第06课时不等式的定义与解集(原卷版+解析)

第06课时不等式的定义与解集（原卷版）核心考点考点1不等式的定义1．（2023春·八年级单元测试）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）下列各式为不等式的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·八年级单元测试）已知不等式，的最小值是；，的最大值是，则___________．5．（2022春·北京·七年级校考期末）用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为______．6．（2022秋·八年级课时练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空．(1)a___________b．(2)___________．(3)___________0．(4)___________0．(5)ab___________0．7．（2022秋·八年级课时练习）选择适当的不等号填空：(1)8___________11．(2)___________(3)___________．(4)___________0．考点2不等式的解集8．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集9．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（

）A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④10．（2022春·四川眉山·七年级统考期末）下列各数中，满足不等式的是（

）A． B．0 C．1 D．311．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）下列各数中，是不等式的解的是（

）A． B．2 C．1 D．3.512．（2022秋·浙江·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集13．（2022春·北京西城·七年级校考阶段练习）写出一个解集为的一元一次不等式___________．14．（2022秋·北京·七年级北京育才学校校考期中）小光在一条东西方向的马路上行走，向东走5米记作米．(1)则向西走米记作___________米；(2)小光从出发点出发，前4次行走依次记作，，，（单位：米），则他第5次需要向___________走___________米，才能恰好回到出发点；(3)小光从出发点出发，将连续的4次行走依次记作，，，（单位：米）．如果此时他位于出发点西侧，则的取值范围是___________．此时小光共行走了多少米？（用含m的代数式表示，并化简）15．（2022·全国·七年级专题练习）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a．(1)若两个不等式解集相同，求a的值；(2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围．二、易错点易错点1：去括号时符号的问题（错因刨析）去括号时，括号前如果是负号，要记得变号，一定要特别注意。16．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）解不等式．(1)．(2)．17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）解下列不等式并把解集在数轴上表示出来．(1)(2)．易错点2：去括号时系数的问题（错因刨析）去括号时，除了要注意符号问题，还需要注意系数问题，括号外面的系数要与括号里面的每一项都相乘，不能漏乘。如果既有系数问题，又有符号问题，为了避免出错，我们可以先处理系数问题，再处理符号问题。18．（2022秋·八年级课时练习）解不等式．19．（2022秋·八年级课时练习）求适合不等式的最小负整数．三、拔尖角度角度1用数轴表示不等式的解集20．（2023春·全国·七年级假期作业）把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－.21．（2021春·八年级课时练习）不等式的解集x<3与x≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．角度2根据实际问题列不等式22．（2022秋·八年级课时练习）用等式或不等式表示下列问题中的数量关系：(1)某市身高不超过的儿童可免费乘坐公共汽车．记可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为．(2)某农户今年的收入比去年多1.5万元．记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元．23．（2022秋·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：(1)x的7倍减去1是正数．(2)y的与的和不大于0．(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．(4)y的20%不小于1与y的和．角度3根据不等式解综合与实践问题24．（2020秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）材料一：一个整数能够被9整除，则它的各个数位上数字之和能被9整除；材料二：我们把形如（其中且为整数）的五位正整数称为“对称凹数”，例如：86068、71017都是“对称凹数”．（1）最小的“对称凹数”是___________，最大的“对称凹数”是___________；（2）五位正整数都是“对称凹数”，若满足的同时，与之和仍构成一个新的“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被9整除，请求出“对称凹数”与．25．（2020春·七年级统考课时练习）阅读下列材料：数学问题：已知，且，，试确定的取值范围．问题解法：，．又，，．又，．①同理得．②由②①得，的取值范围是．完成任务：（1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____．（2）已知，且，，试确定的取值范围；（3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．角度4利用不等式解创新型问题26．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则__________．27．（2020·全国·九年级专题练习）任意一个正整数n，都可以表示为：n＝a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）＝，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）＝＝2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）＝2；（2）t是一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．第06课时不等式的定义与解集（解析版）核心考点考点1不等式的定义1．（2023春·八年级单元测试）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个思路引领：根据不等式的定义逐个判断即可．解：不等式有：，，，，共4个，故选：C．总结提升：本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5思路引领：主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，据此来判断即可．解：①是等式；②符合不等式的定义；③是多项式；④符合不等式的定义；⑤符合不等式的定义；不等式共有3个，故选：B．总结提升：本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．3．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）下列各式为不等式的是（

