湘教版九年级数学 3.4 相似三角形的判定与性质（学习、上课课件）

3.4相似三角形的判定与性质第三章图形的相似第1课时

相似三角形的判定逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2平行线截三角形相似的定理角的关系判定三角形相似定理边角关系判定三角形相似定理三边关系判定三角形相似定理知识点平行线截三角形相似的定理知1－讲11.

定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.深度理解“与其他两边相交”是指与其他两边所在直线相交.知1－讲数学表达式：如图3.4-1，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.知1－讲2.

作用：本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例.知1－讲特别提醒◆书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上.◆根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BC∥DE，图3.4-1①②很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似；图3.4-1③很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似(也像阿拉伯数字“8”).知1－练[母题教材P78例2]如图3.4-2所示，已知在▱

ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解题秘方：紧扣“平行线截三角形相似的两种基本图形：‘A’型和‘X’型”进行查找.例1知1－练

知1－练感悟新知1-1.

[期末·娄底]如图，在平行四边形ABCD中，E

是AB

边延长线上一点，连接DE，交AC

于点G，交BC

于点F，那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有(

)A．6对

B．5对C．4对

D．3对B知1－练

例2知1－练答案：D解题秘方：掌握平行线截三角形相似的定理和相似三角形的对应边成比例是解题的关键.

知1－练感悟新知

知2－讲知识点角的关系判定三角形相似定理21.

相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.2.

数学表达式：如图3.4-4所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知2－讲特别提醒由两角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角(以后会学到)都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.知2－讲3.

常见的相似三角形的类型：(1)“平行线”型：如图3.4-5①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.(2)“相交线”型：如图3.4-5②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC.知2－讲(3)“子母”型：如图3.4-5③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如图3.4-5④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC.整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.知2－练如图3.4-6，在△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：△ABF∽△CAF.例3感悟新知解题秘方：紧扣“两角分别相等的两三角形相似”证明.由于∠BFA是公共角，因此只需说明∠B＝∠4即可.知2－练知2－练证明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD

－∠2，∴∠B

＝∠4.∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知2－练感悟新知3-1.

【二模·广州越秀区】如图，在平行四边形ABCD中，点E

为BC边上的点(不与点B，点C

重合)，连接DE

并延长，交AB

的延长线于点F.求证：△CDE∽△AFD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AF，∠C＝∠A.∴∠CDE＝∠F.∴△CDE∽△AFD.知3－讲知识点边角关系判定三角形相似定理31.

相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.特别提醒运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS的方法.知3－讲

知3－练如图3.4-8，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.解题秘方：紧扣“边角关系判定三角形相似定理”证明即可.例4知3－练

知3－练感悟新知4-1.

[期末·岳阳]如图，在△ABC

中，AB=6，AC=9，点D，E

分别在AB，AC

上，D

为AB的中点，CE＝7.求证：△AED∽△ABC.知3－练知4－讲知识点三边关系判定三角形相似定理41.

相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.知4－讲

知4－练图3.4-10、图3.4-11中小正方形的边长均为1，则图3.4-11中的哪一个三角形(阴影部分)与图3.4-10中的△ABC相似？例5知4－练解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形三边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”判断.知4－练

知4－练感悟新知5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB

和△DCE的顶点都在格点上，ED

的延长线交AB

于点

F．求证：(1)△ACB

∽△DCE；知4－练感悟新知(2)EF⊥AB．证明：∵△ACB∽△DCE，∴∠A＝∠EDC.又∵∠E＋∠EDC＝90°，∴∠E＋∠A＝90°.∴∠EFA＝90°，即EF⊥AB.相似三角形的判定相似三角形的判定边、角角角边角边边边边平行线截三角形相似3.4相似三角形的判定与性质第三章图形的相似第2课时

相似三角形的性质逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2相似三角形对应线段的比相似三角形面积的比知识点相似三角形对应线段的比知1－讲11.

定理：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.即：相似三角形对应线段的比等于相似比.深度理解对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线.知1－讲特别提醒：(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；(2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序.知1－讲2.

相似三角形周长的比：相似三角形周长的比等于它们的相似比.知1－练[中考·东营]如图3.4-18，在△ABC中，点F，G在BC上，点E，H分别在AB，AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高．BC＝8，AD＝6，那么EH的长为________．

例1知1－练解题秘方：将求线段长的问题转化为求相似三角形对应高的比的问题进行求解.知1－练

知1－练解法提醒∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，EF⊥BC.又∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AM⊥EH.∵EH∥BC，EF⊥BC，MD⊥FG，∴MD＝EF.知1－练感悟新知

D知1－练[中考·连云港]△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF

的周长是()A.54 B.36 C.27 D.21解题秘方：紧扣“相似三角形周长的比等于相似比”列方程求解.例2

知1－练解：：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，∴△ABC与△DEF的相似比为4∶12=1∶3，∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3∶1，∴△DEF的周长为3×(2＋3＋4)＝27.答案：C知1－练感悟新知2-1.

[期末·嘉峪关]两个三角形的相似比为1∶4，它们的周长之差为27cm，则较小的三角形的周长为_______

．9cm知2－讲知识点相似三角形面积的比2

知2－讲活学巧记两个相似三角形，各角对应都相等，各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.感悟新知知2－练[中考·阜新]如图3.4-19，在矩形ABCD

中，E

是AD

边上一点，且AE

＝2DE，BD

与CE相交于点F，若△DEF

的面积是3，则△BCF

的面积是________．例327知2－练感悟新知解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解.解：∵四边形ABCD

是矩形，∴AD∥BC，AD=BC.∴∠EDF

＝∠CBF.∵∠EFD

＝∠CFB，∴△DEF∽△BCF.∵