北师版九年级数学 2.6应用一元二次方程（学习、上课课件）

6应用一元二次方程第二章一元二次方程逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤知识点建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤知1－讲1列方程解应用题，指的是先把实际问题抽象为数学问题(即建立方程模型)，然后通过解决数学问题来解决实际问题.知1－讲1.一般步骤步骤内容摘要注意事项①审审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系等量关系往往体现在关键词句中②设设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法(引入辅助未知数，并在解题过程中消去)有单位的要带单位③列用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程方程两边单位要统一知1－讲步骤内容摘要注意事项④解根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值一般不必写出解方程的过程⑤检验检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义一般两个根中只有一个符合实际意义⑥答写出实际问题的答案遵循“问什么答什么”的原则知1－讲2.列一元二次方程解应用题的注意事项(1)在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个量用含x

的代数式表示出来.(2)设未知数时必须写清单位、用对单位.列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位.(3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义.知1－讲3.常见实际问题的数量关系常见问题列方程的依据平均增长率(降低率)问题a

为起始量，b

为终止量，平均增长率公式：a(1＋x)n=b(x为平均增长率，n

为增长的次数).平均降低率公式：a(1－x)n=b(x

为平均降低率，n为降低的次数)知1－讲常见问题列方程的依据商品销售问题知1－讲常见问题列方程的依据几何图形问题知1－讲常见问题列方程的依据数字问题(1)两位数=十位上的数字×10＋个位上的数字；(2)三位数=百位上的数字×100＋

十位上的数字×10＋

个位上的数字知1－讲特别解读1.列方程，这是解应用题最关键的一步，一般先找出能够表达全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就能得到含未知数的等式，即方程.2.灵活设元巧解题：(1)直接设元:一般情况下，题中问什么就设什么，即直接设所求的量为未知数，这种设元的方法叫直接设元法.(2)间接设元:如果直接设元列方程比较困难或列出的方程比较复杂，此时可以设其他相关的量为未知数，把问题中所求的量用含未知数的代数式表示，这种设元的方法叫间接设元法．知1－练例1【情境题环境保护】在“低碳生活，绿色出行”的号召下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某运动商城的自行车销售量自2023年起逐月加．据统计，该商城7月份销售自行车64辆，9月份销售了100辆．这个运动商城8，9这两个月的月平均增长率是多少？知1－练思路导引：解：设这个运动商城8，9这两个月的月平均增长率是x.根据题意，得64(1＋x)2=100，解得x1=－225%(不合题意，舍去)，x2=25%.所以，这个运动商城8，9这两个月的月平均增长率为25%.此类问题所列方程通常采用直接开方法求解.知1－练题后反思：解决平均增长率(降低率)问题的关键：1.找准起始量和终止量.2.牢记等量关系a(1±x)2=b，其中，a

是起始量，b

是终止量，x是平均增长率(降低率)，n为增长(降低)的次数.若x

为平均增长率，则用a(1＋x)n=b，若x为平均降低率，则用a(1－x)n=b.知1－练1-1.[期末·安庆桐城市]为助力实现“双碳”目标，安徽大力发展光伏零部件制造.合肥某公司2023年第一季度生产A型零件的成本是200万元，由于技术升级，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为128万元，若该公司每个季度的平均下降率都相同.知1－练(1)求该公司每个季度的平均下降率是多少．解：设该公司每个季度的平均下降率是x.根据题意，得200(1－x)2＝128，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)．所以，该公司每个季度的平均下降率是20%.知1－练(2)按照这个平均下降率，预计2024年第一季度生产A型零件的成本是多少元？解：根据题意，得128×(1－20%)2＝81.92(万元)．所以，预计2024年第一季度生产A型零件的成本是81.92万元．知1－练【母题教材P54例2】

