专题07勾股定理的逆定理(原卷版+解析)

专题07勾股定理的逆定理知识导航知识导航必备知识点1．勾股定理的逆定理性质勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。证法1根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a²+b²-c²）÷2ab。由于a²+b²=c²，故cosC=0；因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）证法2已知在△ABC中，，求证∠C=90°证明：作AH⊥BC于H⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x得x²+y²=c²，又∵，∴（A）但a>y,b>x，∴（B)（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x得∵，得2ay=0∵a≠0，∴y=0这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角综上所述，∠C必为直角证法3已知在△ABC中，a²+b²=c²，求证△ABC是直角三角形证明：做任意一个Rt△A'B'C'，使其直角边B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。设A'B'=c'在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得，A'B‘²=B'C'²+A'C'²=a²+b²=c’²一∵a²+b²=c²，∴c‘=c在△ABC和A'B'C'中，∵AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'∴∠C=∠C'=90°证法4\o"点击查看大图"如图，已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a²+b²=c²。求证∠ACB=90°证明：在△ABC内部作一个∠HCB=∠A，使H在AB上。∵∠B=∠B,∠A=∠HCB∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)∴AB/BC=BC/BH，即BH=a²/c而AH=AB-BH=c-a²/c=(c²-a²)/c=b²/c∴AH/AC=(b²/c)/b=b/c=AC/AB∵∠A=∠A∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)∴∠AHC=∠CHB∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°∴∠AHC=∠CHB=90°∴∠ACB=∠AHC=90°题型精炼题型精炼 一．选择题（共10小题）1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝，b＝4，c＝5 C．a＝，b＝1，c＝ D．a＝40，b＝50，c＝602．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2， B．5，4，3 C．17，8，15 D．2，3，44．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，135．下列四组数值是线段a、b、c的长，能组成直角三角形的是（）A．3，5，6 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，，36．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a＝，b＝2，c＝1 B．∠A﹣∠B＝∠C C．（a﹣b）（a+b）＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝2：5：87．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A． B．3，4，5 C． D．9，12，158．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（）A． B． C． D．9．在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则∠ABC的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．60°10．△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）①∠A＝∠B﹣∠C②a2＝（b+c）（b﹣c）③∠A：∠B：∠C＝3：4：5④a：b：c＝5：12：13A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）11．如图，已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积＝．12．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为．13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，动点D从A点出发，以每秒2cm的速度沿射线AC运动，则点D运动中使得△ABD为等腰三角形的所有时间t等于秒．14．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有个．15．如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1+∠2＝．三．解答题（共5小题）16．已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．17．如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1，A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的位置关系，并说明理由．18．在解答“判断由长为，2，的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：解：设a＝，b＝2，c＝．∵a2+b2＝+22＝≠＝c2，∴由长为，2，的线段组成的三角形不是直角三角形．你认为小明的做法正确吗？请说明理由．19．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图，在△ABC中，AD＝12，BD＝5，CD＝16，AC＝20，求△ABC的周长．专题07勾股定理的逆定理知识导航知识导航必备知识点1．勾股定理的逆定理性质勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。证法1根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a²+b²-c²）÷2ab。由于a²+b²=c²，故cosC=0；因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）证法2已知在△ABC中，，求证∠C=90°证明：作AH⊥BC于H⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x得x²+y²=c²，又∵，∴（A）但a>y,b>x，∴（B)（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x得∵，得2ay=0∵a≠0，∴y=0这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角综上所述，∠C必为直角证法3已知在△ABC中，a²+b²=c²，求证△ABC是直角三角形证明：做任意一个Rt△A'B'C'，使其直角边B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。设A'B'=c'在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得，A'B‘²=B'C'²+A'C'²=a²+b²=c’²一∵a²+b²=c²，∴c‘=c在△ABC和A'B'C'中，∵AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'∴∠C=∠C'=90°证法4\o"点击查看大图"如图，已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a²+b²=c²。求证∠ACB=90°证明：在△ABC内部作一个∠HCB=∠A，使H在AB上。∵∠B=∠B,∠A=∠HCB∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)∴AB/BC=BC/BH，即BH=a²/c而AH=AB-BH=c-a²/c=(c²-a²)/c=b²/c∴AH/AC=(b²/c)/b=b/c=AC/AB∵∠A=∠A∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)∴∠AHC=∠CHB∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°∴∠AHC=∠CHB=90°∴∠ACB=∠AHC=90°题型精炼题型精炼选择题（共10小题）1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝，b＝4，c＝5 C．a＝，b＝1，c＝ D．a＝40，b＝50，c＝60【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、42+52＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、402+502≠602，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．2．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ACB的度数．【解答】解：根据勾股定理可以得到：BC＝AB＝，AC＝，∵（）2+（）2＝（）2，即AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ACB＝45°．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，2， B．5，4，3 C．17，8，15 D．2，3，4【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：A、∵12+（）2＝22，故是直角三角形，不符合题意；B、32+42＝52，故是直角三角形，不符合题意；C、82+152＝172，故是直角三角形，不符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理是解决本题的关键．【解答】解：A．根据勾股定理的逆定理，12+32＝10≠42，那么以1、3和4为边长的线段不能构成直角三角形，故A不符合题意．B．根据勾股定理的逆定理，，那么以、和2为边长的线段不能构成直角三角形，故B不符合题意．