北师版九年级数学 1.3正方形的性质与判定（学习、上课课件）

3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2正方形的定义正方形的性质正方形的判定中点四边形知识点正方形的定义知1－讲11.正方形的定义定义图示数学表达式有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形∵在ABCD

中，AB=BC(或AB=AD

或BC=CD

或AD=CD)，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，∴ABCD是正方形知1－讲2.图解知1－讲3.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系知1－讲特别提醒1.正方形在平行四边形的基础上还必须具备两个条件:(1)一组邻边相等.(2)一个角是直角.2.正方形不仅是平行四边形，还是矩形和菱形.3.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系如图1-3-1所示.知1－练例1如图1-3-2，△

ABD和△

BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°．求证：四边形ABCD是正方形.解题秘方：紧扣定义中“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形”进行判定.知1－练证明：∵△ABD和△

BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°，∴∠ADB=∠ABD=45°，∠CBD=∠CDB=45°，AB=AD.∴∠

ADB=∠CBD，∠ABD=∠CDB.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD为平行四边形.又∵∠A=90°，AB=AD，∴四边形ABCD

是正方形.此处满足了正方形定义中的三个条件.知1－练1-1.已知在ABCD中，∠A=90°，如果再添加一个条件，可使该平行四边形是正方形，那么这个条件可以是()A.∠B=90° B.AB=CDC.

AD=BC D.AB=ADD知2－讲知识点正方形的性质21.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.正方形的性质可以从边、角、对角线、对称性这四个方面来研究.总结如下表：知2－讲性质图形数学表达式边对边平行，邻边互相垂直，四条边都相等∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AD∥BC；AD⊥DC，DC⊥CB，CB⊥BA，BA⊥AD；AD=DC=CB=BA知2－讲性质图形数学表达式角四个角都相等，都等于90°∵四边形ABCD

是正方形，∴∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°对角线两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD

是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC，OB=OD；AC平分∠

DAB和∠DCB，BD

平分∠ADC

和∠ABC知2－讲性质图形数学表达式对称性是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和过每一组对边中点的直线直线m，n，AC，BD

是正方形ABCD

的四条对称轴是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点点O

是正方形ABCD的对称中心知2－讲2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质对比类别边角对角线平行四边形对边平行、相等对角相等对角线互相平分菱形对边平行、四条边相等对角相等对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角矩形对边平行、相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正方形对边平行、四条边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角知2－讲特别提醒正方形的特殊性质：1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.2.正方形的面积=边长平方=两条对角线乘积的一半.3.周长相等的四边形中，正方形的面积最大.知2－练如图1-3-3，在正方形ABCD

中，E为CD

上一点，F为BC

延长线上一点，CE=CF.例2解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息来解决问题.知2－练(1)求证：△BCE≌△DCF；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°.∴∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.知2－练(2)若∠BEC=60°，求∠

EFD的度数.解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－∠CFE=60°－45°=15°知2－练2-1.如图，四边形ABCD

是正方形，△DCE是等边三角形，AC，BD

交于点O，连接AE交BD

于点F，连接OE

交CD于点G.知2－练(1)求∠AED的度数；知2－练(2)若OG=1，求△CDE

的周长．解：易知OC＝OD，DE＝CE，∴点O，点E在CD的垂直平分线上．∴OE垂直平分CD.∴G是CD的中点．∵OB＝OD，OG＝1，∴OG是△BCD的中位线．∴BC＝2OG＝2.∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC＝2.∵△DCE是等边三角形，∴△CDE的周长＝3CD＝6.知3－讲知识点正方形的判定3(1)从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形.知3－讲知3－讲

知3－练【新视角一题多解】已知：如图1-3-4，△ABE

为等腰直角三角形，AB=AE，AC

为高，O

是AE

的中点，延长CO

到点D，使OD=OC，连接AD，DE.求证：四边形ACED

是正方形.例3解题秘方：“先确定待证四边形是一种特殊的四边形，再加上边或角或对角线的关系”确定它是正方形.知3－练

知3－练

知3－练

知3－练3-1.如图，在矩形ABCD

中，点E，F

分别是AB，BC

的中点，连接AF，CE.知3－练(1)若AE=2，AF=5，求CE

的长；知3－练(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD

是正方形.知4－讲知识点中点四边形41.中点四边形的概念：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形.如图1-3-5，在四边形ABCD

中，E，F，G，H

分别是AB，BC，CD，DA

的中点，则四边形EFGH

就是中点四边形.2.常见的中点四边形(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形；(2)平行四边形的中点四边形是平行四边形；(3)矩形的中点四边形是菱形；(4)菱形的中点四边形是矩形；(5)正方形的中点四边形是正方形.知4－讲知4－讲知4－讲特别提醒中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形)；两条对角线相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).知4－练【母题教材P23议一议(1)】如图1-3-6，顺次连接菱形ABCD的各边中点E，F，G，H，若AC=a，BD=b，求四边形EFGH的面积.例4解题秘方：要求中点四边形的面积，确定中点四边形的形状及边的长度是关键.知4－练

知4－练

知4－练4-1.如图，在四边形ABCD中，

AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1

各边中点，得到四边形A2