专题05二次函数y=a(x-h)²k的图像和性质（七大类型）（题型专练）4

专题05二次函数y=a(xh)²+k的图像和性质（七大类型）【题型1二次函数y=a(xh)²的顶点与对称轴问题】【题型2二次函数y=a(xh)²图像变换问题】【题型3二次函数y=a(xh)²的性质】【题型4二次函数y=a(xh)²的y值大小比较】【题型5二次函数y=a(xh)²+k的最值问题探究】【题型6根据二次函数y=a(xh)²+k的性质写解析式】【题型7二次函数y=a(xh)²+k的图像问题】【题型1二次函数y=a(xh)²+k的顶点、对称轴和最值问题】1．（2022秋•鄞州区校级月考）抛物线y＝﹣（x+2）2﹣4的对称轴是（）A．直线x＝﹣2 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣4 D．直线x＝4【答案】A【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣4已经是顶点式，顶点坐标为（﹣2，﹣4），∴x＝﹣2为该抛物线的对称轴，故选：A．2．（2023•东城区校级模拟）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（3，1）【答案】D【解答】解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．故选：D．【题型2二次函数y=a(xh)²+k图像变换问题】3．（2023•永州模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x+3）2﹣5 D．y＝（x+1）2﹣5【答案】A【解答】解：将二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x+2+1）2﹣3+2，即y＝（x+3）2﹣1．故选：A．4．（2023•长沙县二模）二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2【答案】B【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝（x﹣2﹣1）2+1，即y＝（x﹣3）2+1．故选：B．5．（2023•徐州模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝x2+1 D．y＝（x﹣2）2+1【答案】C【解答】解：∵将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，∴所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x﹣1+1）2+2﹣1＝x2+1．故选：C．6．（2023•拱墅区模拟）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2 C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2【答案】D【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2﹣2．故选：D．7.（2022秋•盐湖区期末）将二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象，则a、h、k的值为（）A．a＝2，h＝3，k＝1 B．a＝2，h＝5，k＝﹣2 C．a＝2，h＝6，k＝3 D．a＝2，h＝1，k＝4【答案】D【解答】解：∵将二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到二次函数y＝a（x﹣h﹣2）2+k﹣3，与y＝2（x﹣3）2+1为同一个解析式，∴，解得，故选：D．【题型3二次函数y=a(xh)²+k的性质】8．（2022秋•邯山区校级月考）对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（）A．图象开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x＝﹣1【答案】C【解答】解：由顶点式表达式可知，a＞0，∴开口向上，A错误；对称轴x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴B错误；D错误，∵x＜0在x＜1的范围内，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，C正确．故选：C．9．（2022秋•合阳县期末）已知二次函数，y随x的增大而减小，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2【答案】A【解答】解：∵，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，则当x＞2时，y随x的增大而减小，故选：A．10．（2023秋•海淀区校级月考）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（）A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1【答案】B【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t，∴a＜0，∵当x＞1时，y随x的增大而减小，∴t≤1，∴a＜0，t≤1．故选：B．11．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3） C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3【答案】C【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，故选：C．12．（2023•兴化市开学）已知函数使y＝使y＝a成立的x的值恰好只有2个时，则a满足的条件是a＜﹣5或a＝4．【答案】a＝4或a＜﹣5．【解答】解：画出函数解析式的图象，使y＝a成立的x的值恰好只有2个即函数图象与y＝a这两个条直线有2个交点，由图象及解析式可知，当a＜﹣5或a＝4时，函数图象与y＝a这两个条直线恰好有2个交点．故答案为：a＝4或a＜﹣5．13．（2022秋•番禺区期末）已知二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3，当x＜1时，y随x的增大而减小．【答案】＜1．【解答】解：在y＝2（x﹣1）2﹣3中，a＝2，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x＝1，当x＜1时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞1时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜1．14．（2023秋•武昌区校级月考）若抛物线y＝（2﹣m）x2+1的开口向上，则实数m的取值范围为m＜2．【答案】m＜2．【解答】解：∵抛物线y＝（2﹣m）x2+1的开口向上，∴2﹣m＞0，解得m＜2．故答案为：m＜2【题型4二次函数y=a(xh)²+k的y值大小比较】15．（2022秋•河北区校级期末）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＜0，a，k为常数），A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1【答案】A【解答】解：抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝1，所以A（﹣3，y1）到直线x＝1的距离为4，B（﹣1，y2）到直线x＝1的距离为2，C（2，y3）到直线的距离为1，所以y1＜y2＜y3．故选：A．16．