浙江省丽水、湖州、衢州三地市2024年高考4月质检数学试卷

浙江省丽水、湖州、衢州三地市2024年高考4月质检数学试卷

1.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件2="第一枚出现奇数点"，事件B="第二枚出现偶数点”，则

A与B的关系是（)

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等

2

2.双曲线久2一」=:1（小〉0）的渐近线方程为了=±2久，则TH=（）

A-IB.孚C.V2D.2

3.复数z满足|iz|=l（i为虚数单位），则|z-4+3i|的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知平面向量N、了满足历|=2|同=2,若Ml他+方），则方与石的夹角为（）

A兀B5"「卫

A・6口,%"J3口D.—3

*=(

5.已知各项均为正数的等比数列｛斯｝的前n项和为%,且满足。6,3a4,-应成等差数列，贝)

A.3B.9C.10D.13

6.将函数f（x）=cos2x的图象向右平移0（0<8<*）个单位后得到函数。（尢）的图象，若对满足

7T

-。（工2）|=2的久1，久2，有|%1—X2\min=石，则0=（）

A5兀gZ£C工n-

123J46

7.已知椭圆C；乌+^1=l（a>b>0）„为左、右焦点，P为椭圆上一点，在止?2=60°,直线

a乙b乙

I：y=-久+t经过点P.若点或关于［的对称点在线段的延长线上，则C的离心率是（）

A-IB.孚C.1D.|

X2X3

8.已知正实数%1，%2,%3满足妊+2%1+1=%2+3%2+1=X23,%3++1=X34,则

打，％2,%3的大小关系是（）

A.%3<%2<%1B.工1<%2<%3C.<%3<%2D.%2<<%3

9.有一组样本数据%1，%2,%3,%4,%5,%6的平均数是反，方差是s2,极差为R,则下列判断正确的

是（）

A.若a%i+b,ax2+b,ax3+b,ax4+b,ax5+b,。汽+力的平均数是％o，贝丘o=a%+b

B.若％i，2x?,3冷，4x4,5x5,6汽的极差是％,则%>R

C.若方差S2=0,贝！J%1=%2=%3=%4=%5=%6

1/9

D.若<%2<%3<%4<%5<%6，则第75百分位数是"4**5

10.已知直三棱柱4BC—4/1的中，2B1BC且=BC=2,直线&C与底面2BC所成角的正弦值为

孚，则()

A.线段&C上存在点O,使得AR1AD

B.线段41c上存在点。，使得平面OB/1平面DCCi

C.直三棱柱/BC—々Big的体积为g

D.点/到平面&BC的距离为企

11.已知函数f(X)的定义域为R,且/(%+y)•/(%-y)=产(K)一产。)，y(i)=2,/'(久+1)为偶函数,

则()

A.f(3)=2B.fO)为奇函数

C.-2)=0D.£凿4/出=0

12.在aZBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=%c=&，BC边上的高等于5a,贝!MABC

的面积是,sinA-.

13.已知圆C：mx2+(2m—l)y2—lax—a—2=0,若对于任意的aeR,存在一条直线被圆C所截

得的弦长为定值Ji,则TH+n-.

14.已知正四面体2-BCD的棱长为1,若棱长为a的正方体能整体放入正四面体2-BCD中，则实数

Q的最大值为.

15.设等差数列｛&｝的公差为d,记5„是数列｛an｝的前n项和，^S5=a3+20,Si5=a2a3a8.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)若d>0,6n=彳普-(nCN*),数列也｝的前n项和为Tn,求证：Tn<n+1.

16.如图，三棱锥4一BCD中，AD1CD,AD=CD,AADB=ABDC,E为线段ZC的中点.

(1)证明：平面BED_L平面AC。；

(2)设ZB=BD=3,丽=2而，丽•丽=0,求直线CF与平面2BC所成角的正弦值.

17.设函数/(%)=e*-In(久+a),aER.

2/9

（1）当a=l时，求/'（£）的单调区间；

（2）若/（x）\a,求实数a的取值范围.

18.已知抛物线E：产=4%,点2,B,C在抛物线E上，且4在%轴上方，B和C在%轴下方（B在C左侧），

A,C关于久轴对称，直线交x轴于点M,延长线段CB交支轴于点Q,连接QA.