）A． B． C． D．思路引领：用不等号连接表示不等关系的式子是不等式，用定义逐一判断即可．A.没有不等号，不是不等式，本选项不符合题意；B.用等号连接，是等式，本选项不符合题意；C.有不等号连接，表示不等关系，是不等式，本选项符合题意；D.没有不等号，不是不等式，本选项不符合题意．故选C．总结提升：本题考查不等式的定义，熟记不等式需要用不等号连接是解题的关键．4．（2023春·八年级单元测试）已知不等式，的最小值是；，的最大值是，则___________．思路引领：解答此题要理解“”“”的意义，判断出和的最值即可解答．解：因为的最小值是，；的最大值是，则；则，所以．故答案为：．总结提升：本题考查了不等式的定义，解答此题要明确，时，可以等于2；时，可以等于．5．（2022春·北京·七年级校考期末）用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为______．思路引领：根据超过用“”列不等式即可．解：由题意得．故答案为：总结提升：本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．6．（2022秋·八年级课时练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空．(1)a___________b．(2)___________．(3)___________0．(4)___________0．(5)ab___________0．思路引领：（1）根据数轴上a，b对应点在数轴上的位置，即可得到答案；（2）由绝对值的几何意义，即可求解；（3）根据实数的加法法则即可求解；（4）根据实数的减法法则即可求解；（5）根据实数的乘法法则即可求解．（1）解：由数轴可知：，故答案为：＞；（2）解：由数轴可知：＜，故答案为：＜；（3）解：∵，＜，∴，故答案为：＜；（4）解：∵，∴，故答案为：＞；（5）解：∵∴，故答案为：＜．总结提升：本题主要考查数轴，绝对值，实数的加减法和乘法，掌握绝对值的几何意义，实数的加减法法则是关键．7．（2022秋·八年级课时练习）选择适当的不等号填空：(1)8___________11．(2)___________(3)___________．(4)___________0．思路引领：（1）根据有理数的大小比较法则，直接求解；（2）先比较了两个数的绝对值，再比较有理数的大小即可；（3）先比较两个数的绝对值，再比较实数大小即可；（4）根据偶数次方的非负性，即可得到答案．（1）解：，故答案为：＜；（2）解：∵，，且，∴＜，故答案为：＜；（3）解：∵，∴＞，故答案为：＞；（4）解：,故答案为：≥．总结提升：本题主要考查实数的大小比较，偶数次幂的非负性，掌握实数的大小比较法则，偶数次幂的非负性是关键．考点2不等式的解集8．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集思路引领：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意；B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意；C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意；D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意．故选∶A．总结提升：本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．9．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（

）A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④思路引领：根据，判定区域即可．因为，故选C．总结提升：本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式解集的意义是解题的关键．10．（2022春·四川眉山·七年级统考期末）下列各数中，满足不等式的是（

）A． B．0 C．1 D．3思路引领：根据各项数据的大小，判断其是否满足不等式的解集即可．∵-4＜0，0＜1＜3，x＜0，∴满足条件的只有-4，故选：A．总结提升：本题考查了不等式解集的知识，关键是明白不等式解的取值范围．11．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）下列各数中，是不等式的解的是（

