专题11勾股定理之风吹荷花模型综合应用(2大类型)(原卷版+解析)

专题11勾股定理之风吹荷花模型综合应用（2大类型）解题思路解题思路“印度荷花问题”湖静浪平六月天，荷花半尺出水面;忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。湖面之上不复见，入秋渔翁始发现;残花离根二尺遥，试问水深尽若干?——印度数学家拜斯迦罗（公元1114—1185年）【模型】读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”。【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为4.5尺.【解析】设水深AP＝x尺，PB＝PC＝（x＋3）尺，根据勾股定理得：PA²＋AC²＝PC²，x²＋4²＝（x＋3）².解得x=4.5.答∶水深4.5尺.【典例分析】【典例1】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【变式1-1】（2021秋•青冈县期末）在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．【变式1-2】如图，在平静的湖面上，有一荷花，高出湖水面0.1m，一阵风来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面．已知荷花移动的水平距离为0.3m，则这里的水深是m．【典例2】（2019春•南昌期中）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝米．（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB．【变式2-1】（2020春•镇原县期末）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B′，求BB′的长（梯子AB的长为5m）．【变式2-2】（2022春•宁乡市期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【夯实基础】1．（2022春•昭化区期末）如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm2．（2022秋•海淀区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm3．有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面的部分为1尺，如果把该芦苇的顶端沿水池边垂直的方向拉到岸边，发现芦苇顶端恰与水面齐平，则芦苇的长度是尺．4．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香”．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40cm（如图）．请问荷花入水部分BC长多少厘米？5．（2022秋•晋源区校级月考）如图，笔直的公路上A、B两点相距17km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝12km．CB＝5km，现在要在公路的AB段上建一个公交车站E，使得C，D两村到公交车站E的距离相等．则公交车站E应建在离A点多远处？6．（2022秋•蒲江县校级期中）一架梯子AB长2.5m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙0.7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？为什么？7．（2022春•潼南区期末）如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖真的右墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面的高度AO为2米，OB为1.5米．（1）求梯子的长；（2）若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的长．8．（2022春•藁城区校级期中）如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为3km，与公路上另一停站B的直线距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的桥梁CD的长；（2）桥梁CD建成后，求一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程．9．（2022•南京模拟）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝25米，CA⊥AB且CA＝15米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长米．（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度；（3）若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间．【能力提升】10．（2022春•慈溪市期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．（1）若AB＝6.5米，BC＝2.5米．①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．（2）若AC＝BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．专题11勾股定理之风吹荷花模型综合应用（2大类型）解题思路解题思路“印度荷花问题”湖静浪平六月天，荷花半尺出水面;忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。湖面之上不复见，入秋渔翁始发现;残花离根二尺遥，试问水深尽若干?——印度数学家拜斯迦罗（公元1114—1185年）【模型】读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”。【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为4.5尺.【解析】设水深AP＝x尺，PB＝PC＝（x＋3）尺，根据勾股定理得：PA²＋AC²＝PC²，x²＋4²＝（x＋3）².解得x=4.5.答∶水深4.5尺.【典例分析】【典例1】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】D【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），故选：D．【变式1-1】（2021秋•青冈县期末）在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．【答案】3.75【解答】解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：（x+0.5）2＝x2+22，解之得：x＝3.75，∴湖水的深度为3.75尺．故答案为：3.75．【变式1-2】如图，在平静的湖面上，有一荷花，高出湖水面0.1m，一阵风来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面．已知荷花移动的水平距离为0.3m，则这里的水深是m．【答案】0.4【解答】解：如图，设这里水深为xm，在Rt△ABC中，（x+0.1）2＝0.32+x2，解之得：x＝0.4．答：这里水深为0.4米．故答案为：0.4【典例2】（2019春•南昌期中）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝米．（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB．【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，∴PM＝＝＝2，∵PB＝PM＝2，∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，故答案为：3.2；（2）∵∠MPN＝90°，∴∠APM+∠BPN＝90°，∵∠APM+∠AMP＝90°，∴∠AMP＝∠BPN．