（1）证明：假为定值（。为坐标原点）；

（2）若点Q的横坐标为-1,且通•流=务求A/IQB的内切圆的方程.

19.为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有

珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为Pi；若该区域没有珍稀动物活动，但

监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为P2.已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为02现

用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器

识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.

（1）若pi=0.8,P2=0.02.

（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；

（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到

0.001）；

（2）若监测系统在监测识别中，当0.8Wpi<0.9时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动

物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实

没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求P2的范围（精确到0.001）.

（参考数据：气°，=09866,空空=0.9861,0.982=0.9604）

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答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】A,C

10.【答案】A,B,D

n.【答案】B,C,D

12.【答案】|；誓

13.【答案】1+V7

15.【答案】(1)解：由S5=Q3+20,55=驯1产)=5的，得5%=%+20,解得的=5,

由S15=Q2a3a8，S15=__15(18，所以15a8=5a2a8，所以。8=。或。2=3,

当。8=0时d=-—1,此时a九=a+(n—3)d=8—n；

"gO—I33

当。2=3时d=%—=2,此时册=恁+(九-3)d=2n—1；

综上可得数列｛册｝的通项公式为a九=8-九或册=2n-1；

(2)证明：因为d〉0,所以册=2几—1,则sn=a±与二如=层，

Ulll6—4s几一4足一4九2-1+1

人」分―an-an+1-(2n-l)(2n+l)一(2n-l)(2n+l)

1111

=1+(2n-l)(2n+l)=1+2Zn=T-2n+l^

11111111111

所以7\=1+2(1—§)+1+2(§—耳)+1+2(耳—7)+",+1+2(^=1_2^)

11111111

=n+2(i-寸§-5+5-7+…+而=！一而百)

11111

=n+2(1-2^+l)=n+2_2(2n+l)<n+2-

4/9

16.【答案】(1)证明：因为2。=CD,乙ADB=LBDC,

可得△ADB也△CCB,所以4B=CB,

又E为线段ZC的中点，所以BE1ZC,DE1AC,

而DECBE=E,

所以4c1平面BED,

又因为ACu平面ACD,

所以平面BED1平面AC。；

(2)解:取D4的中点G,连接EG,BG,因为EG为中位线，

所以EG〃CD,又AD1CD,所以1EG,

因为力B=BC,G为D4的中点，所以4QJ.BG,

又EGCBG=G,EG,BGu平面BEG,所以4。1平面BEG,

BEu平面BEG,所以ADIBE,

因为B2=BC,E为4C的中点，所以4clBE,

又ACnA。=力，AC,ADC平面AC。，所以BEl•平面ACD,

以E为坐标原点，分别以及4、EB、ED所在的直线为％、y、z轴，建立空间直角坐标系E-xyz,

如图，

设Z(a,O,O),B(b,0,0),

则E(0,0,0),D(0,0,a),8(0,瓦0),F(0,1,^),

前=(04约，丽=(0,一瓦办

\AB\2=a2+b2=9r_.

由前屈=考+竽=o'解得：忆后

所以方=(百，雪,竽)，又平面ABC的法向量五=(0,0,1),

设直线CF与平面4BC所成角为&de[0,J],

5/9

则sin。=|cos(CF,n)|=而五|=丁=2/15,

\CF\-\n\~V5xl—15

所以直线CF与平面ABC所成角的正弦值为维1

17.【答案】(1)解：已知/(%)=e%-In。+a),a6/?,函数定义域为(-a,+8),

当a=l时，f(x)=ex-ln(x+1),函数定义域为(-L+8),

1

可得rQ)=e、_圭，

当一1<%<0时,/,(x)<0,/(%)单调递减;

