第二章一元二次方程培优检测卷(原卷版+解析)(重点突围)-【学霸满分】2022-2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练(北师大版)

《第二章一元二次方程》培优检测卷班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程x（2x-5）=4x-10化为一元二次方程的一般形式是（

）A．2x-4x+5=0 B．2x-x+10=0 C．2x-9x+10=0 D．2x-9x-10=02．（2022·浙江杭州·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（

）A． B． C． D．3．（山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（

）A． B． C． D．5．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）已知三角形的两边长分别为2和7，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（

）A．13 B．15 C．13或15 D．15或196．（2022·浙江·翠苑中学八年级期中）下列给出的四个命题，真命题的有（

）个①若方程两根为-1和2，则；②若，则；③若，则方程一定无解；④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·陕西·无八年级期末）一元二次方程的根______．8．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|＋1＋（2m＋1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝__．9．（2021·吉林辽源·九年级期末）关于x的一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．10．（2022·江苏·九年级专题练习）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）＋5＝__．11．（2022·江苏·九年级）已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．12．（2022·辽宁本溪·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠当点B的对应点落在∠ADC的角平分线上时，则点到BC的距离为________．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：(1)（x﹣1）2﹣4＝0；(2)（x＋1）2＝2（x＋1）．14．（2022·吉林通化·九年级期末）如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为的矩形花园ABCD，求边AB的长．15．（2021·全国·九年级专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：（1）2x2+3x+5

（2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1（3）（2x-1）（3x+5）=-5

（4）（3x+1）（x-2）=-5x16．（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．解：第一步第二步第三步第四步，第五步(1)任务一：①小颖解方程的方法是____；②第二步变形的依据是____；(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．17．（2022·江苏·九年级）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·河南濮阳·八年级期中）已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根.(1)当时，求的周长；(2)当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长.19．（2022·四川攀枝花·九年级期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．20．（2022·安徽·测试·编辑教研五二模）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1、3、6、10．……．按照以上规律，解决下列问题：(1)第⑤个图中有_____个黑色圆点；第⑩个图中有______个黑色圆点；(2)第_______个图中有210个黑色圆点．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·浙江·杭州育才中学八年级期中）2021年我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．成为“脱贫胜利年”．技术扶贫也使得某县的一个电子公司扭亏为盈，该公司的显卡厂2019年电脑A型显卡的成本是是元/个．2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年A型电脑显卡的成本降低到元/个．(1)求这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率；(2)公司电商销售平台以高于成本价的价格购进A型电脑显卡，以元/个销售时，平均每天可销售个，为增加销量，销售平台决定降价销售，经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天要保持盈利元，试求单价应降低多少元？22．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0(3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．六、（本大题共12分）23．（2022·广东·佛山市华英学校八年级期中）教材中这样写道：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2＋2x﹣3原式＝（x2＋2x＋1）﹣4＝（x＋1）2﹣4＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）；例如：求代数式x2＋4x＋6的最小值原式＝x2＋4x＋4＋2＝（x＋2）2＋2，∵（x＋2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2＋4x＋6有最小值是2根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：m2﹣4m﹣5＝；(2)求代数式x2﹣6x＋12的最小值；(3)若y＝﹣x2＋2x﹣3，当x＝．时，y有最

值（填“大”或“小”），这个值是；(4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2＋b2＋c2﹣6a﹣10b﹣8c＋50＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．《第二章一元二次方程》培优检测卷班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程x（2x-5）=4x-10化为一元二次方程的一般形式是（

）A．2x-4x+5=0 B．2x-x+10=0 C．2x-9x+10=0 D．2x-9x-10=0【答案】C【解析】【分析】先利用单项式乘以多项式法则计算方程的左边，再通过移项、合并同类项将方程化成的形式即可得．【详解】解：，，，，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．2．（2022·浙江杭州·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可．【详解】解：，移项得：，配方得：，即．故选：B．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．（山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】【分析】将x＝1代入已知方程求出c即可．【详解】解：把x＝1代入x2﹣3x+c＝0得：1﹣3+c＝0，解得：c＝2，故选：D．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．4．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，正确的理解题意，列出一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：根据题意，,故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意，列出一元二次方程．5．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）已知三角形的两边长分别为2和7，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（

）A．13 B．15 C．13或15 D．15或19【答案】B【解析】【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：∵，∴，解得∵第三边的长为二次方程的一根，2+4=6<7，7-2<6<7+2，∴边长2，4，7不能构成三角形，2，6，7能构成三角形，∴三角形的周长=2+6+7=15．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键．6．（2022·浙江·翠苑中学八年级期中）下列给出的四个命题，真命题的有（

