专题12二次函数菱形存在性综合应用(专项训练)(原卷版+解析)

专题12二次函数菱形存在性综合应用（专项训练）1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中点．（1）求该二次函数的解析式．（2）如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值．（3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（﹣4，0）．与y轴交于点C（0，4），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到AB，AC距离相等时，求点P的坐标；（3）如图2，点M在抛物线上，点N在直线BC上，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使四边形BMNQ为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，4），B（2，0）两点，与y轴交于点C，DE＝AB，DE在直线AB上滑动，以DE为斜边，在AB的下方作等腰直角△DEF．（1）求抛物线的解析式；（2）当△DEF与抛物线有公共点时，求点E的横坐标t的取值范围；（3）在△DEF滑动过程中是否存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BCP的面积最大值；（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C坐标；（2）如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；（3）如图2，D（m，0）是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形CMNM′是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．10.如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．11.综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①当△ANC面积最大时的P点坐标为；最大面积为．②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．专题12二次函数菱形存在性综合应用（专项训练）1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中点．（1）求该二次函数的解析式．（2）如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值．（3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵D（0，4）是OA的中点，∴OA＝8．∵OA＝OC＝2OB，∴A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0），将A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得：．∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+8．（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为直线x＝2，令y＝0，则﹣x2+x+8＝0，∴x＝﹣4或x＝8，∴C（8，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+4，过点E作EH⊥x轴交CD于点H，设E（m，﹣m2+m+8），F（2，n），则H（m，﹣m+4），∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，∴当m＝3时，S△ECD的面积有最大值25，此时E（3，），连接BE，交对称轴于点F，连接CF，∵B点与C点关于对称轴x＝2对称，∴BF＝CF，∴CF+EF＝BF+EF≥BE，当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，∴BE＝＝；（3）存在点M、N使得四边形DMCN为菱形，理由如下：平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，设M（t，﹣t2+2t），N（x，y），∵四边形DMCN为菱形，∴DC与MN为对角线，∴，∵CN＝CM，∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，∴t2+（4+t2﹣2t）2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，∴t＝2或x＝﹣2，∴M（2，﹣6+4）或（﹣2，﹣6﹣4）．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（﹣4，0）．与y轴交于点C（0，4），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到AB，AC距离相等时，求点P的坐标；（3）如图2，点M在抛物线上，点N在直线BC上，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使四边形BMNQ为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将B（﹣4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+4；（2）令y＝0，则x2﹣x+4＝0，解得x＝3或x＝﹣4，∴A（3，0），∵点P到AB，AC距离相等，∴P点在∠CAB的角平分线上，设AP与y轴交于点E，过E作EF⊥AC交于F点，∵OA＝3，CO＝4，∴AC＝5，∴CF＝2，在Rt△CEF中，CE2＝CF2+EF2，即（4﹣OE）2＝OE2+4，解得OE＝，∴E（0，），设直线AE的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+，联立方程组，解得或，∴P（﹣，）；（3）存在点Q，使四边形BMNQ为菱形，理由如下；∵y＝x2﹣x+4＝﹣（x+）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，设直线BC的解析式为y＝k'x+m'，∴，解得，∴y＝x+4，设Q（﹣，t），∵四边形BMNQ为菱形，∴M点与Q点关于直线BC对称，∴M（t﹣4，），∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）+4＝，解得t＝或t＝，∴Q（﹣，）（舍）或（﹣，），∴Q点坐标为（﹣，）．3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，4），B（2，0）两点，与y轴交于点C，DE＝AB，DE在直线AB上滑动，以DE为斜边，在AB的下方作等腰直角△DEF．