专题2.5轴对称中最短路径问题（四大模型）-《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材讲练（苏科版）

《讲亮点》20222023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》专题2.5轴对称中最短路径问题（四大模型）【教学目标】1、理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 2、能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。【教学重难点】1、将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题；2、确定出最短路径的方法。3、探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。【知识亮解】知识点最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。连接AB，与直线l的交点P即为所求。两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。化折为直；两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2。两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。【典例1】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）A．750米 B．1000米 C．1500米 D．2000米【答案】B【解析】【详解】解：作A的对称点，连接B交CD于P，，∴AP+PB=，此时值最小，在中，,，，∵点A到河岸CD的中点的距离为500米，∴B=AP+PB=1000米【典例2】如图所示，，点为内一点，点关于对称的对称点分别为点，连接，分别与交于点，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，最后利用三角形的内角和定理即可求出．【详解】∵∴∵，∴又∵点关于对称的对称点分别为点∴，∴∴∴故选：B【点睛】本题考查的知识点有三角形的内角和、轴对称的性质，运用这些性质找到相等的角进行角的和差的转化是解题的关键.【典例3】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝8，△ABC的面积为40，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为_____．【答案】10【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为40，AB＝8，∴×8×CE＝40，∴CE＝10，故CM+MN的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．【典例4】如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________．【答案】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求．【解析】【分析】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求．【详解】解：如图，点C，点D即为所求．故答案为：作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．【典例5】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____．【答案】6【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为30，AB＝10，∴×10×CE＝30，∴CE＝6．即CM+MN的最小值为6．故答案为6．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．【典例6】如图，点P是∠AOB内部一定点（1）若∠AOB＝50°，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连OP1、OP2，则∠P1OP2＝___.（2）若∠AOB＝α，点C、D分别在射线OA、OB上移动，当△PCD的周长最小时，则∠CPD＝___（用α的代数式表示）.【答案】

100°

180°2α【解析】【分析】（1）根据对称性证明∠P1OP2=2∠AOB，即可解决问题；（2）如图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连P1P2交OA于C，交OB于D，连接PC，PD，此时△PCD的周长最小．利用（1）中结论，根据对称性以及三角形内角和定理即可解决问题；【详解】（1）如图，由对称性可知：∠AOP=∠AOP1，∠POB=∠BOP2，∴∠P1OP2=2∠AOB=100°，故答案为100°．（2）如图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连P1P2交OA于C，交OB于D，连接PC，PD，此时△PCD的周长最小．根据对称性可知：∠OP1C=∠OPC，∠OP2D=∠OPD，∠P1OP2=2∠AOB=2α．∴∠CPD=∠OP1C+∠OP2D=180°2α．故答案为180°2α．【点睛】本题考查作图最短问题、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【亮点训练】1、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？【解析】如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于eq\f(1,2)AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．2、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30º.3、如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为________

cm．

【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解析】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，

∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm。故答案为：8．

4、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°【解析】考点有轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH。∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。5、如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是()12 B.15 C.16 D.18【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，∵∠B＋∠C＝150º，∴∠BEC＝30º，∴∠BEF＝60º，∴△BEF是等边三角形，连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE＝，∴Rt△QEF中，FQ＝AE＝18，∴BP＋PQ最小值值为18，故选D.6、如图，是等边三角形，，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数是______.【解析】先作点D关于AC和BC的对称点G、H，连接GH交AC和BC于点E、F，此时△DEF的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解．如图，作点D关于AC的对称点G，点D关于BC的对称点H，连接GH交AC、BC于E、F，∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，∴DE=EG，DF=FH，∴的周长=DE+DF+EF=EG+EF+FH，∴当G、E、F、H四个点在同一直线上时，的周长最小，∵是等边三角形，∴∠A=∠B=，∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，∴∠ADG=，∠BDH=，∠EDG=∠DGE，∠FDH=∠DHF，∴∠GDH=，∴∠DGE+∠DHF=，∴∠EDG+∠FDH=，∴∠EDF=.故答案是：.7、如图，在△ABC中，已知AB＝AC,AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB.（1）若∠ABC＝70º，则∠NMA的度数是度；（2）若AB＝8，△MBC的周长是14.①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值。【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70º，∴∠A＝40º，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM＝90º，∴∠NMA＝50º；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，△MBC的周长＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，∵AB＝8，△MBC的周长是14，∴BC＝14－8＝6；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB＋PC＝PA＋PC,PA＋PC≥AC，∴P与M重合时，PA＋PC＝AC，此时PB＋PC最小，∴△PBC周长的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14.8、如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)()(BM垂直于a)B．(AM不平行BN)C．(AN垂直于b)D．(AM平行BN)【解析】根据垂线段最短，得出MN是河宽最短，即MN⊥直线a(或直线b)，只要AM＋BN最短就行，如答图，过A作河的垂线AH，垂足为H，在AH上取一点I，使AI等于河宽．连接IB交河的b边岸于点N，作MN垂直于河岸交a边岸于M点，所得MN即为所求．9、五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，如图表示小河甲，表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门。为方便人员往来，要在两条小河上各建一条桥，桥面垂直于河岸。图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河的垂直距离为40米，B到乙河的垂直距离为20米，两河相距100米，A、B两点的水平距离（与小河平行的方向）为120米。为使A、B两点间来往的路程最短，两条桥都按这个目标而建，那么此时A、B两点来往的路程是多少米？【解析】作图，由题意可知路程AMNPQB最短，且AMNPQB＝AD＋DC＋CB又AD＝8米，CB＝10米，由已知条件可得CE＝120米，DE＝40＋20＋100＝160米，所以在Rt△DEC中可求得斜边CD＝200米，所以AD＋DC＋CB＝8＋200＋10＝218米。【培优检测】1．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】解：如图，连接∵P1是P关于直线l的对称点，∴直线l是PP1的垂直平分线，∴，∵P2是P关于直线m的对称点，∴直线m是PP2的垂直平分线，∴，当

