专题32轴对称综合与折叠问题(原卷版+解析)

专题32轴对称综合与折叠问题【题型演练】一、单选题1．（2022·山东滨州·一模）如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江宁波·一模）如图，圆O与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点．若，半径长为2，则的长度为（

）．A． B．2 C． D．3．（2022·广东汕尾·九年级期中）如图，将线段绕一个点顺时针旋转得到线段，则这个点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点4．（2022·天津·九年级期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（

）A．1 B． C．2 D．5．（2022·山东·临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为(0，3)，，．将绕点顺时针旋转一定角度后得到，并且点恰好落到线段上，则点的坐标为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（

）A．2 B． C． D．7．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（

）A．4 B．5 C．10 D．58．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知正方形的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是（

）A．6 B． C． D．9．（2022·福建省厦门集美中学九年级期中）如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．10．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，，D为内一点，分别连接PA、PB、PC，当时，，则BC的值为（

）A．1 B． C． D．211．（2021·新疆·乌鲁木齐市第132中学二模）如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AB上，BD=2，线段CD绕D顺时针旋转60°得到线段DE，连接DE交AC于点F，连接AE，下列结论：①四边形ADCE面积为9；②△ADE外接圆的半径为；③AF∶FC=2∶7；其中正确的是(

)A．①②③ B．①③ C．①② D．②③二、填空题12．（2022·福建省大田县教师进修学校九年级期中）如图，在中，，点，在线段上，且，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接，．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）13．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）如图，将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形，取、的中点M、N，连接．若，．则线段长度的最大值为___________．14．（2022·广西·钦州市第四中学九年级阶段练习）如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转45°到的位置，连接和，则的最小值为_____．15．（2022·江苏·南京钟英中学九年级阶段练习）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是___________．三、解答题16．（2022·北京大兴·九年级期中）在正方形ABCD中，，点E在边AB上，且，将线段DE绕点D逆时针方向旋转得到线段DF，连接(1)如图1，若点F恰好落在边BC的延长线上，判断的形状，并说明理由；(2)若点F落在直线BC上，请直接写出的面积.17．（2021·新疆·乌鲁木齐市第二十九中学九年级期中）在△ABC与△EDC中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以绕点C旋转，连接AE，BD(1)如图1①若BC=3DC，直接写出线段BD与线段AE的数量关系；②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；(2)如图2，BC=AC=3，当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长18．（2022·广东·丰顺县大同中学九年级阶段练习）有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形（如图1），连接，此时他测得，．(1)在图1中，请你判断直线和是否垂直？并证明你的结论；(2)小红同学用剪刀将与剪去，与小亮同学继续探究．他们将绕点顺时针旋转得，交于点（如图2），设旋转角为，当为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；(3)若将沿方向平移得到（如图3），与交于点，与交于点，当时，求平移的距离是多少．19．（2022·山西吕梁·九年级期中）如图，在边长为6的正方形中，是上一动点，是的中点，绕点顺时针旋转90°得到，连接，．(1)若，则的长为________．(2)求证：．(3)求的度数，及的最小值．20．（2022·河北·邢台三中九年级期中）如图，在中，，，点在边上，连接，，点为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．(1)______，______，的最小值是______；(2)当时，求的长；(3)连接，若的面积为，求的值．21．（2022·北京·首都师范大学附属云岗中学九年级期中）在正方形中，是边上一点，且点不与、重合，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．(1)如图，当点在线段上时，依题意补全图；(2)在图的条件下，延长，交于点，求证：．(3)在图中，当点在线段的延长线上时，连接，若点，，恰好在同一条直线时，猜想，，之间的数量关系，并证明．22．（2022·吉林白城·九年级期中）[操作]如图1．是等腰直角三角形，，D是其内部的一点，连接．将绕点（顺时针旋转90°得到，连接，作直线交于点F．(1)求证：；(2)求的度数；(3)[探究]如图2，连接图1中的，分别取的中点M、N、P，作．若，则的周长为23．（2022·福建·厦门市第五中学九年级期中）在中，，，把绕点B顺时针旋转得到（点A与D对应）．(1)如图，若点E落在边上，连接，求的长；(2)如图，若旋转角度为，连接．求的长；(3)如图，若旋转角度为，连接，，垂足为F．求证：C，E，F三点在同一直线上．24．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在中，，，点为平面内一点，以为腰在右侧作等腰，且，过点作，且，连接，，．(1)如图①，当点在边上时，直接写出线段与的关系为；(2)将图①中的等腰绕点逆时针旋转到图②的位置，连接，，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)若，，当、、三点在一条直线上时，请直接写出的长．25．（2022·山东省济南汇才学校九年级阶段练习）在△ABC中，，，点P在平面内不与点A，C重合，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．(1)如图①，当，的值是，直线与直线相交所成的较小角的度数是．(2)如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并说明理由．(3)当时，若点E，F分别是中点，点P在直线上，请直接写出当C，P，D在同一直线上时，求的值．专题32轴对称综合与折叠问题【题型演练】一、单选题1．（2022·山东滨州·一模）如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根据旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，从而求出．【详解】解：在Rt△ABC中，AB==5，由旋转旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，∴＝AB-=2，∵==2，∴．故答案为：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键．2．（2022·浙江宁波·一模）如图，圆O与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点．若，半径长为2，则的长度为（