（1）求抛物线的解析式；（2）当△DEF与抛物线有公共点时，求点E的横坐标t的取值范围；（3）在△DEF滑动过程中是否存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣2，4），B（2，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+2，∵E点的横坐标为t，∴E（t，﹣t+2），∵A（﹣2，4），B（2，0），∴AB＝4，∵DE＝AB，∴DE＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝EF＝2，∴F（t﹣2，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），当E点与A点重合时，t＝﹣2，当F点在抛物线上时，（t﹣2）2﹣（t﹣2）﹣2＝﹣t+2，解得t＝2+或t＝2﹣，∴﹣2≤t≤2﹣时，△DEF与抛物线有公共点；当E点与B点重合时，t＝2，当D点与B点重合时，t﹣2＝2，解得t＝4，∴2≤t≤4时，△DEF与抛物线有公共点；综上所述：﹣2≤t≤2﹣或2≤t≤4时，△DEF与抛物线有公共点；（3）存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，理由如下：由（2）知，E（t，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），C（0，﹣2），设P（x，y），①当CD为菱形的对角线时，CE＝DE，∴，解得，∴P（﹣2，0）；②当CE为菱形的对角线时，CD＝DE，∴，解得，∴P（2，﹣4）；③当CP为菱形的对角线时，CE＝CD，∴，解得，∴P（4，2）；综上所述：P点坐标为（﹣2，0）或（2，﹣4）或（4，2）．4．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BCP的面积最大值；（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，∴，解得﹣，∴y＝﹣x2+3x+8；（2）令y＝0，则﹣x2+3x+8＝0，解得x＝﹣2或x＝8，∴B（8，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+8，过点P作PG∥y轴交BC于G，设P（t，﹣t2+3t+8），则G（t，﹣t+8），∴PG＝﹣t2+3t+8+t﹣8＝﹣t2+4t，∴S△CBP＝8×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；（3）①存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+3x+8＝﹣（x﹣3）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴E（3，5），设M（3，m），∴BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，当BE＝BM时，5＝，解得m＝5（舍）或m＝﹣5，∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得m＝5+5或m＝﹣5+5，∴M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；当BM＝EM时，＝|m﹣5|，解得m＝0，∴M（3，0）；综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，﹣5+5）；②设N（x，y），M（3，m），当BE为菱形的对角线时，BM＝EM，∴，解得，∴N（8，5）；当BM为菱形的对角线时，BE＝EM，∴，解得或，∴N（8，5）或（8，﹣5）；当BN为菱形的对角线时，BE＝BM，∴，解得（舍）或，∴N（﹣2，0）；综上所述：N点坐标为（8，5）或（8，5）或（8，﹣5）或（﹣2，0）．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）由（1）得，点C（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+c，∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6），∴，解得：∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，则∠MNO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠OMB＝45°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH．∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，∴∠MON＝∠OHK，∴△OMN≌△HOK（AAS），∴MN＝OK，ON＝HK．∴H（﹣2m+6，﹣m），∵点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，解得：m＝，把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝，∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为（）；（3）存在，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，顶点为D，∴点D的坐标为（1，8），分两种情况讨论：①当CD为菱形的边时，如图2，过C作CE⊥DQ于E∵C（0，6），D（1，8），∴CD＝＝，∴DQ＝CD＝，∴Q点的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）；②当CD为菱形的对角线时，如图3，设点Q（1，m），P（0，n），∵C（0，6），D（1，8），∴m+n＝6+8＝14，∴n＝14﹣m，∴P（0，14﹣m），∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，∵CQ＝＝，PC＝CQ，∴8﹣m＝，解得：m＝，∴点Q的坐标为（1，）；综上所述，点Q的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C坐标；（2）如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OB＝3OA＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），将（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，将x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，∴点C坐标为（0，3）．（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，将（3，0），（0，3）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝﹣x+3，作PF⊥x轴交BC于点F，∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵PE∥x轴，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE，设点P坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点F坐标为（m，﹣m+3）．∴PF＝PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴m＝时，PE的最大值为，此时点P坐标为（，）．