在△AMP与△BPN中，，∴△AMP≌△BPN，∴MA＝PB＝2.4，∵PA＝＝0.7，∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1；（3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．设AB＝x，且AB＝ND＝x．∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°．∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°．∴∠DNM＝∠AMP，∵△PNM为等边三角形，∴NM＝PM．∴△AMP≌△DNM（AAS），∴AM＝DN，∴AB＝DN＝AM＝2.8米，即丙房间的宽AB是2.8米．【变式2-1】（2020春•镇原县期末）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B′，求BB′的长（梯子AB的长为5m）．【答案】BB′的长为1m【解答】解：由题意可得出：AO＝3m，A′O＝4m，AB＝A′B′＝5m，∴在Rt△AOB中，BO2＝＝4（m），在Rt△A′OB′中，B′O2＝＝3（m），∴BB′的长为：4﹣3＝1（m）．答：BB′的长为1m．【变式2-2】（2022春•宁乡市期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【解答】解：∵CE＝BF＝3m，DE＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝3﹣1＝2（m），在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝4m，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣2）m，故x2＝42+（x﹣2）2，解得：x＝5，答：绳索AD的长度是5m．【夯实基础】1．（2022春•昭化区期末）如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm【答案】A【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；根据勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；∴AD+BD＝2AD＝20（cm）；故拉伸后橡皮筋的长为20cm．故选：A．2．（2022秋•海淀区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】A【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．3．有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面的部分为1尺，如果把该芦苇的顶端沿水池边垂直的方向拉到岸边，发现芦苇顶端恰与水面齐平，则芦苇的长度是尺．【答案】13【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）．故答案为：13．4．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香”．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40cm（如图）．请问荷花入水部分BC长多少厘米？【解答】解：设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高（h+10）cm，且水平距离为40cm，则（h+10）2＝402+h2，解得h＝75．答：荷花入水部分BC长75cm．5．（2022秋•晋源区校级月考）如图，笔直的公路上A、B两点相距17km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝12km．CB＝5km，现在要在公路的AB段上建一个公交车站E，使得C，D两村到公交车站E的距离相等．则公交车站E应建在离A点多远处？【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（17﹣x）km．∵DA＝12km．CB＝5km，∴x2+122＝（17﹣x）2+52，解得x＝5，∴AE＝5km，答：收购站E应建在离A点5km处．6．（2022秋•蒲江县校级期中）一架梯子AB长2.5m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙0.7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？为什么？【解答】解：（1）∵AB＝2.5m，BC＝0.7m，∴AC＝＝＝2.4（m）．答：这个梯子的顶端距地面有2.4m；（2）梯子底部在水平方向滑动了0.8m，理由如下：在Rt△A′CB′中，A′C＝AC﹣0.4＝24﹣0.4＝2（米），A′B′＝2.5米，∴CB′＝＝＝1.5（m），∴BB′＝CB′﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．答：梯子底部在水平方向滑动了0.8m．7．（2022春•潼南区期末）如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖真的右墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面的高度AO为2米，OB为1.5米．（1）求梯子的长；（2）若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的长．【解答】解：由题意可得：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AO＝2米，OB＝1.5米，BO2+AO2＝AB2，∴AB2＝22+1.52＝6.25，∴AB＝±.2.5，∵AB＞0，∴AB＝2.5米，即梯子的长为2.5米；（2）由题意得CD＝AO+0.4＝2.4米，BC＝AB＝2.5米，∴BD2＝2.52﹣2.42＝4.9，∴BD＝0.7米，∴OD＝OB+BD＝1.5+0.7＝2.2米．8．（2022春•藁城区校级期中）如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为3km，与公路上另一停站B的直线距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的桥梁CD的长；（2）桥梁CD建成后，求一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程．【解答】解：（1）∵AC＝3km，BC＝4km，AC⊥BC，∴AB＝＝＝5（km），∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝＝（km），答：修建的桥梁CD的长为km；（2）∵CD＝km，BC＝4km，CD⊥AB，∴BD＝＝＝（km），∴货车由C处途经D处到达B处的总路程为：CD+BD＝+＝（km），答：货车由C处途经D处到达B处的总路程为km．9．（2022•南京模拟）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝25米，CA⊥AB且CA＝15米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长米．（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度；（3）若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间．【解答】解：（1）△ACD是等腰直角三角形．理由如下：由题意可得：CA＝15米，CD＝15米，∠CAD＝90°，可得AD＝＝15（米），故△ACD是等腰直角三角形；（2）∵CA＝15米，CB＝25米，∠CAD＝90°，∴AB＝（m），则BD＝AB﹣AD＝20﹣15＝5（米）．答：船体移动距离BD的长度为5米；（3）5÷1+1