高考数学复习：立体几何大题 常考题型归类（原卷版）

专题08立体几何大题

3盛型大裳合

4

:一、共线、共面、共点的证明四、空间二面角求解）

’二、平行与垂直证明综合「立体几何大题一（五、等体积法求点到平面的距离'

（三、直线与平面所成角求解六、立体几何中的动点探究问题）

申强型大通关

4

一.共面、共线、共点的证明

1.（2324高二上.北京・月考）如图，在空间四边形ABCD中，E、尸分别是A3、AD的中点，G,//分

别在8C,CD上，且3G:GC=D":"C=1:2.

（1）求证：EF//GH；

（2）设EG与FH交于点、P,求证：P,AC三点共线.

2.（2324高一下•江苏高邮・月考）如图，已知空间四边形A3CD,E,F分别是AB,8c的中点，G,“分

AH

别在CO和上，且满足容=白工=2.求证:

GDHD

(DE,F,G,//四点共面;

(2)EH,FG,BO三线共点.

3.(2324高一下.云南大理.期中)如图，四边形ABCD和四边形ABEF都是梯形，BC//AD,BE//AF,且

3c=gA£>,BE=g厚,G,a分别为丛FD的中点.

(1)求证：四边形gCHG是平行四边形;

(2)求证：四点共面.

4.(2223高一下•四川绵阳・月考)如图，已知正方体A8CQ-A4CQ的棱长为2,E,尸分别为ARCG的中

点.

⑴已知点G满足£>〃=4DG,求证民区G,尸四点共面;

(2)求三棱柱ABO-A4A的表面积.

5.(2324高一下•浙江宁波•期中)如图，在长方体ABCD-A耳CQ中，AB=BC=4,44,=3,点

M,N,P,Q分别是棱A4，BG，CCI，CD的中点.

(1)证明：三条直线MN,QP,，G相交于同一点

(2)求三棱锥C-MAP的体积.

二.平行与垂直证明综合

1.(2324高一下•河北张家口•月考)在正方体A8CD-4gGR中，。是AC的中点，M,N分别是。，，

AA的中点.

⑴求证：〃平面ACCiA；

(2)若尸是GA的中点，求证：平面初\?〃平面ACGA.

2.(2324高一下.天津・月考)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD_L底面

ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点，作EFLPB交PB于点F.

(1)证明：24〃平面EDB；

（2）证明：依，平面EFD.

3.（2324高一下•四川广安・月考）如图，在四棱锥尸-ASCD中，PC，底面ABC。，在直角梯形ABCD

中，ABLAD,BC//AD,AD=2AB=2BC,E是PD中点.求证：

⑴CE7/平面加B；

(2)ACA.PD

4.（2324高一下.江苏盐城•月考）在三棱柱4BC-AB©中，侧面ACCM_L底面ABC,AAl=BC=5,

AtB=AC=n,AB=13,E为AB的中点.

⑴求证：BQ，平面ACE；

（2）求证：AA，平面ABC.

5.（2324高一下.安徽・月考）如图，在直四棱柱ABCD-A4GA中，四边形ABC。为等腰梯形,

ABCD,AB=2CD=8,N54D=45。，点E是线段AB的中点.

(1)求证：平面CGE//平面ADRA；

(2)求证：3。1平面人。。4.

三.直线与平面所成角求解

1.(2324高一下.湖南永州・月考)如图，在长方体ABCD-AB|C|D］中，AB=3,BC=BB【=2,

(1)求证：BDX±BtC-

(2)求直线BDi与平面ADD.A,所成角的正切值.

2.(2024・上海普陀•二模)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SB=2,

E、厂分别是SC、3D的中点.

⑴求证：EP〃平面S4B；

(2)若二面角S-AB-。的大小为刀，求直线5D与平面ABCD所成角的大小.

3.(2324高一下•山西运城・月考)如图，直四棱柱ABCD-A耳中，底面ABCO为菱形,

ZDAB=60,AA^=AD=1,p,M,N分别为CD,M,。，的中点.

(1)证明：平面尸MV〃平面8c2；

(2)求AD,与平面BCD,所成角的正弦值.

4.(2324高一下•河北沧州・月考)如图，在斜三棱柱ABC-44a中，"，为AC的中点,

MBX1AB.