（2022秋•朝阳区校级期中）已知抛物线y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣2）2+1，中a＝2＞0∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝2，∵B（3，y2），C（4，y3）中横坐标均大于2，∴它们在对称轴的右侧y3＞y2．A（﹣3，y1）中横坐标小于2，∵它在对称轴的左侧，它关于x＝2的对称点为2×2﹣（﹣3）＝7，A点的对称点是D（7，y1）7＞4＞3，∵a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴y1＞y3＞y2．故选：D．17.（2023•余姚市一模）已知二次函数y＝（x﹣m）2+3（m为常数），点A（1，y1），B（3，y2）是该函数图象上的点，若y1＜y2，则m的取值范围是（）A．1＜m＜2 B．m＜2 C．2＜m＜3 D．m＞3【答案】B【解答】解：∵点A（1，y1），B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣m）2+3（m为常数）图象上的点，∴y1＝（1﹣m）2+3，y2＝（3﹣m）2+3，∵y1＜y2，∴（1﹣m）2+3＜（3﹣m）2+3，解得m＜2，故选：B．18.（2023•北仑区二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝（x﹣3）2+3上的两点，若x1＜3＜x2，x1+x2＞6，则下列关系正确的是（）A．y1＜3＜y2 B．3＜y1＜y2 C．3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜3【答案】B【解答】解：由二次函数y＝（x﹣3）2+3可知抛物线开口向上，对称轴为x＝3，函数有最小值y＝3，∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝（x﹣3）2+3上的两点，且x1＜3＜x2，x1+x2＞6，∴x2﹣3＞3﹣x1，∴点A（x1，y1）离对称轴较近，∴y1＜y2，故3＜y1＜y2，故选：B．19.（2023•越秀区校级一模）若点A（﹣1.7，y1），B（2.1，y2），在二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1【答案】C【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+3，a＝1＞0，开口向上，对称轴为x＝2，则二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，A（﹣1.7，y1），B（2.1，y2），到对称轴的距离分别为3.7、0.1、∵，∴y2＜y3＜y1故选：C．20．（2023•虹口区二模）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝4，点A（1，y1）、B（3，y2）都在该抛物线上，那么y1＞y2.（填“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】＞．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝4，a＝1＞0，∴当x＜4时，y随着x的增大而减小，∵1＜3＜4，∴y1＞y2，故答案为：＞【题型5二次函数y=a(xh)²+k的最值问题探究】21.（2022秋•南宫市期末）若二次函数y＝□（x+1）2﹣6有最大值，则“□”中可填的数是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【答案】D【解答】解：设□处为a，由题意得二次函数为y＝a（x+1）2﹣6，∵二次函数y＝a（x+1）2﹣6有最大值，∴二次函数的图象开口向下即a＜0，∵﹣2＜0＜1＜2，∴a可以是﹣2，∴□中可填的数是﹣2．故选：D．22.（2022秋•绿园区校级期末）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值﹣1，有最大值3 C．函数有最小值﹣1，有最大值0 D．函数有最小值﹣1，无最大值【答案】B【解答】解：由图象可知当x＝1时，y有最小值﹣1，当x＝3时，y有最大值3，∴函数有最小值﹣1，有最大值3，故选：B．23．（2023•香坊区二模）二次函数y＝﹣（x+5）2﹣4的最大值是﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：∵y＝﹣（x+5）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣5，﹣4），∵a＝﹣1＜0，函数存在最大值，∴当x＝﹣5时，最大值为﹣4．故答案为：﹣4．24．（2023秋•高新区校级月考）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8，4≤x≤7时y的最大值是8．【答案】8．【解答】解：由题意，∵y＝﹣（x﹣6）2+8，∴当x＝6时，y有最大值为8．又4≤x≤7，∴此时y有最大值为8．故答案为：8．25．（2023•兴化市二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，函数y的最大值为5．【答案】5．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，∴对称轴是：x＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，故答案为：5．26．（2023秋•五华区期中）已知抛物线y＝﹣（x﹣h）2，当自变量x的值满足3≤x≤7时，与其对应的函数的最大值是﹣1，则h的值为8或2．【答案】8或2．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣h）2，顶点坐标为（h，0），a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，函数的最大值为0，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3≤x≤7时，与其对应的函数的最大值是﹣1，∴3≤x≤7在对称轴的同侧，①当h＜3时，当x＝3时，y取得最大值，即：﹣1＝﹣（3﹣h）2，解得：h＝2或h＝4（舍去）；②当h＞7时，当x＝7时，y取得最大值，即：﹣1＝﹣（7﹣h）2，解得：h＝8或h＝6（舍去）；综上：h的值为8或2；故答案为：8或2．【题型6根据二次函数y=a(xh)²+k的性质写解析式】27．（2022秋•肃州区校级期末）抛物线和y＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，顶点为（﹣1，3），则该抛物线的解析式为y＝±2（x+1）2+3．【答案】y＝±2（x+1）2+3．【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），可设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），由于抛物线和y＝2x2的图象形状相同，因此a＝±2．即抛物线的解析式为y＝±2（x+1）2+3．故答案为：y＝±2（x+1）2+3．28.（2022秋•济南期末）已知二次函数的最小值为﹣3，这个函数的图象经过点（1，﹣2），且对称轴为x＝2，则这个二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2﹣3．【答案】y＝（x﹣2）2﹣3．【解答】解：∵二次函数的最小值为﹣3，对称轴为x＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣3，把（1，﹣2）代入得a×（1﹣2）2﹣3＝﹣2，解得a＝1，