）．A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据旋转可得△为等边三角形，进而可求出，再利用=15°，可证明△BCO是等腰三角形．【详解】解：如图，连接由题意得∶，∴△为等边三角形，∴=60°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．∴=90°，∴=30°，∵=15°，∴∠A=15°∴∠AOB=90°-∠A=75°，∴=75°，∴BC=BO=2．故选∶B．【点睛】本题考查圆中切线的性质与旋转，熟练掌握圆与切线的性质与旋转的性质是解题关键．3．（2022·广东汕尾·九年级期中）如图，将线段绕一个点顺时针旋转得到线段，则这个点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【分析】根据旋转中心到对应点的距离相等作图可以得解．【详解】如图，连接、，分别作、的垂直平分线，发现相交于点，因此点是旋转中心.故选A．【点睛】本题考查旋转的应用，熟练掌握旋转的性质、线段垂直平分线的性质及作法是解题关键．4．（2022·天津·九年级期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是∴,∴是等腰直角三角形∴故选项是B．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键5．（2022·山东·临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为(0，3)，，．将绕点顺时针旋转一定角度后得到，并且点恰好落到线段上，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过作⊥AO于C点，先通过解解直角三角形求出OA，再证△是等边三角形，再在Rt△中通过解解直角三角形求出、AC，则问题得解．【详解】过作⊥AO于C点，如图，∵B(0,3)，∴OB=3，∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠BAO=60°，∴在Rt△AOB中，AO=BO×tan∠B=3×tan30°=，根据旋转的性质可知，∴△是等边三角形，∴，∴在Rt△中，，，∴，∵在第二次象限，∴的坐标为：，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转，主要考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识，证明△是等边三角形是解答本题的关键．6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，求出BO=4，证明△BOM和△DMB1均为等腰三角形，求出BM和MD的值，进而求出DC的长，最后证明△DEC为30°、60°、90°直角三角形，利用DE=CD即可求解．【详解】解：过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，如下图所示：∵△ABC为等边三角形，且OB、OC分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°，∴△OBC为等腰三角形，由“三线合一”可知：BH=CH=BC=，∴BO=BH=4，∵绕点O逆时针旋转得到，∴∠2=30°=∠1，∴△OBM为等腰三角形，由“三线合一”可知：BF=BO=2，∴MO=BM=BF=，∴MB1=OB1-OM=OB-OM=，又由旋转可知∠B=∠B1=30°，且对顶角∠BMO=∠DMB1=120°，∴∠MDB1=180°-∠B1-∠DMB1=180°-30°-120°=30°，∴△MB1D为等腰三角形，∴MD=MB1=，∴CD=BC-MD-BM=，∵对顶角∠EDC=∠MDB1=30°，且∠ACB=60°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，∴△CDE为30°、60°、90°直角三角形，∴DE=CD=，故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的性质及判定等，熟练掌握特殊三角形的性质及判定是解决本题的关键．7．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（

