华师版九年级数学 23.3 相似三角形（学习、上课课件）

23.3相似三角形第23章图形的相似23.3.1相似三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2相似三角形平行线截三角形相似的定理知识点相似三角形知1－讲11.

定义对应边成比例、对应角相等的三角形相似.反之，两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等.知1－讲2.表示方法相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”.例如△ABC与△A′B′C′相似，记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”.3.相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.知1－讲特别提醒用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上.相似三角形的相似比具有顺序性.知1－练例1如图23.3-1，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70°，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.解题秘方：紧扣相似三角形的对应角相等，对应边成比例求解.知1－练(1)求△ABC与△ADE的相似比；

知1－练(2)求∠AED的度数和DE的长.

知1－练

B知2－讲知识点平行线截三角形相似的定理2定理平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似.常见基本图形如图23.3-2.知2－讲特别提醒根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BC//DE，图23.3-2①②很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似；图23.3-2③很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似(也像阿拉伯数字“8”).知2－练如图23.3-3，在ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.例2解题秘方：紧扣平行线截三角形相似的两种基本图形：“A”型和“X”型进行查找.知2－练

相似比有顺序性，若顺序颠倒，则相似比成为原来相似比的倒数.知2－练2-1.[中考·玉林]如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中的相似三角形共有()A.3对B.5对C.6对D.8对C知2－练

解题秘方：紧扣平行线截三角形相似及相似三角形的对应边成比例解答.例31知2－练

知2－练3-1.[中考·重庆]如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为()A.4B.9C.12D.13.5B相似三角形相似三角形判定定义平行线相似比23.3相似三角形第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2由角的关系判定三角形相似由边角关系判定三角形相似由三边关系判定三角形相似知识点由角的关系判定三角形相似知1－讲11.相似三角形的判定定理1

两角分别相等的两个三角形相似.特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似.数学语言：如图23.3-9，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知1－讲特别提醒由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.知1－讲2.常见的相似三角形的类型(1)平行线型：如图23.3-10①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.(2)斜交线型：如图23.3-10②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC.知1－讲(3)子母型：如图23.3-10③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如图23.3-10④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.知1－练例1如图23.3-11，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证：△ABF∽△CAF.知1－练解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”证明，由于∠BFA是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠B＝∠4即可证明.知1－练证明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∠1＝∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知1－练1-1.[中考·菏泽]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D.求证：△ADE∽△ABC.知1－练证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠BEC.又∵∠BEC＝∠AED，∴∠AED＝∠C.∵AD⊥BD，∴∠D＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABC.

∴△ADE∽△ABC.知2－讲知识点由边角关系判定三角形相似2

知2－讲特别提醒运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS方法.知2－练如图23.3-13，在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.例2解题秘方：紧扣“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明.知2－练

知2－练2-1.如图，在△ABC中，D，E分别在AB与AC上，且AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4.求证：△ADE∽△ACB.知2－练知3－讲知识点由三边关系判定三角形相似3

知3－讲特别提醒●由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.●应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况.知3－练图23.3-15与图23.3-16中小正方形的边长均为1，则图23.3-16中的哪一个三角形(阴影部分)与图23.3-15中的△ABC相似？例3知3－练解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”判断.知3－练

知3－练

知3－练3-1.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空：∠ABC＝______°，AC＝______.135知3－练(2)△ABC与△DEF是否相似？证明你的结论.相似三角形的判定相似三角形的判定条件两角分别相等两边成比例且夹角相等三边成比例23.3相似三角形第23章图形的相似23.3.3相似三角形的性质逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2相似三角形对应线段的比相似三角形面积的比知识点相似三角形对应线段的比知1－讲11.相似三角形对应线段的比相似三角形对应边上的高的比、中线的比、对应角的平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比.特别提醒：(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；(2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序.知1－讲2.相似三角形周长的比相似三角形的周长之比等于相似比.知1－讲深度理解高、中线、角平分线必须是相似三角形对应边上的高、中线及对应角的平分线.知1－练例1如图23.3-25，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为1∶2.若BC＝30cm，AD＝10cm，求矩形EFGH的周长.解题秘方：将求矩形周长问题转化为与相似三角形对应高的比相关的问题求解.知1－练

知1－练

D知1－练如果两个相似三角形的相似比是3∶2，它们的周长差为8，那么较大的三角形的周长为______.解题秘方：紧扣“相似三角形周长之比等于相似比”列方程求解.例224也可设较小的三角形的周长为2x，则较大的三角形的周长为3x.∴3x－2x＝8，∴x＝8，∴较大的三角形的周长为3x＝24.知1－练

知1－练2-1.[中考·连云港]△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是()A.54 B.36C.27 D.21C知2－讲知识点相似三角形面积的比2

知2－讲2.相似多边形面积的比相似多边形面积的比等于相似比的平方

.知2－讲活学巧记两个相似三角形，各角对应都相等，各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.知2－练如图23.3-26，△ABC∽△A′B′C′，BC＝6，B′C′＝4，AD⊥BC，AD＝4，求△A′B′C′的面积.解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解.例3知2－练

知2－练

C相似三角形的性质相似三角形的性质边、角对应线段对应边成比例，对应角相等对应高、中线、角平分线的比等于相似比周长周长比等于相似比面积面积比等于相似比的平方23.3相似三角形第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2利用相似测量物体的高度利用相似测量宽度知识点利用相似测量物体的高度知1－讲11.利用影长测量物体的高度(1)测量原理：同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例.要确保被测物体的底部能够到达.知1－讲(2)测量方法：在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度.(如图23.3-32)特别提醒由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长.知1－讲2.利用直尺或标杆测量物体的高度(1)测量原理：用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边，利用视点和盲区构造相似三角形.(2)测量方法：借助直尺或标杆测量物体高度的方法如图23.3-33.知1－讲特别提醒使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，观测者的眼睛、直尺顶(底)端和被测物体顶(底)端必须“三点共线”，标杆或直尺与地面要垂直，被测物体底部必须可到达.知1－讲3.利用镜子的反射测量物体的高度(1)测量原理：利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形.(2)测量方法：测出观测者站立点与镜面标记点的距离、待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度.(如图23.3-34)知1－讲特别提醒●测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置.●利用物理学中的“反射角等于入射角”及数学中的“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等.知1－练例1数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米.解题秘方：用“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”求解.12知1－练解：设该旗杆的高度是x

米，根据题意，得2∶1.2＝x∶7.2，解得x＝12，即该旗杆的高度是12米.知1－练1-1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是多少？知1－练如图23.3-35，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝______m.5.5例2知1－练解题秘方：解本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边的比相等列出方程求解.

知1－练2-1.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使直角边DE与旗杆顶端A在同一直线上.已知DE＝0.5m，EF＝0.25m，测得点D到地面的距离DG＝1.5m，到旗杆的水平距离DC＝20m，则旗杆的高度为_______.11.5m知1－练例3如图23.3-36是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放一平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙CD的高度.知1－练解题秘方：紧扣“利用镜子的反射测量物体的高度的原理”判定两个三角形相似解决问题.知1－练

知1－练3-1.如图，小明为测量学校旗杆AB的高度，在E处放置一面镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B.已知小明的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，他与镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子与旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A，E，C三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为______.6m知2－讲知识点利用相似测量宽度21.

测量原理测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似