）个①若方程两根为-1和2，则；②若，则；③若，则方程一定无解；④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解析】【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．【详解】①若方程两根为-1和2，则，则，即；故此选项符合题意；②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴；此选项符合题意；③∵，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，∴两根之积为0，那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·陕西·无八年级期末）一元二次方程的根______．【答案】【解析】【分析】先移项，再把方程的左边分解因式，再解两个一次方程即可．【详解】解：，或解得故答案为：【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握因式分解的方法解方程的步骤是解本题的关键．8．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|＋1＋（2m＋1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝__．【答案】-1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可；【详解】解：根据题意得：|m|+1＝2，m﹣1≠0，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．9．（2021·吉林辽源·九年级期末）关于x的一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得．【详解】解：关于x的一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．10．（2022·江苏·九年级专题练习）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）＋5＝__．【答案】6【解析】【分析】根据题意“a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根”，则可把x=a代入原方程，得到关于a的一个一元二次方程，通过移项得到“2a2﹣7a＝1”，将2a2﹣7a当作一个整体，代入原代数式，即可得到答案．【详解】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，∴2a2﹣7a﹣1＝0，∴2a2﹣7a＝1，∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将2a2﹣7a当作一个整体，代入原代数式是解题的关键．11．（2022·江苏·九年级）已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．【答案】1【解析】【分析】利用一元二次方程解的定义得到α2+2021α+1=0，β2+2021β+1=0；根据根与系数的关系得到：αβ=1，然后将其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）进行求值即可．【详解】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）＝（0+α）（0+β）＝αβ＝1．故答案是：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．12．（2022·辽宁本溪·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠当点B的对应点落在∠ADC的角平分线上时，则点到BC的距离为________．【答案】2或1##1或2【解析】【分析】连接，过点作于M．设，则AM=7-x，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7-x）2=25-x2，通过解方程求得x的值，易得点到BC的距离．【详解】解：矩形ABCD，连接，过点作于M．∵点B的对应点落在∠ADC的角平分线上，∴设，则AM=7-x，又由折叠的性质知，∴在直角中，由勾股定理得到：，即（7-x）2=25-x2，解得：x1=3，x2=4，则点到BC的距离为5-3=2或5-4=1．故答案为：2或1．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：(1)（x﹣1）2﹣4＝0；(2)（x＋1）2＝2（x＋1）．【答案】(1)x1＝3，x2＝﹣1(2)x1＝﹣1，x2＝1【解析】【分析】（1）直接利用开平方方法解一元二次方程；（2）利用因式分解法解一元二次方程．(1)解：∵（x﹣1）2﹣4＝0，∴（x﹣1）2＝4，则x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得x1＝3，x2＝﹣1；(2)解：∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣1）＝0，则x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．（2022·吉林通化·九年级期末）如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为的矩形花园ABCD，求边AB的长．【答案】5m【解析】【分析】设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据矩形花园ABCD的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出边AB的长．【详解】解：设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，依题意得：x（20﹣2x）＝50，整理得：x2﹣10x+25＝0，解得：x1＝x2＝5．答：边AB的长为5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（2021·全国·九年级专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：（1）2x2+3x+5