）A．4 B．5 C．10 D．5【答案】D【分析】将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM．根据线段BP的旋转方式确定点Q在线段上运动，再根据垂线段最短确定当Q与点M重合时，CQ取得最小值为CM．根据∠C=90°，∠A=30°，AB=20求出BC的长度，再根据旋转的性质求出和的长度，根据线段的和差关系确定点C是线段的中点，进而确定CM是的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出CM的长度．【详解】解：如下图所示，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM．∵点P是AC边上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，∴点Q在线段上运动．∴当，即点Q与点M重合时，线段CQ取得最小值为CM．∵∠C=90°，∠A=30°，AB=20，∴BC=10．∵Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，∴=BC=10，．∴．∴．∴点C是线段中点．∵点M是线段的中点，∴CM是的中位线．∴．故选：D．【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，垂线段最短，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键．8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知正方形的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是（

）A．6 B． C． D．【答案】A【分析】连接CP，AQ，以A为圆心，以AQ为半径画圆，延长BA交于E．根据正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出AQ的长度，根据三角形三边关系确定当点Q与点E重合时，BQ取得最大值，最后根据线段的和差关系计算即可．【详解】解：如下图所示，连接CP，AQ，以A为圆心，以AQ为半径画圆，延长BA交于E．∵正方形ABCD的边长为4，的半径为2，∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，CP=2．∵点P绕点D按逆时针方向旋转90°得到点Q，∴∠QDP=90°，QD=PD．∴∠ADC=∠QDP．∴∠ADC-∠QDC=∠QDP-∠QDC，即∠ADQ=∠CDP．∴．∴AQ=CP=2．∴AE=AQ=2．∵P是上任意一点，∴点Q在上移动．∴．∴当点Q与点E重合时，BQ取得最大值为BE．∴BE=AE+AB=6．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质，三角形三边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键．9．（2022·福建省厦门集美中学九年级期中）如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】过点作于点，延长交于点，设，只要证得，利用全等三角形的性质可得，，进而得到，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点作于点，延长交于点，则，∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，

又，∴，∵，，∴，∴，，∴，设，则，在中，由勾股定理得，，当时，有最小值为，∴的最小值为，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，作出适当的辅助线是解题的关键．10．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，，D为内一点，分别连接PA、PB、PC，当时，，则BC的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】将△BPA顺时针旋转60°，到△BMN处，得到△BPM，△ABN是等边三角形，证明C、P、M、N四点共线，且∠CAN=90°，设BC=x，则AB=BN=2x，AC=，利用勾股定理计算即可．【详解】将△BPA顺时针旋转60°，到△BMN处，则△BPM，△ABN是等边三角形，∠BPM=∠BMP=60°，∠BAN=60°，PM=PB，BA=BN，PA=MN，∵∠CPB=∠BPA=∠APC=∠BMN=120°，∴∠BMP+∠BMN=180°，∠BPC+∠BPM=180°，∴C、P、M、N四点共线，∴CP+PM+MN=CP+PB+PA=，∵∠BAC=30°，∠BAN=60°，∴∠CAN=90°，设BC=x，则AB=BN=2x，AC=，∴，解得x=，x=-，舍去，故选C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11．（2021·新疆·乌鲁木齐市第132中学二模）如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AB上，BD=2，线段CD绕D顺时针旋转60°得到线段DE，连接DE交AC于点F，连接AE，下列结论：①四边形ADCE面积为9；②△ADE外接圆的半径为；③AF∶FC=2∶7；其中正确的是(