）A． B．2 C．1 D．3.5思路引领：在选项中找到大于2的即为所求．解：在−2，2，1，3.5中，只有3.5＞2，故选：D．总结提升：本题考查不等式的解集，理解不等式解集的定义是解题的关键．12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集思路引领：对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；故选：A．总结提升：此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．13．（2022春·北京西城·七年级校考阶段练习）写出一个解集为的一元一次不等式___________．思路引领：根据题意写出符合要求的不等式即可．解：解集为的一元一次不等式可以是，故答案为：（答案不唯一）．总结提升：本题主要考查了一元一次不等式的定义及解集，解题的关键是理解一元一次不等式解集的定义．14．（2022秋·北京·七年级北京育才学校校考期中）小光在一条东西方向的马路上行走，向东走5米记作米．(1)则向西走米记作___________米；(2)小光从出发点出发，前4次行走依次记作，，，（单位：米），则他第5次需要向___________走___________米，才能恰好回到出发点；(3)小光从出发点出发，将连续的4次行走依次记作，，，（单位：米）．如果此时他位于出发点西侧，则的取值范围是___________．此时小光共行走了多少米？（用含m的代数式表示，并化简）思路引领：（1）向东走为正，则向西走为负；（2）根据最终回到出发点，则4次行走数据之和为0,设第5次行走，记作米，然后列方程求解即可；（3）根据经过4次行走，最终在出发点西侧，则4次数据之和小于零，列出不等式，解不等式，即可得出的取值范围；然后再计算4次数据的绝对值之和，即为小光共行走的距离．（1）解：已知向东走5米记作米，∵东西方向相反，向东为正，向西则为负，∴向西走米记作米，故答案为：（2）解：设第5次行走，记作米，则解方程得则第5次需要向东走4米，故答案为：东，4．（3）解：根据题意得解得，∴的取值范围是==则小光共行走了米．总结提升：本题考查了正负数的应用、绝对值、不等式等知识，熟练掌握相关概念并能应用于实际问题是解题关键．15．（2022·全国·七年级专题练习）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a．(1)若两个不等式解集相同，求a的值；(2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围．思路引领：（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可．（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2，由−1+x<a得：x＜a+1，由两个不等式的解集相同，得到a+1=2，解得：a=1；（2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，得到2≤a+1，解得：a≥1．总结提升：此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．二、易错点易错点1：去括号时符号的问题（错因刨析）去括号时，括号前如果是负号，要记得变号，一定要特别注意。16．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）解不等式．(1)．(2)．思路引领：（1）根据不等式的性质求解即可；（2）根据不等式的性质，求解即可．（1）解：可得，则，解得；（2）解：可得：则解得．总结提升：此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键掌握不等式的性质以及一元一次不等式的求解方法．17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）解下列不等式并把解集在数轴上表示出来．(1)(2)．思路引领：（1）先去括号，然后移项、合并，化系数为1即可；（2）先去分母，然后去括号，然后移项、合并，化系数为1即可；（1）解：去括号得：，移项、合并得：，系数化为1得：．数轴表示：（2）去分母得：，去括号得：，移项、合并得：，系数化为1得：．数轴表示为：总结提升：本题考查了解一元一次不等式的知识，解答本题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．易错点2：去括号时系数的问题（错因刨析）去括号时，除了要注意符号问题，还需要注意系数问题，括号外面的系数要与括号里面的每一项都相乘，不能漏乘。如果既有系数问题，又有符号问题，为了避免出错，我们可以先处理系数问题，再处理符号问题。18．（2022秋·八年级课时练习）解不等式．思路引领：根据去括号，移项，合并同类项的步骤解不等式即可解得．解：去括号，得．移项，得．合并同类项，得．总结提升：本题考查解不等式，熟知不等式的解法是解题的关键．19．（2022秋·八年级课时练习）求适合不等式的最小负整数．思路引领：首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小负整数即可．解不等式得：，，∴最小负整数解为．总结提升：本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．三、拔尖角度角度1用数轴表示不等式的解集20．（2023春·全国·七年级假期作业）把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－.思路引领：将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.