P1，O，P2不在同一条直线上时，即，当P1，O，P2在同一条直线上时，，∴，之间的距离可能是5，故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键．2．如图，等边，是边上的高，若，点M，P分别是线段上的动点，则最小值为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】过点C作的垂线，垂足为M，交于点P，此时有最小值，求出BE即可．【详解】∵是等边三角形，，由等边三角形的性质可得：点B，C关于所在直线对称，过点C作的垂线，垂足为M，交于点P，此时有最小值；且，∵，∴，由等边三角形的性质可得：．故选A．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．3．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，当时，最短，此时的周长最小，最小值为的长．【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，如图所示：由对称性可知，，，的周长，，，，，，，当时，最短，此时的周长最小，，的面积9，，的周长最小值为6，故选：B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，三角形面积公式是解题的关键．4．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______．【答案】60°##60度【解析】【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴β﹣α＝60°，故答案为：60．【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题．5．如图，在四边形ABCD中，，，在边AB，BC上分别找一点E，F使周长最小，此时______．【答案】112°##112度【解析】【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E'，交BC于F'，则点即为所求，利用轴对称的性质结合四边形的内角和即可得出答案．【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E'，交BC于F'，则点E'，F'即为所求．∵四边形ABCD中，

∴，由轴对称知，∠ADE'=∠P，∠CDF'=∠Q，在△PDQ中，∠P+∠Q=180°∠ADC=，∴∠ADE'+∠CDF'=∠P+∠Q=34°，∴故答案为．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．6．如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD、CE分别是△ABC的两条中线，CE=6，P是AD上一动点，则BP+EP的最小值是____．【答案】6【解析】【分析】取AC的中点F，连接FP，则可得FP=EP，当F、P、B三点在同一直线上时，BP+FP最小，从而BP+EP也最小，从而可求得其最小值．【详解】取AC的中点F，连接FP，BF，如图∵AB=AC，E、F分别是AB、AC的中点∴AF=AE∵AD是BC边上的中线∴∠FAP=∠EAP∵AP=AP∴△FAP≌△EAP(SAS)∴FP=EP∴BP+EP=BP+FP≥BF即BP+EP的最小值为线段BF的长在△ABF和△ACE中∴△ABF≌△ACE(SAS)∴BF=CE=6即BP+EP的最小值为6故答案为：6【点睛】本题是典型的将军饮马问题，考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形全等的判定和性质、两点间线段最短等知识，关键是取AC的中点F，把BP+EP的最小值转化为BP+FP的最小值，从而根据两点间线段最短解决最小值的问题，这也体现了数学上重要的转化化归思想．7．如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为_____．【答案】50°或130°．【解析】【分析】由题意可知，点F的位置存在如下图所示的两种情况（在点F处或点F′处），根据图形结合“已知条件”利用“角的两边关于角平分线对称和等腰三角形的性质”进行分析解答即可.【详解】如下图，∵DE∥AB，∴∠DEC=∠ABC=50°，∴∠DEB=180°50°=130°，（1）当点F在AB边上的F处时，由DF=DE和BD平方∠ABC可知，此时△BDF和△BDE关于BD对称，∴△BDF≌△BDE，∴∠DFB=∠DEB=130°；（2）当点F在AB边上的F′处时，∵DF′=DE=DF，∴∠DF′B=∠DFF′，又∵∠DFF′=180°∠DFB=50°，∴∠DF′B=50°；综上所述，∠DFB=50°或130°.故答案为50°或130°.【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）知道点F的位置在AB上存在两种情形，并能画出对应的图形；（2）知道当点F在AB边上的F处时，△DFB和△DEB是关于∠ABC的角平分线BD对称的.8．要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为同侧的A，B两个居民小区发送快件．（1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图中，画出点P的大致位置；（2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请在如图中画出点M的大致位置；（3）如图，D是内一点，连接．延长交于点E．∵在中，①，在中，②；∴①＋②得；∴．如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域．请同学们用以上这个结论，在图中画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线点性质点P在线段AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，与l的交点即为所求；（2）根据两点之间线段最短的性质，作点A关于l的对称点A1，连接BA1与l的交点Q即为所求；（3）如图，作点A关于l的对称点A2，连接DA2，BD，DA2与l交于点Q，由已知可得QE+BE＞QD+BD，可得QD+BD是点B到点Q的最短距离，点Q即为所求．【详解】（1）如图，点P即为所求：（2）如图，点M即为所求：（3）如图，点Q即为所求：【点睛】本题考查轴对称——最短路径，熟练掌握轴对称性质是解题关键．9．如图，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点，使△的周长最小．（要求写作法）【答案】见解析【解析】【分析】根据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB、AC的对称点，连接两个对称点与AB、AC的交点即为所求．【详解】解：如图，以为对称轴作点的对称点，以为对称轴作出点的对称点，连接交、于点、，即为所求．【点睛】本题考查轴对称相关的最短路线问题，熟练掌握两点之间线段最短的应用，能够运用其性质求解一些简单问题．10．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【答案】见解析【解析】【分析】作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接AQ，BP，则AQ＋PQ＋BP是最短路线．【详解】如图所示AQ＋PQ＋BP为