)A．①②③ B．①③ C．①② D．②③【答案】A【分析】如图1，在BC上取一点M，使得BM=2，连接DM，分别过D、A作，垂足为H、M，由△ABC的边长为6的等边三角形，得，，进而证明△BDM的边长为2的等边三角形，△CDE的边长为的等边三角形，再证明，得到，于是有S四边形ADCE=S梯形ABCE-，由，，得△ADE外接圆的半径为，证明，判断③正确，从而得出结论．【详解】解：如图1，在BC上取一点M，使得BM=2，连接DM，分别过D、A作，垂足为H、M，△ABC的边长为6的等边三角形，，，BD=2，BM=2，△BDM的边长为2的等边三角形，，，，，，，，，，，线段CD绕D顺时针旋转60°得到线段DE，△CDE的边长为的等边三角形，，，，，，，，，，S四边形ADCE=S梯形ABCE-，因此①正确；，，△ADE外接圆的直径为，△ADE外接圆的半径为，因此②正确；，，，即，，，，AF∶FC=2∶7，因此③正确；故应选A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定、图形的旋转以及圆等知识，构造辅助线证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．二、填空题12．（2022·福建省大田县教师进修学校九年级期中）如图，在中，，点，在线段上，且，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接，．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④【分析】根据旋转的性质即可以及即可判断①；②中的两个三角形只有一条边和一个角相等，不能判定全等；根据全等的性质以及勾股定理即可判断③；根据等腰直角三角形的性质即可判断④．【详解】解：∵为直角三角形，，∵，∵线段绕点顺时针旋转后得到线段，∴，，∵，∴，在和中，，∴，故①正确；在和中，只有，，两个条件不能判定全等，故②不正确；∵，∴∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故③正确；∵为直角三角形，，∴，即，整理得：，∵，∴，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，全等三角形对应边相等，对应角相等．13．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）如图，将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形，取、的中点M、N，连接．若，．则线段长度的最大值为___________．【答案】【分析】由三角形中位线定理可求的长，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解．【详解】解：如图，取的中点H，连接，，，∵，，∴，∵点M是的中点，点H是的中点，∴，∵将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形，∴，，∵点H是的中点，点N是的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴当点H在上时，有最大值，最大值，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14．（2022·广西·钦州市第四中学九年级阶段练习）如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转45°到的位置，连接和，则的最小值为_____．【答案】【分析】如详解图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．首先证明，推出点G的在射线上运动，推出当时，的值最小．【详解】解：如图：将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．（2022·江苏·南京钟英中学九年级阶段练习）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是___________．【答案】##【分析】先证明，如图，设交于点T．证明，推出点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出可得结论．【详解】解：∵都是等边三角形，∴，∴，在和中，，∴，如图，设交于点T．∵，∴，∵，∴，∴点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值，故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题16．（2022·北京大兴·九年级期中）在正方形ABCD中，，点E在边AB上，且，将线段DE绕点D逆时针方向旋转得到线段DF，连接(1)如图1，若点F恰好落在边BC的延长线上，判断的形状，并说明理由；(2)若点F落在直线BC上，请直接写出的面积.【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析(2)或【分析】（1）由正方形的性质可得，，由“HL”可证，可得，可得结论；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）是等腰直角三角形，理由如下：在正方形ABCD中，，落在边BC的延长线上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，，在和中，，，，，，即是等腰直角三角形；（2），，，，当点F落在线段BC上时，如图2，，，，，的面积；当点F恰好落在边BC的延长线上时，如图1，的面积，综上所述，的面积为或【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．