华师版九年级数学 24.4 解直角三角形（学习、上课课件）

24.4解直角三角形第24章解直角三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2解直角三角形解直角三角形在实际问题中的应用知识点解直角三角形知1－讲11.

一般地，直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).(2)

一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.知1－讲深度理解1.已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的大小不唯一，所以有无数个三角形符合条件.2.已知一角一边时，角必须为锐角，若已知角为直角，则不能求解.知1－讲2.

直角三角形中的边角关系在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理).(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.知1－讲

知1－讲活学巧记口诀记忆法有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切.“有斜求对乘正弦”的意思是在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其余的口诀意思可类推.知1－练例1

解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择合适的关系式求解.知1－练

知1－练

知1－练

知1－练知1－练根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.例2解题秘方：紧扣以下两种思路去求解：(1)求边时，一般用未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角函数.(2)求角时，一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个锐角三角函数.知1－练

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；知1－练

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.知1－练2-1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)c＝30，b＝20；知1－练(2)∠B＝72°，c＝14；知1－练

知1－练例3

解题秘方：紧扣“化斜为直法”，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解.知1－练

知1－练

B知1－练3-2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝6，则△ABC的周长为_____________.知2－讲知识点解直角三角形在实际问题中的应用21.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.知2－讲解直角三角形在实际问题中的应用2.

解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示图形关系式图形关系式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ)知2－讲解直角三角形在实际问题中的应用续表：图形关系式图形关系式AB＝DE＝AE·tanβ，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知2－讲解直角三角形在实际问题中的应用续表：图形关系式图形关系式知2－讲特别提醒1.在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.2.若问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，则可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解.知2－练

例4知2－练解题秘方：建立数学模型后，用“化斜为直法”，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解.知2－练

(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；知2－练

(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？知2－练4-1.如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，木栈道AB与景区道路CD平行，在C处测得木栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得木栈道另一端B位于北偏西32°方向，已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度(结果保留整数).(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)知2－练解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F.易得四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120m，CE＝DF.知2－练在Rt△BDF中，∠BDF＝32°，BD＝80m，∴BF＝80·sin32°≈80×0.53＝42.4(m)，DF＝80·cos32°≈80×0.85＝68(m)，∴EB＝EF－BF≈120－42.4＝77.6(m)．在Rt△ACE中，CE＝DF≈68m，∠ACE＝42°，∴AE≈68·tan42°≈68×0.90＝61.2(m)，∴AB＝AE＋EB≈61.2＋77.6≈139(m)．答：木栈道AB的长度约为139m.知2－练2023年10月26日11时14分，“神舟十七号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射．如图24.4-3，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．例5知2－练解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.知2－练

(1)求点A离地面的高度AO；知2－练

知2－练

知2－练5-1.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台A处的高度AB.(结果精确到1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)知2－练解：如图，过点D作DE⊥AB于点E.易得四边形BCDE是矩形，∴BE＝DC≈61米，DE＝CB.易得∠DBC＝∠BDE＝22°.知2－练知2－练

例6解题秘方：将分散的条件集中到△ABP中求解.知2－练(1)山坡坡角的度数等于_______；30°

知2