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利、尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：例2关键句知1－练解题秘方：通过关系式“销售盈利＝每件盈利×销量”，建立方程进行解答.知1－练技巧点拨：本题可用列表法分析题目中各个量之间的关系，列表法的优点在于将题目中各个量列在一个表格中，从而理顺它们之间的关系，以便从中找出相等关系，列出方程.如本题分别从降价前后将每件盈利、销售量、总盈利进行对比呈现，便可找出相等关系.知1－练(1)降价前，该商场衬衫每天的总盈利为______元；(2)降价后，设该商场每件衬衫应降价x

元，则每件衬衫盈利______元，平均每天可售出__________件；(用含x

的代数式表示)900(5－x)(20＋4x)知1－练(3)请列出方程，求出x

的值.解：由题意得(45－x)(20＋4x)=2100，解得x1=10，x2=30.为了尽快减少库存，故x=30.所以，每件衬衫应降价30元.在盈利相同的情况下，尽快减少库存的办法就是要多卖，降价越多，卖的也就越多.知1－练2-1.某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了x

元．知1－练(1)填表(不需化简)：入住客房数量/间每间客房价格/元总维护费用/元提价前6020060×20提价后200＋x知1－练(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？(

纯收入=总收入－维护费用)知1－练知1－练例3为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．知1－练(1)求年销售量y

与销售单价x的函数关系式.解题秘方：利用题中条件，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x

的函数关系式；

知1－练(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？解题秘方：依据“年利润=每台设备的利润×年销售量”列方程求解．解：设此设备的销售单价为x

万元，则每台设备的利润为(x－30)万元，年销售量为(－10x＋1000)台.根据题意，得(x－30)(－10x＋1000)=10000.整理，得x2－130x＋4000=0，解得x1=50，x2=80．因为此设备的销售单价不得高于70万元，所以x=50．因此，该设备的销售单价应是50万元．知1－练3-1.某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.知1－练(1)求y

与x

之间的函数关系式.知1－练(2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？解：(60－3－40)×(10×3＋100)＝17×130＝2210(元)．所以，当每千克干果降价3元时，超市获利2210元．知1－练(3)若超市想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？解：依题意得(60－x－40)(10x＋100)＝2090，整理得x2－10x＋9＝0，解得x1＝1，x2＝9.又因为要让顾客获得更大实惠，所以x＝9.因此，这种干果每千克应降价9元．知1－练[中考·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图2－6－1，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖．铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用为642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？例4知1－练思路导引：根据题干找出等量关系，根据几何图形面积公式，建立一元二次方程，求解一元二次方程即可.方法点拨：此类题除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法之外，关键是能用未知数表示相关的线段长，以及对方程的根进行取舍.知1－练解：设扩充后广场的长为3xm，则宽为2xm.根据题意，得3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)=642000，解得x1=30，x2=－30(不合题意，舍去)．则3x=90，2x

=60.所以，扩充后广场的长和宽应分别为90m和60m.设未知数时必须写清单位.知1－练4-1.如图，用长为22m的篱笆，一面利用墙(

墙的最大可用长度为14m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC

上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．知1－练(1)设花圃的一边AB

长为xm，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为________m；(24－3x)知1－练(2)若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．解：由题意得(24－3x)x＝45，解得x1＝3，x2＝5.当AB＝3m时，AD＝15m>14m，不符合题意，舍去；当AB＝5m时，AD＝9m，满足题意．所以，花圃的长为9m，宽为5m.知1－练例5如图2-6-2，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去的正方形的边长为多少厘米时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2

？知1－练思路导引：知1－练

知1－练知1－练5-1.一块矩形铁皮如图，将四个角各剪去一个边长为2m的正方形后，剩下的部分做成一个容积为96m3

的无盖长方体箱子.已知长方体箱子底面的长比宽多2m，求矩形铁皮的面积.知1－练解：设矩形铁皮的宽为xm，则长为(x＋2)m，依题意得(x＋2－2×2)(x－2×2)×2＝96，整理得x2－6x－40＝0，解得x1＝－4(不合