B

⑴证明：Mq1AB.

⑵若AB=BC=2,BBl=4,MBl=y/14,求直线BtC与平面MBXCX所成角的正弦值.

5.(2324高二上・河南・月考)如图，已知平面AC。，DE2平面AC。，三角形AC。是正三角形，且

AD=DE=2AB,尸是CD的中点.

(1)求证：平面C3E_L平面CDE；

(2)求直线EF与平面CBE所成角的正弦值.

四.空间二面角求解

1.（2324高一下.江苏・月考）如图，四棱柱ABC。-ABCA的底面ABC。是菱形，惧，平面A8C。，

AB=2,44]=6,N54T>=60。，点P为的中点，点。为881上靠近8的三分点.

⑴求证：3自〃平面PAC；

（2）求二面角P-AC-。的正切值.（先找角再证明最后计算）

2.（2324高一下•广西南宁•月考）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面八"，平面ABCD,|钻|=2,

（1）求点D到平面PAC的距离；

（2）求二面角A-BD-P的正切值.

3.（2324高一下•河南郑州・月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD,AB=4,CD=2,

ZPDA=90,平面PAD_L平面PCD.

p

AB

(1)求证：AD±PC；

(2)若尸E>=AD=2,PDLDC,求平面PAD与平面P3C夹角的余弦值.

4.(2324高三下.黑龙江佳木斯•三模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面J_平面ABCD,

PAYAB,底面A8CD为等腰梯形，ABCD,且AB=2CD=2AD=2.

(1)证明：平面R4C_L平面BBC；

(2)若点A到平面PBC的距离为走，求平面PAD与平面P3C夹角的余弦值.

2

5.(2324高一下•浙江•月考)如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=BBt=l,AC=五,四边形

瓦8CG为正方形.

(1)求证：平面43。，平面ABCG；

(2)求二面角A-BC-8的余弦值.

五.等体积法求点到平面的距离

1.(2324高一下•河南周口・月考)如图，在三棱锥A-3CD中，ZDBC=90°,BD=3,BC=4,ABC为

2

等边三角形，COSNAC£)=M，点E,尸分别是线段AO,8的中点.

(1)证明：平面ABC；

(2)求点C到平面BEF的距离.

2.(2324高一下•吉林长春•期中)如图，已知正方体ABCD-AgCQi的棱长为。.

(1)求证：即，平面8"；

(2)求点B到平面用AC的距离.

3.(2024・四川・三模)正方体ABCD-AACQ的棱长为2,E,£G分别是C&,BC,的中点.

(1)求证：CG〃面QEF；

(2)求点G到平面REP的距离.

4.(2324高一下•河南安阳•月考)如图，在直三棱柱ABC-中，点。为线段AC的中点.

(1)证明：8(〃平面

(2)若AB1BC,M=4,AB=BC=3g，求G到平面耳即的距离.

5.(2324高一下•福建莆田•期中)正三棱柱ABC-AB。的底面正三角形的边长为2,。为BC的中点,

M=3.

(1)证明：48〃平面AOC1；

⑵求C到平面ACQ的距离.

六.立体几何中的动点探究问题

1.(2324高一下•安徽阜阳•期中)如图，在正方体ABCO-ABCIR中，E为。〃的中点.

⑴求证：BDl环面AEC；

(2)CG上是否存在一点尸，使得平面AEC#面8F"?若存在，请确定点厂的位置；若不存在，请说明理

由.

2.(2324高一下.江苏南京・月考)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为梯形，其中AD〃3C,且

AT>=23C,点E为棱的中点.

8t——七

(1)求证：CE〃平面F4B；

(2)若/为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N,使得〃平面TUB?若存在，请确定点N的位置,

若不存在，请说明理由.

3.(2023•江西赣州•模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面44。。是矩形，侧面2月。。是菱

形，ZB,BC=60,。、E分别为棱A3、的中点，/为线段和£的中点.

(1)证明：AF〃平面A〃E；

(2)在棱8月上是否存在一点G,使平面ACG,平面BBCC?若存在，请指出点G的位置，并证明你的结

论；若不存在，请说明理由.

4.(2223高一下•广东广州・期末)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,

ZABC=90°,且侧面PAD_L面ABC。，。是的中点，2AB=23C=">=P4=PD.

(1)求