2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（配湘教版）2.2.4 直线的方向向量与法向量

2.2.4直线的方向向量与法向量A级必备知识基础练1.直线l:x+2y-3=0的一个方向向量为()A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,2)2.经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线方程是()A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=03.若直线l经过点A(-1,4),B(3,2),则直线l的一个法向量n=()A.(1,-2) B.(4,-2) C.(4,2) D.(1,2)4.过点A(2,3),且法向量为向量a=(2,1)的直线方程为()A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=05.已知点P(2,3),Q(5,t)在直线l上,且直线l的一个方向向量是v=(1,2),则t=.

6.若直线l的倾斜角为3π4,则直线l的一个方向向量d可以是(只需填写一个)7.已知直线m的一个方向向量为v=(3,3),直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l的点斜式方程.(1)过点P(3,-4);(2)与y轴的交点为(0,-3).B级关键能力提升练8.已知直线l:mx+2y+6=0,且向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,则实数m的值为()A.-1 B.1C.2 D.-1或29.(多选题)下列说法正确的是()A.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线l的斜率为vB.若直线的斜率为vu,则直线l的一个方向向量为d=(u,vC.若直线的斜率为k,则直线l的一个方向向量为d=(k,k2)D.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线的一个法向量为t=(-v,u)10.(多选题)已知直线l的一个方向向量为u=-36,12,且直线l经过点(1,-A.直线l的倾斜角等于120°B.直线l与x轴的交点坐标为2C.直线l与直线y=3x+2垂直D.直线l与直线y=-3x+2平行11.已知△ABC的顶点C的坐标为(1,1),AC所在直线的方向向量为(1,2),AC边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0,则点A的坐标为()A.13B.2C.23D.112.若一条直线的斜率为k,则该直线的一个方向向量是,一个法向量是.

13.已知两条直线l1:ax-2y-3=0,l2:4x+6y-3=0,若直线l1的一个法向量恰为直线l2的一个方向向量,则a=.

14.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(4,-1),C(6,5).求:(1)AB边所在直线的一个方向向量与一个法向量;(2)AB边的中垂线的一般式方程.15.已知直线l:(a2-2a+4)x-ay-3=0.(1)若直线l过点A(1,0),试写出直线l的一个方向向量;(2)若实数a≠0,求直线l斜率的取值范围.C级学科素养创新练16.(多选题)已知经过坐标平面内A(1,2),B(-2,2m-1)两点的直线的方向向量为(1,sinα),则实数m的值可以为()A.-1 B.0 C.2 D.3

2.2.4直线的方向向量与法向量1.A由题知,直线l的斜率为k=-12,设直线l的方向向量为(x,y),则yx=-2.A∵直线的方向向量为(1,2),∴直线的斜率k=2.∴直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选A.3.D因为A(-1,4),B(3,2),所以AB=(4,-2).若n=(1,-2),则AB·n=4+4=8≠0,不满足;若n=(4,-2),则AB·n=16+4=20≠0,不满足;若n=(4,2),则AB·n=16-4=12≠0,不满足;若n=(1,2),则AB·n=4-4=0,满足.故选D.4.A设P(x,y)是所求直线上除点A外任一点,则AP⊥a,∵AP=(x-2,y-3),∴2(x-2)+(y-3)=0,即2x+y-7=0.经检验,点A在直线2x+y-7=0上,故直线方程为2x+y-7=0.5.9由直线l的一个方向向量是v=(1,2),可知直线l的斜率为k=2,因此t-35-2=6.(1,-1)(答案不唯一)设直线l的一个方向向量d=(x,y),因为直线l的倾斜角为3π4,所以直线l的斜率k=tan3π4=-1,故令x=1,则y=-1,故方向向量d可以是(1,-1).7.解(1)∵直线m的一个方向向量为v=(3,3),∴直线m的斜率为33,则直线m的倾斜角为30°则直线l的倾斜角为60°,即直线l的斜率为tan60°=3.∵直线l过点P(3,-4),∴直线l的点斜式方程为y-(-4)=3(x-3).(2)由(1)知直线l的斜率为3.∵直线l与y轴的交点为(0,-3),∴直线l的点斜式方程为y-(-3)=3(x-0).8.D由题可得,11-m=-m2,解得m=-19.BD当u=0时,斜率不存在,故A错误;由方向向量与斜率的关系,可知B正确;当k=0时,方向向量为零向量,故C错误;由于d·t=-uv+uv=0,故D正确.故选BD.10.AD因为直线l的一个方向向量为u=-36,12,所以直线l的斜率k=12-36=-3,则得直线直线l的方程为y+2=-3(x-1),当y=0时,x=1-233,即直线l与x轴交于点1-23直线y=3x+2的一个法向量为(3,-1),则3×-36+(-1)×12=-1≠0,即直线l与直线y=3x+2不垂直直线y=-3x+2的斜率为-3,直线l的斜率为-3,且两条直线在y轴上的截距不相等,则直线l与直线y=-3x+2平行,故D正确.11.A设点A的坐标为(x0,y0),AC所在直线的方向向量为(1,2),则AC所在直线的斜率k=1-y01-x0=21,即1×(1-y0)-2(1-x0)=0,所以A(x0,2x0-1),则线段AC的中点坐标为1+x因为AC边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0,则线段AC的中点1+x02,x0在直线x+y-1=0上,即1+x02+x0-1=0,解得x12.(1,k)(k,-1)(答案不唯一)因为直线的斜率为k,所以它的一个方向向量为(1,k),设直线的一个法向量为(x,y),则(x,y)·(1,k)=x+ky=0,不妨取x=k,y=-1,则它的一个法向量是(k,-1).13.3因为直线l1:ax-2y-3=0的一个法向量恰为直线l2:4x+6y-3=0的一个方向向量,所以l1⊥l2.直线l1的一个法向量为(a,-2),直线l2的一个法向量为(4,6),所以a×4+(-2)×6=0,解得a=3.14.解(1)由A(1,2),B(4,-1)知,AB边所在直线的一个方向向量是AB=(3,-3).故AB边所在直线的一个法向量为(3,3).(答案不唯一)(2)设线段AB的中点为M,则点M52设AB边的中垂线的一个方向向量为d,则d⊥AB.因为AB=(3,-3),所以取d=(1,1),则中垂线斜率为k=1,则可得中垂线的方程为y-12=1×x整理得AB边的中垂线的一般式方程是x-y-2=0.15.解(1)把A(1,0)的坐标代入直线l的方程得a2-2a+1=0,解得a=1,此时直线l的方程为3x-y-3=0,故直线l的一个方向向量为(1,3).(答案不唯一)(2)设直线l的斜率为k,因为a≠0,所以直线l的斜率k=a2-2a+4a=a+4a-2,所以当a>0时,k=a+4a-2≥2a·4a当a<0时,k=-(-a)+-4a-2≤-2(-