2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（配湘教版）3.3.1 抛物线的标准方程

3.3抛物线3.3.1抛物线的标准方程A级必备知识基础练1.准线与x轴垂直,且经过点(1,-2)的抛物线的标准方程是()A.y2=-2x B.y2=2xC.x2=2y D.x2=-2y2.[2024甘肃白银高三联考阶段练习]圆x2-4x+y2-2y=0的圆心在抛物线y2=2px上,则该抛物线的焦点坐标为()A.(18,0) B.(14C.(12,0) D.3.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B.6 C.8 D.124.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,42)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于()A.2 B.4 C.6 D.85.若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为()A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x D.x2=8y6.(2023全国乙,理13)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为.

7.已知抛物线C:x2=2py(p>0),点Ax0,p2在C上,点B的坐标为0,-p2,若|AB|=52,则C的焦点坐标为.

8.已知抛物线的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直B级关键能力提升练9.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和22,则p=()A.4或1 B.2或4 C.1或2 D.110.M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,FM⊥x轴,且|OM|=5,则抛物线的准线方程为()A.x=-1 B.x=-2 C.y=-1 D.y=-211.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的两点P,Q均在第一象限,且|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,则直线PQ的斜率为()A.1 B.2 C.3 D.512.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为.

13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的标准方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求实数λC级学科素养创新练14.抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,2),P为抛物线上一点且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为.

3.3.1抛物线的标准方程1.B由题意可设抛物线的标准方程为y2=ax(a>0),则(-2)2=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,2.A圆x2-4x+y2-2y=0的圆心坐标为(2,1),则12=2p×2,得p=14,所以该抛物线的焦点坐标为18,0.故选A.3.B抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6.4.D由题意可得3x0=x0+p2,即x0=p4,则(42)2=2p·p4,解得p=8(负值舍去).5.D∵点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,∴点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离.由抛物线的定义可知,点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,∴p=4,∴点P的轨迹方程为x2=8y.故选D.6.94因为点A(1,5)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=52,所以抛物线C的准线方程为x=-p2=-54,所以点A到抛物线C的准线的距离为7.0,52∵点Ax0,p2在C上,∴x02=2p·p2,解得x0=又点B的坐标为0,-p2,∴p2+p2=52,故抛物线C的焦点坐标为0,52.8.解由题意可知,抛物线的焦点在x轴正半轴上,故可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),根据点32,6在抛物线上可得62=2p·32故所求抛物线的标准方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,∴c=1,即a2+b2=1.故双曲线的标准方程为x2a2∵点32,∴94a2-61-a2=1,解得a2=故所求双曲线的标准方程为x2149.B设点M的坐标为(xM,yM),因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和22,所以|yM|=22,xM+p2=3,即|yM|=22,xM=3-p2,代入抛物线方程可得810.A抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,∵M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,∴Mp2,p或Mp2,-又|OM|=5,∴p22+p2=5,解得p=2或p=-2(舍),则p2=∴抛物线的准线方程为x=-1,故选A.11.C如图所示,作QM垂直准线于点M,PN垂直准线于点N,作PE⊥QM于点E,因为|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,所以由抛物线的定义可知|MQ|=4,|PN|=3,所以|QE|=1,所以|EP|=22-12=3,直线PQ12.12,0(方法1)将x=2代入抛物线y2=2px(p>0),可得y=±2p.设直线OD的斜率为kOD,直线OE的斜率为kOE,由OD⊥OE,可得kOD·kOE=-1,即2p2·-2p所以抛物线的标准方程为y2=2x,它的焦点坐标为12,0.(方法2)记直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限内的交点为D,易知∠ODE=45°,可得D(2,2),代入抛物线方程y2=2px(p>0),可得4=4p,解得p=1.所以抛物线的标准方程为y2=2x,它的焦点坐标为12,0.13.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px(p>0)联立,可得4x2-5px+p2=0,Δ=9p2>0,故x1+x2=5p4由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.故抛物线的标准方程为y2=8x.(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,则y1=-22,y2=42.故A(1,-22),B(4,42).设OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(1+4λ,-22+42λ),又y32=8x3,即[22(2λ-1)]2=8(4λ可得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.14.5+13抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),|AF|=13.过点P向准线作垂线,垂足为D