（3）①如图，PM＝CM，设点P坐标为（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），由（2）得PM＝﹣m2+3m，∵点C坐标为（0，3），∴CM＝＝m，∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍）或m＝3﹣，∴GC＝CM＝3﹣2，∴OG＝OC+CG＝3+3﹣2＝3+1，∴点G坐标为（0，3+1）．②如图，PM＝CG时四边形PCGM为平行四边形，PG⊥CM时四边形PCGM为菱形，∵PM＝﹣m2+3m，点C坐标为（0，3），∴点G坐标为（0，m2﹣3m+3），作GN⊥PM，∵∠CBO＝45°，∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°，∴GN＝PN，即m＝﹣m2+2m+3﹣（m2﹣3m+3），解得m＝0（舍）或m＝2，∴点G坐标为（0，1）．③如图，PM＝CM，由①可得m2﹣3m＝m，解得m＝3+，∴PM＝CG＝CM＝3+2，∴点G坐标为（0，1﹣3）．综上所述，点G坐标为（0，3+1）或（0，1）或（0，1﹣3）．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1（舍去）或x＝3，∴B（3，0），∵点D与点C关于对称轴对称，∴D（2，3），∴BD的中点H为（，），BD＝，∵∠BPD＝90°，∴PH＝BD，设P（1，t），∴（）2+（﹣t）2＝×10，解得t＝1或t＝2，∴P（1，1）或（1，2）；（3）存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：设M（m，﹣m2+2m+3），N（1，n），①当AB为菱形的对角线时，AM＝AN，∴，解得，∴N（1，﹣4）；②当AM为菱形对角线时，AB＝AN，∴，此时无解；③当AN为菱形对角线时，AB＝AM，∴，此时无解；综上所述：N点坐标为（1，﹣4）．8．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；（3）如图2，D（m，0）是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形CMNM′是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如下图，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，∴△PEH∽△OEC，∴，∵＝k，OC＝3，∴k＝PH，设直线BC的解析式为y＝sx+t，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴k＝（﹣t2+3t）＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，k取得最大值为，此时P点的坐标为（，）；（3）存在；由折叠知，MC＝M'C，MN＝M'N，故当MN＝MC时，四边形CMNM′是菱形，设M（m，﹣m+3），则N（m，﹣m2+2m+3），∴MC＝＝|m|，∴|﹣m2+3m|＝|m|，即﹣m2+3m＝±m，解得m＝3+或3﹣，综上所述，点D的坐标为（3+，0）或（3﹣，0）9.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；S＝•PM•OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；（3）点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴y＝x2+2x﹣3；（2）如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），设直线AC的解析式为：y＝kx+n，∴，∴，∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，∵P点的横坐标为m，∴P的坐标是（m，m2+2m﹣3），则M的坐标是（m，﹣m﹣3），∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，∴﹣3＜m＜0，∴S＝•PM•OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；（3）分两种情况：①如图2，四边形CDEB是菱形，设D（t，﹣t﹣3），则E（t+1，﹣t），∵四边形CDEB是菱形，∴CD＝BC，∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，∴t＝±，∵t＜0，∴t＝﹣，∴E（﹣+1，）；②如图3，四边形CBDE是菱形，设D（t，﹣t﹣3），则E（t﹣1，﹣t﹣6），∵四边形CBDE是菱形，∴CE＝BC，∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，∴t＝0（舍）或﹣2，∴E（﹣3，﹣4）；综上所述，点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．10.如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（，）；（3）F点坐标为（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+3，∵函数的对称轴为直线x＝1，∴D（1，2），过点P作x轴的垂线，交BC于点Q，设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+3t，∴S△PCD＝×1×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△PCD的最大值为，此时P（，）；（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4向右平移1个单位得到新抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+4，联立，解得x＝，∴E（，），∵新抛物线的对称轴为直线x＝2，设F（2，m），∴DE2＝+＝，DF2＝1+（m﹣2）2，EF2＝+（m﹣）2，∵以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：①当EF、FD为邻边，此时EF＝FD，∴1+（m﹣2）2＝+（m﹣）2，解得m＝，∴F（2，）；②当ED、EF为邻边，此时ED＝EF，∴＝+（m﹣）2，解得m＝或m＝2，∴F（2，2）或F（2，），设直线ED的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，当x＝2时，y＝，∴F（2，2）；③当DE、DF为邻边，此时DE＝DF，∴＝1+（m﹣2）2，解得m＝2+或m＝2﹣，∴F（2，2+）或F（2，2﹣）；综上所述：F点坐标为（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．11.综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①当△ANC面积最大时的P点坐标为；最大面积为．②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）①（﹣2，2）；8．②点D的坐标为（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．【解答】解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+c，得c＝4，将A（﹣4