专题2.15一次函数与几何综合大题专练（培优强化30题）-2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍

20222023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.15一次函数与几何综合大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2022·江苏淮安·一模）如图，已知直线l:y=−12x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，x轴上一点C的坐标为6,0，点P(1)当点P的横坐标为2时，求△COP的面积；(2)若S△COP=3【答案】(1)9(2)(4,2)或(12,2)【分析】（1）先求出P点的纵坐标，依据S△COP（2）先求出A、B的坐标，即可得OA、OB，即可求出△AOB的面积，进而可求出△COP的面积，再根据S△COP=12×OC×(1)∵P点在直线l上，其横坐标为2，∴当x=2时，y=−1∵C(6,0)，∴OC=6，∴S△COP(2)当x=0时，y=−1∴B点坐标为(0,4)，∴OB=4，当y=0时，y=−12x+4=0∴A点坐标为(8,0)，∴OA=8，∴S△AOB∵S△COP∴S△COP∴S△COP即S△COP=1即yP当yP=2时，y=−1∴此时P点坐标为(4,2)，当yP=−2时，y=−1∴此时P点坐标为(12,2)，综上：P点坐标为(4,2)、(12,2)．【点睛】本题考查了一次函数的在几何问题中的应用，还考查了求解直线与坐标轴交点坐标、三角形面积等知识，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，一次函数y=−34x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB(1)求A，B两点的坐标；(2)求OC的长；(3)设P是x轴上一动点，若使△PAB是等腰三角形，写出点P的坐标（不需计算过程）【答案】(1)A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）；(2)78(3)P点坐标为（78【分析】（1）令y＝0求出x的值，再令x＝0求出y的值即可求出A、B两点的坐标；（2）OC＝x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；（3）设P点坐标为（x，0），则PA2=x−42，PB2=x2+32【详解】（1）解：令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．（2）解：∵点B的坐标为（0，3）．∴OB=3，设OC＝x，则AC＝CB＝4﹣x，∵∠BOA＝90°，∴OB2+OC2＝CB2，32+x2＝（4﹣x）2，解得x＝78∴OC＝78（3）解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设P点坐标为（x，0），则PA2=当PA＝PB时，(x−4)2解得x＝78当PA＝AB时，(x−4)2=5，解得x＝9或当PB＝AB时，x2+9=5，解得x∴P点坐标为（78【点睛】此题是一次函数的综合题，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解．3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A−3,0，与y轴交于点B，且与正比例函数y=43(1)求一次函数y=kx+b的解析式；(2)若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．【答案】(1)y=(2)(−2,5)或(−5,3)【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）分两种情况，过D作DE⊥x（y）轴于E，求出DE和OE即可得D坐标．【详解】（1）∵点C(m,4)在直线y=4∴4=4解得m＝3；∵点A(−3,0)与C(3,4)在直线y＝kx＋b上，∴−3k+b=03k+b=4解得k=2∴一次函数的解析式为y=2（2）①∠DAB=90°，过D作DE⊥x轴于E，如图：由y=23x+2可得B∴OB=2，∵A（3，0），∴OA=3，∴AB=O∵△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，∴AD=AB，∠ADE=90°∠DAE=∠OAB，而∠DEA=∠AOB=90°，∴△ADE≌△BAO（AAS），∴AE=OB=2，DE=OA=3，∴OE=OA+AE=5，∴D（5，3），②∠ABD=90°，过D作DE⊥y轴于E，如图：同①可得：BE=OA=3，DE=OB=2，∴OE=5，∴D（2，5），综上所述，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，D坐标为（5，3）或（2，5）【点睛】本题考查了一次函数、等腰三角形、等腰直角三角形等综合知识，解题的关键是分类讨论．4．（2022·江苏·八年级专题练习）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝－2x＋2的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．【答案】（1）见详解；（2）C5,2【分析】（1）证明△ABE≌△ECD（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，则可得出结论；（2）过点C作CH⊥x轴于点H，证明△AOB≌△CHA，从而得到AH、CH，则可得到点C的坐标；（3）过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，由一次函数解析式求出OA＝2，OB＝1，证明△AOB≌△BFE（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，求出E点坐标，求出直线AC的解析式，则可得出答案．【详解】证明：在△ABE和△ECD中，∵AB=EC∴△ABE≌△ECDSAS∴AE=DE，∠AEB=∠EDC∵∠C=90°∴∠EDC+∠DEC=90°∴∠AEB+∠DEC=90°∴∠AED=90°∴△AED是等腰直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图2，则∠AHC＝90°．∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB＝180°−90°−∠HAC＝90°−∠HAC＝∠HCA．在△AOB和△CHA中，∵∠AOB＝∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AO＝CH，OB＝HA，∵A（2，0），B（0，3），∴AO＝2，OB＝3，∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，∴OH＝OA＋AH＝5，∴点C的坐标为（5，2）；（3）解：如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，把x＝0代入y＝−2x＋2中，得y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，把y＝0代入y＝−2x＋2，得−2x＋2＝0，解得x＝1，∴点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，∵AO⊥OB，EF⊥BD，∴∠AOB＝∠BFE＝90°，∵AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∠ABO＋∠EBF＝90°，又∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠EBF，在△AOB和△BFE中，∠OAB＝∴△AOB≌△BFE（AAS），∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，∴OF＝3，∴点E的坐标为（3，1），设直线AC的解析式为y＝kx＋b，由题意可得：3k+b=1b=2解得：k=−1∴直线AC的解析式为y＝−13令y＝0，解得x＝6，∴D（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．（2022·江苏· 二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=−33x+43分别与x轴、y轴交于点A点和B点，过O点作OD⊥AB于D点，以OD为边构造等边△(1)求A、B点的坐标，以及OD的长；(2)将等边△EDF，从图1的位置沿x轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t（s），同时点P从E出发，以每秒2个单位的速度沿着折线EDDF运动（如图2所示），当P点到F点停止，△DEF也随之停止．①t=（s）时，直线l恰好经过等边△EDF其中一条边的中点；②当点P在线段DE上运动，若DM=2PM，求t的值；③当点P在线段DF上运动时，若△PMN的面积为3，求出t的值．【答案】(1)A（12，0）；B（0，43）；OD(2)①3或6；②t=2411s或83【分析】（1）把x=0，y=0分别代入y=−33x+43，即可求出点A、B的坐标，求出（2）①当直线l分别过DE、DF、EF的中点，分三种情况进行讨论，得出t的值，并注意点P运动的最长时间；②分点P在直线l的下方和直线l上方两种情况进行讨论，求出t的值即可；③分点P在DN之间和点P在NF之间两种情况进行讨论，求出t的值即可．(1)解：把x=0代入y=−33x+4∴点B的坐标为0,43把y=0代入y=−33x+43得：∴点A的坐标为12,0，∵tan∴∠BAO=30°，∵OD⊥AB，∴∠ODA=90°，∴ΔODA∴OD=1(2)①当直线l过DF的中点G时，如图所示：∵△DEF为等边三角形，∴∠DFD=60°，∵∠BAO=30°，∴∠FGA=60°−30°=30°，∴∠FGA=∠BAO，∴FA=FG=1∴OF=OA−FA=9，∴OE=OF−EF=9−6=3，∴t=3当l过DE的中点时，如图所示：∵DE⊥l，DG=EG，∴直线l为DE的垂直平分线，∵△DEF为等边三角形，∴此时点F与点A重合，∴t=12−6当直线l过EF的中点时，运动时间为t=12−3∵点P从运动到停止用的时间为：6+62∴此时不符合题意；综上分析可知，当t=3s或6s时，直线l恰好经过等边△EDF其中一条边的中点；②∵OE=t，AE=12t，∠BAO=30°，∴ME=6t2∴DM=DEEM=t2∵EP=2t，∴PD=62t，当P在直线l的下方时，∵DM=2∴t2解得：t=24当P在直线l的上方时，∵DM=2DP，∴t2=26−2t，解得：t综上分析可知，t的值为2411s或8③当P在DN之间时，如图所示：∵∠D=60°，∠DMN=90°，DM=t2∴∠DNM=90°−60°=30°，∴MN=DM×tan60°=3∵DP=6t，∴PN=DN−DP=t−6−t∵∠DNM=30°，∴边MN的高ℎ=1∵△PMN的面积为3，∴12解得：t=4或t=−1（舍去）；当点P在NF之间时，如图所示：∵∠D=60°，∠DMN=90°，DM=t2∴∠DNM=90°−60°=30°，∴MN=DM×tan60°=3∵DP=6t，∴PN=DP−DN=6−t−t=6−2t，∵∠DNM=30°，∴∠FNA=∠DNM=30°，∴边MN的高ℎ=1∵△PMN的面积为3，∴12整理得：t2∵Δ=∴此方程无实数解，∴P在NF间不成立；综上分析可知，t的值为4s．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．6．（2022·江苏·八年级专题练习）将直线y=−12x+2先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，所得新的直线l与x轴、y轴分别交于A、B(1)求l的解析式；(2)求点A和点B的坐标；(3)求直线y=x+1与直线l以及y轴所围成的三角形的面积．【答案】(1)y=−(2)A(7,0)，B(0,(3)25【分析】（1）利用平移规则：左加右减，上加下减，进行计算即可；（2）分别令y=0，x=0，求出坐标即可；（3）如图，将y=−12x+72和y=x+1【详解】（1）直线y=−12x+2化简得：y=−1（2）当y=0时，0=−12x+72当x=0时，y=72，（3）解：如图，D为两直线的交点，则：y=x+1y=−解得：x=5∴D5当x=0时，y=x+1=1，即y=x+1与y的交点坐标为C0,1∴S△BCD【点睛】本题考查一次函数的平移以及一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数的平移规则，求出函数解析式是解题的关键．