C．根据勾股定理的逆定理，，那么以、和为边长的线段不能构成直角三角形，故C不符合题意．D．根据勾股定理的逆定理，52+122＝169＝132，那么以5、12和13为边长的线段能构成直角三角形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．5．下列四组数值是线段a、b、c的长，能组成直角三角形的是（）A．3，5，6 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，，3【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答．【解答】解：A．∵32+52＝34，62＝36，∴32+52≠62，∴3，5，6不能组成直角三角形，故A不符合题意；B．∵22+32＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴2，3，4不能组成直角三角形，故B不符合题意；C．∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴3，4，5能组成直角三角形，故C符合题意；D..∵12+（）2＝3，32＝9，∴12+（）2≠32，∴1，，3不能组成直角三角形，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a＝，b＝2，c＝1 B．∠A﹣∠B＝∠C C．（a﹣b）（a+b）＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝2：5：8【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、∵a2＝3，b2＝4，c2＝1，∴a2+c2＝4＝b2，故△ABC是直角三角形；B、由条件∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；C、由条件可得到b2+c2＝a2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝2：5：8，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形故选：D．【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．7．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A． B．3，4，5 C． D．9，12，15【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A．∵（）2+22≠（）2，∴以，2，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；B．∵32+42＝52，∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵12+12＝（）2，∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵92+122＝152，∴以9，12，15为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．8．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（）A． B． C． D．【分析】分别求A、B、C、D选项中各三角形的边长，根据勾股定理的逆定理可以判定A、B、D中三角形为直角三角形，C为钝角三角形，即可解题．【解答】解：设网格中每个小正方形的边长是1．图A中各边长为2、4、2，22+42＝（2）2，故该三角形为直角三角形；图B中各边长、2、，（）2+（2）2＝（）2，故该三角形为直角三角形；图C中三角形各边长为、、，（）2+（）2＝（）2，故该三角形为钝角三角形；图D中各边长为、2、5，（）2+（2）2＝52，故该三角形为直角三角形．即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．9．在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则∠ABC的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．60°【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理的逆定理可求△ABC是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．【解答】解：连接AC，则AC＝BC＝＝，AB＝＝，∵（）2+（）2＝（）2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故选：C．【点评】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）①∠A＝∠B﹣∠C②a2＝（b+c）（b﹣c）③∠A：∠B：∠C＝3：4：5④a：b：c＝5：12：13A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．【解答】解：①∠A＝∠B﹣∠C，可得：∠B＝90°，是直角三角形；②a2＝（b+c）（b﹣c），可得：a2+c2＝b2，是直角三角形；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝75°，不是直角三角形；④a：b：c＝5：12：13，可得：a2+b2＝c2，是直角三角形；故选：C．【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．二．填空题（共5小题）11．如图，已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积＝24cm2．【分析】阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积．【解答】解：∵直角△ABC的两直角边分别为6，8，∴AB＝＝10，∵以BC为直径的半圆的面积是π（）2＝8π，以AC为直径的半圆的面积是π（3）2＝，以AB为直径的面积是×π（5）2＝，△ABC的面积是AC•BC＝24，∴阴影部分的面积是8π++24﹣＝24cm2．故答案为24．【点评】本题考查勾股定理的知识，难度一般，注意图中不规则图形的面积可以转化为不规则图形面积的和或差的问题．12．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为．【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用线段垂直平分线得出AD＝DB，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，∴AD＝DB，设CD为x，AD＝DB＝4﹣x，在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，即x2+32＝（4﹣x）2，解得x＝，即CD＝，故答案为：．【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，动点D从A点出发，以每秒2cm的速度沿射线AC运动，则点D运动中使得△ABD为等腰三角形的所有时间t等于5或6或秒．【分析】由题意可知AD＝2t，当AB＝AD时，有2t＝10；当AB＝BD时，则可知AC＝CD，则AD＝12，即2t＝12；当AD＝BD时，CD＝2t﹣6，BD＝2t，在Rt△BDC中，由勾股定理可得BC2+CD2＝BD2，可得到关于t的方程，分别求得t即可．【解答】解：由题意可知AD＝2t，当AB＝AD时，有2t＝10，解得t＝5；当AB＝BD时，则可知AC＝CD，则AD＝12，即2t＝12，解得t＝6；当AD＝BD时，CD＝2t﹣6，BD＝2t，在Rt△BDC中，由勾股定理可得BC2+CD2＝BD2，即64+（2t﹣6）2＝4t2，解得t＝；综上可知t的值为5s或6s或s．故答案为：5或6或．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件分三种情况分别得到关于t的方程是解题的关键，利用时间表示出AD，即化动为静是解题的技巧．14．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有3个．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【解答】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．故满足条件的格点C有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．15．如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1+∠2＝45°．【分析】如图，由AP∥BQ，CM∥AN知∠1＝∠BAP，∠2＝∠CAN，再利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，得∠BAC＝45°，据此可得∠BAP+∠CAN＝45°，继而得出答案．【解答】解：如图，∵AP∥BQ，CM∥AN，∴∠1＝∠BAP，∠2＝∠CAN，设每个小正方形的边长为a，则AB＝BC＝＝a，AC＝＝a，∴AB2+BC2＝5a2+5a2＝10a2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠BAP+∠CAN＝45°，∴∠1+∠2＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查勾股定理逆定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．三．解答题（共5小题）16．已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．【分析】（1）知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；（2）依据m＞1，a，b，c均为正整数，即可得到直角三角形的边长．【解答】解：（1）∵△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，而当m＞1时，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；当m＝3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．17．如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1，A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的位置关系，并说明理由．【分析】连接AC，利用勾股定理求出△ABC三边的长，通过勾股定理的逆定理即可证明．【解答】解：AB⊥BC，理由如下：连接AC，由勾股定理得：AB＝BC＝，AC＝，∵AB2+BC2＝10，A