17．（2021·新疆·乌鲁木齐市第二十九中学九年级期中）在△ABC与△EDC中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以绕点C旋转，连接AE，BD(1)如图1①若BC=3DC，直接写出线段BD与线段AE的数量关系；②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；(2)如图2，BC=AC=3，当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长【答案】(1)①BD=3AE，②直线BD与AE所夹锐角为60°(2)【分析】（1）①通过△ABC∽△EDC证明△AEC∽△BDC即可，②延长AE与BD交于点F，通过（1）中的相似即可得出结果．（2）连接AD，AE，通过（1）中的相似可以证明四边形ADCE为菱形，进而得出结论．【详解】（1）解：①BD=3AE∵在△ABC和△EDC中∴△ABC∽△EDC∴∠DCE=∠BCA，∴∠DCE-∠BCE=∠ACB-∠BCE∠BCD=∠ACE.在△AEC和△BDC中∴△AEC∽△BDC∴BD=3AE②夹角为60°如图，延长AE与BD交于点F∵∠ACB=60°∴∠CBA+∠CAB=120°由（1）中△AEC∽△BDC可得∠EAC=∠DBC∴∠DBC+∠CBA+∠BAE=120°∴在△AFB中∠AFB=60°∴直线BD与AE所夹锐角为60°（2）解：如图，连接AD，AE，∵∠ACB=60°，BC=AC，∴△ABC是等边三角形由（1）可得△ABC∽△EDC∴△DEC为等边三角形，∴DC=EC∵四边形ADCE是平行四边形∴平行四边形ADCE是菱形∵AC为菱形ADCE对角线∴∴【点睛】本题主要考查旋转的性质，涉及三角形相似的证明，菱形的证明，能够熟练证明相似是解题关键．18．（2022·广东·丰顺县大同中学九年级阶段练习）有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形（如图1），连接，此时他测得，．(1)在图1中，请你判断直线和是否垂直？并证明你的结论；(2)小红同学用剪刀将与剪去，与小亮同学继续探究．他们将绕点顺时针旋转得，交于点（如图2），设旋转角为，当为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；(3)若将沿方向平移得到（如图3），与交于点，与交于点，当时，求平移的距离是多少．【答案】(1)垂直，理由见解析(2)或(3)平移的距离是【分析】（1）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形，得，，推出，，进而可得的大小（2）分两种情形讨论①当，时，②当时，时，均可根据旋转的性质得出结论（3）求平移的距离是的长度．在矩形中，，只要求出的长度就行．用得出对应线段成比例，即可得到的大小．【详解】（1）垂直．下面证明：延长交于点．由题意得．．，．．．（2）当时，，则，即；当时，，∴∴，即；∴的度数为或（3）由题意知四边形为矩形．设，则．在中，，．，．．在中，，．，，，解得即平移的距离是．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．19．（2022·山西吕梁·九年级期中）如图，在边长为6的正方形中，是上一动点，是的中点，绕点顺时针旋转90°得到，连接，．(1)若，则的长为________．(2)求证：．(3)求的度数，及的最小值．【答案】(1)(2)见解析(3)，的最小值为．【分析】（1）过作于点，根据是的中点，由平行线分线段成比例定理及中位线定理可知，，再由勾股定理即可求出的长；（2）连接，证出，进而易求证；（3）连接，过点作于点，根据四边形内角和定理，求出，再根据垂线段最短找到的最小值为的长，进而求出的长即可．【详解】（1）解：过作于点，则，如下图：∴，∵是的中点，∴，∴由中位线定理可知：，，∴在中，，∴；（2）证明：连接，∵，是的中点，∴，∴，∵，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴；（3）连接，过点作于点，如下图：由（2）知，∴，，∵，∴，∴，∴，∴点在上运动，∴当时，的最小值为的长，∵，，∴，∴，的最小值为．【点睛】此题主要考查了正方形性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线．20．（2022·河北·邢台三中九年级期中）如图，在中，，，点在边上，连接，，点为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．(1)______，______，的最小值是______；(2)当时，求的长；(3)连接，若的面积为，求的值．【答案】(1)；；(2)或(3)或【分析】（1）解直角三角形即可得出的长，根据可得的长，当时，的长最小，即的长最小，求解即可；（2）过点作于点，分两种情况进行讨论：①当点在左侧时；②当点在右侧时；分求解即可；（3）分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，证明，根据三角形面积得出，然后分情况讨论：①当点在左侧时；②当点在右侧时；解直角三角形即可．