当%>0时，f(x)>0,/(%)单调递增,

综上，所以f(%)的单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(-1,0)；

(2)解：若/(%)2a,即e*—ln(x+a)-a20,

不妨设g(x)=ex-ln(x+a)-a,函数定义域为(-a,+oo),

可得g'O)=1一弟，

不妨设九(%)=g'(%)，函数定义域为(-a,+8),

可得"(%)=ex+—^-2>0恒成立，

所以函数八(%)在(-a,+8)上单调递增，即函数9'。)在(-a,+8)上单调递增，

当xr-a时，。'(久)->一8；当％->+8时，g'(x)->+8,

所以在区间(一a,+8)上存在一点的,使得g'(%o)=0,

11

此时^°=诟Q，即。=两一工()，

当一a<x<%()时,g'(%)<0,g(%)单调递减;

当%>%。时，g<x)>0,g(x)单调递增，

1

xx

所以g(x)>g(%o)=e°-ln(x0+a)-a=e°-+2x0>0,

不妨设k(x)=e、—营+2%,函数定义域为［0,+8),可得〃(%)="+/+2>0,

所以函数k(x)在定义域上单调递增，

易知做0)=0,又做配)20,所以配20,

易知函数y=y=-%均为减函数，所以a=去一出在［。,+8)上单调递减，

则当％o之。时，a<1,

故实数a的取值范围为(-8,1］.

18.【答案】(1)证明：由题意，设直线的方程为％=7ny+£(zn>0),5(%2^2)，

6/9

则CQi，-y。,

%=TUV+t

(y2_4%，消去%，^y2-4my-4t=0,A—16(m2+t)>0^>m2+t>0,

所以yi+y2=47n,yiy2=-4t,

直线BC的方程为y+%=笠等(%-修)，化简得y=普丁-告

x2X1丫2y1>271

令y=o，得久Q=>丫2=—t,所以Q(—t,o),

\OM\_|t|,

因此W-M-1；

(2)解：因为点Q的横坐标为一1,由(1)可知，(2(-1,0),M(l,0)，

设Q力交抛物线于AQi，y。，B(x2,y2)>。(久1,一yD，。(%4,丫4)，

如图所示，

又由(1)知，7172=-4,同理可得月丫4=4,得丫4=一丫2,

m2

又+%2=yi+1+Tny2+1=+y2)+2=4m+2,

2

rY_yiyj_(yiy2),1.

尤62_1r•彳

X

又丽=(%2-1,g)，砒=(1-L一月)，

xx2

则前-MC=(%2-1)(%1-1)—y/2=i2—(1i+%2)+1+4=4—4m，

故4-47n2-*结合m>0,得m=4,

所以直线ZB的方程为3x—上y-3=0.

又力-yi=J(月+及)2-4yly2=V16m2+16=苧

Z1Z24_Z1ZZ4_Z1ZZ4_4_43

4园

4yi+y4-y\-y-i4,

4

所以直线的方程为3尤—4y+3=0,

设圆心T(s,0)(—1<S<1),

7/9

因为QM为乙4QB的平分线，故点T到直线和直线20的距离相等,

所以匡拦=与近，因为—i<s<L解得s=[

故圆T的半径r=更萨=

因此圆7的方程为(尤-1)2+y2=*

19.【答案】(1)解：记事件力为“检测系统判定指定区域有珍稀动物活动”，事件B为“监测区域实际上

有珍稀动物活动”

("⑷B)=铲叫尹理。96,

因此在该区域有珍稀动物活动的条件下，该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率是0.96；

(ii)由题意得P(4)=P(ABUAB)

=PQ4B)+P(AB)=P(B)P(4⑻+P(B)P(Z|B)

=0.2(1-(1-pQ2)+0.8(1-(1-「2)2)

=0.2(1-(1-0.8)2)+0.8(1-(1-0.02)2)=022368,

P(AB)P(4|B>P(B)

则P(B|A)=

WT=-P(A)-

0.8x[l-(l-p2)2]0.8x(1-0.982)

-0.22368-«0.142,

因此在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，指定区域实际没有珍稀动物活动的概率是0.142.

P(AB)=PQ4|B>P(B)=_________0.2[l-(l-pi)2]_________

(2)解:因为P(B|Z)P⑷=-TO-=0.2(1—(l—pi)2)+0.8(l—(l—p2)2)

0.8(l-P2)2

p后不=fO=P(*B1P(B)=_____________________________________

5J—P⑷—p(万一1—(1-P2)2)+0.2(l-(1-pi)2)]'

0.2[l-(1-P1)2]