（n）＝62n－1＋1，则f（k＋1）用含有f(k)的式子表示为________．12．已知数列{an}的各项均为自然数，a1＝1且它的前n项和为Sn，若对所有的正整数n，有Sn＋1＋Sn＝(Sn＋1－Sn）2成立，通过计算a2，a3，a4可归纳出Sn＝__________________________．13．设a,b，c为正数，则的最小值是__________．14．在△ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中,不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立．猜想在n边形A1A2…An中，其不等式为__________．15．三角形的三边a，b，c对应的高为ha，hb，hc，r为三角形内切圆的半径．若ha＋hb＋hc的值为9r，则此三角形为__________三角形．三、解答题（共25分)16．（10分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝2n＋1．（1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式．(2）用数学归纳法证明所得结论．17．(15分)设ai∈R＋（i＝1,2,…，n），a1＋a2＋…＋an＝1,求证：．

参考答案1．答案:C由柯西不等式，得．当且仅当,即，，时等号成立．2．答案:C．所以．3．答案：B设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3．根据排序不等式，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab．即a2（a2－bc）＋b2(b2－ac)＋c2（c2－ab)≥0．4．答案：C当n＝1时，左边＝1＋a＋a2．5．答案：C．6．答案:A4n＝（1＋3）n．根据贝努利不等式，有（1＋3)n≥1＋n×3＝1＋3n＞3n，即4n＞3n．7．答案:B，∴．当且仅当，时等号成立．8．答案：C由，可得到从“n＝k"到“n＝k＋1”时增添的项为．9．答案：A42k＋1＋3k＋2＝16×42k－1＋3k＋2＝16(42k－1＋3k＋1)＋3k＋2－16×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1．10．答案:D11．答案：36f(k）－35f(k)＝62k－1＋1,f（k＋1)＝62(k＋1)－1＋1＝62k－1·62＋1＝36·62k－1＋1＝36(62k－1＋1)－35＝36f（12．答案：由已知，得，∴,两式相减,得．∴an＋1－an＝1，即{an｝为等差数列,公差d＝1．∴a2＝2，a3＝3，…，an＝n．∴．13．答案：121．当且仅当(k为正实数）时等号成立．14．答案：15．答案：等边记三角形的面积为S，则2S＝aha＝bhb＝chc．又因为2S＝r(a＋b＋c）,所以．由柯西不等式，得＝．所以ha＋hb＋hc≥9r,当且仅当a＝b＝c时取等号．故ha＋hb＋hc＝9r时，三角形为等边三角形．16．答案：解：（1),，．猜想：．(2)证明：①当n＝1时,，猜想成立．②假设n＝k（k∈N＋，且k≥1)时，成立．当n＝k＋1时,a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2（k＋1）＋1,且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak,∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(