7．（2022·江苏·八年级专题练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．(1)求证：△BEC≌(2)模型应用：①已知直线l1：y＝﹣43x﹣4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45°至l②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝−2x+6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．【答案】(1)见解析(2)①y＝﹣17x﹣4；②（4，﹣2）或（283，﹣383）或（20【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线l2的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为（x，−2x+6），利用三角形全等得到x+6+(−2x+6)=8，得D点坐标；如图4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，-m），表示出D点坐标为（14-m，-m-8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，∠D=∠E∠ACD=∠EBC∴△ACD≌△EBC（AAS）；（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝43x∴A（0，-4），B（-3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（-7，-3）设l2的解析式为y＝kx+b（k∴−3=−7k+b∴k=−1∴l2的解析式：y=−②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，∵∠APE=90°−∠FPD=∠FDP，∠AEP=∠PFD=90°∴△AEP≌△PFD，∴AE=PF,EP=FD∵点D在第四象限，且是直线y＝−2x+6上的一点，∴设D点坐标为（x，-2x+6），∵B的坐标为（8，﹣6），∴ED=x,DF=AE=∴ED+DF=8，即x+6+(−2x+6)=8解得x=4，∴D点坐标（4，-2）；如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得△AEP≌△PFD，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设点P的坐标为（8，-m），则D点坐标为（14-m，-m-8），由-m-8＝-2（14-m）+6，得m＝143∴D点坐标（283，-38如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（203，-22综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，-2）或（283，-383）或（203，-【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y=−x+4分别交x轴，y轴于点C，A，点B在x轴的负半轴上，且OB=12OC(1)求直线AB的解析式；(2)点P在线段AB上，过点P作PQ∥x轴交AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在（2）的条件下，在直线AB的右侧以线段AP为斜边作等腰直角△ADP，连接OD，PC，点E在线段PC上，且点E在直线OD的右侧，若∠ODE=45°，且CE=52d【答案】(1)直线AB的解析式为y=2x+4(2)d与t之间的函数关系式为d=−3t(3)D【分析】（1）先由直线AC的解析式求出A、C两点的坐标，根据OB=12OC，求出B（2）过点P作PM⊥x轴于M，过点Q作QN⊥x轴于N，令PQ与y轴的交点为R.由点P在直线AB：y=2x+4上，点P的横坐标为t，得出Pt,2t+4.根据PQ∥x轴，Q在直线AC上，得到Q−2t,2t+4，进而得出线段PQ的长d（3）过点O作OH⊥OD交DE延长线于H，连接CH，过点P作GK⊥x轴于K，过点D作DG⊥KP交KP的延长线于G，交y轴于F.先根据SAS证明△AOD≌△COH，得出AD=CH，∠ADO=∠CHO，再根据AAS证明△PDE≌△CHE，得出PE=CE，那么PC=2CE=2×52d=5d=−35t.然后在Rt△PKC中，利用勾股定理得出PK2+KC2=PC2，即(2t+4)2+(4−t)2=(−35t)2，求出t，得到P−【详解】（1）解：∵y=−x+4，∴当x=0时，y=4，∴A0,4当y=0时，0=−x+4，解得x=4，∴C4,0∴OB=1∴B−2,0设直线AB的解析式为y=kx+b，则b=4−2k+b=0解得k=2b=4∴直线AB的解析式为y=2x+4．（2）解：过点P作PM⊥x轴于M，过点Q作QN⊥x轴于N，令PQ与y轴的交点为R．∵点P在直线AB：y=2x+4上，点P的横坐标为t，∴Pt,2t+4∵PQ∥x轴，∴∠PQN=∠QNC=90°，∴PQ⊥y轴，∴OR=2t+4，∴点Q的纵坐标为2t+4．∵直线AC的解析式为y=−x+4，∴当y=2t+4时，2t+4=−x+4，解得x=−2t，∴Q−2t,2t+4∵∠PMO=∠MNQ=∠PQN=90°，∴四边形PMNQ是矩形，∴PQ=MN=OM+ON=−t−2t=−3t，即d与t之间的函数关系式为d=−3t．（3）解：过点O作OH⊥OD交DE延长线于H，连接CH，过点P作GK⊥x轴于K，过点D作DG⊥KP交KP的延长线于G，交y轴于F．∴∠DOH=∠AOC=90°，∴∠AOC−∠DOC=∠DOH−∠DOC，即∠AOD=∠COH．∵∠ODE=45°，∴∠OHD=∠ODH=45°，∴OD=OH，又∵OA=OC，∴△AOD≌△COH（SAS），∴AD=CH，∠ADO=∠CHO，又∵AD=DP，∴CH=DP．