【详解】（1）解：在中，，，，，，，由旋转得，，由垂线段最短知，当时，的长最小，即的长最小，如图1，此时是等腰直角三角形．∵，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，，故答案为：；；；（2）过点作于点，则，分两种情况讨论：①当点在左侧时，如图2，由旋转得，，，，，，，；②当点在右侧时，如图3，，，，，，综上可知，的长为或；（3）分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，则，，，，．，，，．的面积为25，，又，，分两种情况讨论：①当点在左侧时，如图4．，；②当点在右侧时，如图5，，，综上可知，的值为或．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，读懂题意运用分类讨论的思想解题是关键．21．（2022·北京·首都师范大学附属云岗中学九年级期中）在正方形中，是边上一点，且点不与、重合，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．(1)如图，当点在线段上时，依题意补全图；(2)在图的条件下，延长，交于点，求证：．(3)在图中，当点在线段的延长线上时，连接，若点，，恰好在同一条直线时，猜想，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据要求画出图形，即可得出结论；（2）由旋转的性质可得，，由可证，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可得，即可得出结论；（3）连接，如图2，只要证明，，即可解决问题．【详解】（1）解：补全图形如图1：（2）如图，延长，交于点，四边形是正方形，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，，，，，，，，，；（3）．证明：连接，如图，线段绕点顺时针旋转得到线段，，，四边形是正方形，，，．，，，在中，，，在中，，又，，．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．22．（2022·吉林白城·九年级期中）[操作]如图1．是等腰直角三角形，，D是其内部的一点，连接．将绕点（顺时针旋转90°得到，连接，作直线交于点F．(1)求证：；(2)求的度数；(3)[探究]如图2，连接图1中的，分别取的中点M、N、P，作．若，则的周长为【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．【分析】[操作]（1）由旋转的性质得，再证，然后由证即可；（2）由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，即可得出结论；（3）[探究]由全等三角形的性质得，再由三角形中位线定理得，，则，然后证，则是等腰直角三角形，即可解决问题．【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，∴，由旋转的性质得：，∴，∴，即，在和中，，∴；（2）解：如图1，设与交于点H，由（1）可知，，∴，∵，∴，∴；（3）解：由（1）可知，，∴，∵M、N、P分别是的中点，∴是△ABE的中位线，是的中位线，∴，，∴，由（2）可知，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴的周长，故答案为：．【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．23．（2022·福建·厦门市第五中学九年级期中）在中，，，把绕点B顺时针旋转得到（点A与D对应）．(1)如图，若点E落在边上，连接，求的长；(2)如图，若旋转角度为，连接．求的长；(3)如图，若旋转角度为，连接，，垂足为F．求证：C，E，F三点在同一直线上．【答案】(1)(2)；(3)证明见解析．【分析】（1）由旋转性质可知，在直角三角形中，由勾股定理可求得的长度，再利用进而求得答案；（2）延长交于点F，由旋转性质可得，又旋转角，可证明是等边三角形，则有，进而可证明，所以，再根据等腰三角形三线合一，可求出的长，同理在中，可求出，则即可解之；（3）根据题意可得，在等腰三角形中，运用三角形的内角和定理可求得再根据,确定四点共圆，再利用圆周角定理得出最后计算等于，则得出结论．【详解】（1）解：绕点B顺时针旋转得到，，在中，，，由勾股定理可得：，；（2）解：如图所示：延长交于点F，旋转角度为，，又由旋转性质可得，是等边三角形，，在和中，，，，平分，又是等边三角形，，由勾股定理得：，在中，，又，，由勾股定理可得：，；（3）证明：依题意可得：，，，，，又，四点共圆，（同弧所对的圆周角相等），，C，E，F三点在同一直线上．【点睛】本题考查了旋转的综合，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的三线合一，属于中考常考题型．24．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在中，，，点为平面内一点，以为腰在右侧作等腰，且，过点作，且，连接，，．(1)如图①，当点在边上时，直接写出线段与的关系为；(2)将图①中的等腰绕点逆时针旋转到图②的位置，连接，，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)若，，当、、三点在一条直线上时，请直接写出的长．【答案】(1)且(2)成立，理由见解析(3)【分析】（1