（2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1（3）（2x-1）（3x+5）=-5

（4）（3x+1）（x-2）=-5x【答案】（1）不是一元二次方程；（2）不是一元二次方程；（3）是一元二次方程，二次项为，二次项系数为6，一次项为，一次项系数为7，常数项为0；（4）是一元二次方程，二次项为，二次项系数为3，一次项为0，一次项系数为0，常数项为-2．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行判断，然后根据一元二次方程的一般形式其中表示二次项，表示二次项系数，表示一次项，表示一次项系数，表示常数项．【详解】解：（1）不是方程，故不是一元二次方程；（2）即，∴，不是一元二次方程；（3）即∴，是一元二次方程，∴二次项为，二次项系数为6，一次项为，一次项系数为7，常数项为0；（4）即，∴，是一元二次方程，∴二次项为，二次项系数为3，一次项为0，一次项系数为0，常数项为-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一般形式．16．（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．解：第一步第二步第三步第四步，第五步(1)任务一：①小颖解方程的方法是____；②第二步变形的依据是____；(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．【答案】(1)配方法，等式性质(2)，【解析】【分析】（1）任务一，结合配方法解一元二次方程的步骤求解即可；（2）任务二，利用公式法求解即可．(1)解：小颖是将方程左边配成完全平方形式，小颖解方程的的方法是配方法，等式变形的依据是等式性质；(2)解：∵，，，∴，则，∴，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（2022·江苏·九年级）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．【答案】(1)证明见解析．(2)7．【解析】【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论．（2）运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长．(1)∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；(2)∵等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，即以3为底，则，为腰，∴以3为底，，为腰能构成等腰三角形，∴周长∴等腰三角形的周长为7．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·河南濮阳·八年级期中）已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根.(1)当时，求的周长；(2)当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长.【答案】(1)7(2)当时，是菱形菱形的边长为【解析】【分析】（1）代入x=可求出a值，将a值代入原方程，利用根与系数的关系可求出AB+AD的长，再利用平行四边形的周长=相邻两边之和×2，即可求出结论．（2）根据菱形的性质可知AB=AD，利用根的判别式Δ=0可求出a值，将a=1代入原方程，解之可得出此时菱形的边长；(1)将x=3代入原方程得：解得：原方程为的周长为(2)（1）当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，∴Δ=（-4a）2-4×4×（2a-1）=0，∴a1=a2=1．将a=1代入原方程得：4x2-4x+1=0，即（2x-1）2=0，∴x1=x2=，∴此时菱形的边长为．当时，是菱形菱形的边长为．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、根的判别式、解一元二次方程、根与系数的关系以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用根的判别式Δ=0，找出关于a的方程；（2）利用根与系数的关系，求出平行四边形相邻两边之和．19．（2022·四川攀枝花·九年级期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．【答案】(1)k≥﹣3且k≠1(2)2【解析】【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，并使k﹣1≠0，即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再将它们代入（x1+1）（x2+1）＝4，即可求出k的值．(1)解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．∴k﹣1≠0，∆＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，∴k≥﹣3且k≠1．(2)解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．∵（x1+1）（x2+1）＝4，∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即﹣+1＝4，整理，得：k﹣1＝1，解得：k＝2，经检验，k＝2是方程的解，∴k＝2．∴k的值为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．20．（2022·安徽·测试·编辑教研五二模）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1、3、6、10．……．按照以上规律，解决下列问题：(1)第⑤个图中有_____个黑色圆点；第⑩个图中有______个黑色圆点；(2)第_______个图中有210个黑色圆点．【答案】(1)15；55(2)20【解析】【分析】通过观察图形，发现第一图形加两个得第二个图形，第二个图形加三个得第三个图形，第三个图形加四个得第四个图形，以此类推，可找到规律．(1)解：第一个图形的数量是1，可以表示为；第二个图形的数量是3，可以表示为；第三个图形的数量是6，可以表示为；第四个图形的数量是10，可以表示为；所以第五个图形的数量是15，可以表示为；……第十个图形的数量是；故答案为：15；55．(2)解：由（1）可得，第n个图形的数量是，所以当=210时，n=20，故答案为：20．【点睛】图形问题可以通过作差发现规律，所以注意寻找相邻的两个图形中的圆圈的变化规律，从而得到规律．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·浙江·杭州育才中学八年级期中）2021年我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．成为“脱贫胜利年”．技术扶贫也使得某县的一个电子公司扭亏为盈，该公司的显卡厂2019年电脑A型显卡的成本是是元/个．2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年A型电脑显卡的成本降低到元/个．(1)求这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率；(2)公司电商销售平台以高于成本价的价格购进A型电脑显卡，以元/个销售时，平均每天可销售个，为增加销量，销售平台决定降价销售，经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天要保持盈利元，试求单价应降低多少元？【答案】(1)这两年A型电脑显卡成本平均下降10％．(2)单价应降低10元．【解析】【分析】（1）设这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率为x，然后根据增长率问题可求解；（2）设单价应降低m元，则销售量为个，然后根据题意可列出方程进行求解．(1)解：设这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率为x，由题意得：，解得：（不符合题意，舍去），答：这两年A型电脑显卡成本平均下降10％；(2)解：设单价应降低m元，则销售量为个，由题意知购进A型电脑显卡的成本价为（元），单价每降低1元，每天可多售出10÷5=2（个），∴，解得：，由销售平台为了增加销量可知：，答：单价应降低10元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．22．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0(3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．【答案】(1)换元法；降次(2)x1＝2，x2＝﹣3(3)4或﹣3【解析】【分析】（1）根据解答过程归纳出银法为换元法，换元法的目的是将高次方程降为低次方程求解；（2）运用换元法求解，（3）运用因式分解法求得a＝4b或a＝﹣3b，再代入计算即可．(1)解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；故答案为：换元法，降次；(2)解：设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝﹣2，y2＝6．当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，方程没有实数解；当y＝6时，x2+x＝6，∴x＝2或﹣3；原方程有两个根：x1＝2，x2＝﹣3；(3)解：（a﹣4b）（a+3b）＝0，a﹣4b＝0或a+3b＝0，所以a＝4b或a＝﹣3b，当a＝4b时，=44；当a＝﹣3b时，=