（1）将表示在数轴上为：（2）将表示在数轴上为：（3）将表示在数轴上为：（4）将表示在数轴上为：总结提升：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“或（）时”，数轴上表示数“”的点用“空心圆圈”，“（或）时”，数轴上表示数“”的点用“实心圆点”.21．（2021春·八年级课时练习）不等式的解集x<3与x≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．思路引领：不等式和的解集的不同之处：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；在数轴上表示这两个解集时，前者表示数3的点用“空心圆圈”，后者表示数3的点用“实心圆点”.（1）不等式和的解集的不同之处：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；（2）在数轴上表示不等式和的解集时，前者表示数3的点用“空心圆圈”，后者表示数3的点用“实心圆点”；（3）①将表示在数轴上为：②将表示在数轴上为：角度2根据实际问题列不等式22．（2022秋·八年级课时练习）用等式或不等式表示下列问题中的数量关系：(1)某市身高不超过的儿童可免费乘坐公共汽车．记可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为．(2)某农户今年的收入比去年多1.5万元．记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元．思路引领：（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可；（2）根据等量关系直接列出等式即可．（1）解：由题意得：；（2）解：由题意得：．总结提升：本题主要考查列不等式和等式，准确找到等量关系和不等量关系是关键．23．（2022秋·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：(1)x的7倍减去1是正数．(2)y的与的和不大于0．(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．(4)y的20%不小于1与y的和．思路引领：（1）根据“x的7倍减去1是正数”直接列不等式即可；（2）根据“y的与的和不大于0”直接列不等式即可；（3）根据“正数a与1的和的算术平方根大于1”直接列不等式即可；（4）根据“y的20%不小于1与y的和”直接列不等式即可．（1）解：由题意得：；（2）解：由题意得：；（3）解：由题意得：；（4）解：由题意得：．总结提升：本题主要考查列不等式，准确理解“大于，小于，不大于，不小于”这些词语是关键．角度3根据不等式解综合与实践问题24．（2020秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）材料一：一个整数能够被9整除，则它的各个数位上数字之和能被9整除；材料二：我们把形如（其中且为整数）的五位正整数称为“对称凹数”，例如：86068、71017都是“对称凹数”．（1）最小的“对称凹数”是___________，最大的“对称凹数”是___________；（2）五位正整数都是“对称凹数”，若满足的同时，与之和仍构成一个新的“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被9整除，请求出“对称凹数”与．思路引领：（1）根据新定义结合且为整数，可直接得到答案；（2）设为为且且为整数，且为整数，可得由新“对称凹数”能被9整除，能被9整除，结合＞可得，可得或或，再分类讨论可得答案．解：（1）由新定义可得：且为整数，所以“对称凹数”为最小时，最小的“对称凹数”是所以“对称凹数”为最大时，最大的“对称凹数”是故答案为：（2）设为为且且为整数，且为整数，新“对称凹数”能被9整除，能被9整除，能被9整除，＞，又且为整数，且为整数，或或，当时，当时，则，不合题意舍去，当时，则不合题意舍去，当时，则符合题意，此时：当时，则不合题意舍去，当时，则此时：当时，则此时：当时，则此时：当时，则不合题意舍去，当时，当时，同理可得没有符合题意的解，综上：或或或总结提升：本题考查的是新定义情境下的类二元一次方程的正整数解问题，不等式的基本性质，分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．25．（2020春·七年级统考课时练习）阅读下列材料：数学问题：已知，且，，试确定的取值范围．问题解法：，．又，，．又，．①同理得．②由②①得，的取值范围是．完成任务：（1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____．（2）已知，且，，试确定的取值范围；（3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．思路引领：（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解；（2）仿照例子，注意由0＜y＜1到-1＜-y＜0的转化，再由不等式同号可加性进行求解；（3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当a＜-2时，关于x、y的不等式存在解集．（1），．，，．故答案为．（2），．又，，．又，，．同理得，，的取值范围是．（3），．又，，．又，，．当时，．同理得，，∴当时，的取值范围是．总结提升：本题考查不等式的性质；能够根据例子，仿照例子结合不等式的基本性质解题，注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件．角度4利用不等式解创新型问题26．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则__________．思路引领：由题意可知{}表示的小