设∠PDO=α，∴∠CHO=∠ADO=90°+α，∴∠PDE=45°+α=∠CHE，又∵∠PED=∠CEH，∴△PDE≌△CHE（AAS），∴PE=CE，CE=52d∴PC=2CE=2×∵Pt,2t+4∴PK=2t+4，CK=4−t．在Rt△PKC中，PK∴(2t+4)解得t1=−45，∴P设点D的横坐标为n．∵∠AFD=∠DGP=∠ADP=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，∠ADF+∠GDP=90°，∴∠FAD=∠GDP，又∵AD=DP，∴△AFD≌△DGP（AAS），∴PG=DF=n，AF=DG=n+4∵四边形GKOF为矩形，∴OF=GK=PG+PK=n+12∵AF+OF=OA，∴n+4∴n=2∴D【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形、矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键．9．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期末）如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．(1)请直接写出点C的坐标；(2)如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；(3)如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（8，6）(2)CF＝3(3)存在，y＝3x+26【分析】（1）根据矩形性质和坐标与图形性质可求解；（2）由折叠性质得CF=C′F，AC=AC′，∠C=∠A（3）分两种情况：点P在BC上方和点P在BC下方两种情况，利用全等三角形的判定与性质求得PF=BE，EP=DF即可求解．（1）解：∵四边形OACB是矩形，OA＝8，OB＝6，∴AC=OB=6，BC=OA=8，∠OAC=90°，∴点C坐标为（8，6）；（2）解：由折叠性质得：CF=C′F，AC=A∵OA＝8，OB＝6，∠AOB=90°，∴AB=OA2+OB在Rt△BC′F中，BF=8CF解得：CF=3；（3）解：存在，设P（a，2a－4），当点P在BC上方时，如图，过点P作EF∥BC交y轴于E，交DC延长线于F，则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，∵∠BPE+∠EBP=90°，∠BPE+∠DPF=90°，∴∠EBP=∠DPF，又BP=PD，∴△BEP≌△PFD（AAS），∴BE=PF=2a46=2a10，DF=PE=a，∴EF=PE+PF=3a10=8，解得：a=6，∴P（6，8），D（8，2），设直线PD的解析式为y=kx+b，则6k+b=88k+b=2，解得：k=−3∴直线PD的解析式为y=－3x+26；当点P在BC下方时，如图，过点P作EF∥BC交y轴于E，交AC于F，则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，同理可得△BEP≌△PFD（AAS），∴BE=6(2a4)=102a，DF=PE=a，∴EF=PE+PF=10a=8，解得：a=2，∴P（2，0），这与点P在第一象限不符，故舍去，综上，直线PD的解析式为y=3x+26．【点睛】本题考查求一次函数的解析式、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．10．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，一次函数的图象经过点A（4，0）和点D（2，1.5），与y轴交于点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．(1)求一次函数解析式；(2)求DC的长；(3)点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【答案】(1)y=−34(2)DC的长为15(3)P点坐标为（78【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）设点C的坐标为（c，0），可得OC＝c，BC＝AC＝4−c，在Rt△BOC中，用勾股定理列方程求出c的值，再用两点间距离公式求解即可；（3）求出AB＝5，然后分PA＝PB，PA＝AB和PB＝AB三种情形分别求解即可解决问题．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b，∵点A（4，0），D（2，1.5）在一次函数图象上，∴4k+b=02k+b=1.5，解得：k=−∴一次函数的解析式为y=−3（2）由（1）知，一次函数的解析式为y=−3令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，由折叠知，BC＝AC，设点C的坐标为（c，0），∴OC＝c，BC＝AC＝4−c，在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB∴32∴c＝78∴C（78∵D（2，1.5），∴DC＝2−7（3）∵A（4，0），B（0，3），∴AB＝42当PA＝PB时，点P与点C重合，此时P（78当PA＝AB＝5时，∵A（4，0），∴P（−1，0）或（9，0）；当PB＝AB时，可得PO＝AO＝4，∴P（−4，0），综上所述，若△PAB是等腰三角形，P点坐标为（78【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，翻折的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=−12x+5的图像l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图像l2(1)填空：m=___________；正比例函数l2的表达式为___________；△BOC(2)若点M是直线y=−12x+5上一动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC(3)一次函数y=kx+1的图像为l3，且l1,l2,【答案】(1)2，y=2x，5(2)M的坐标为9,(3)32或2或【分析】（1）把m,4代入l1中求得m的值；运用待定系数法即可得到l2的解析式；求出B0,5（2）根据题意得点M坐标，根据△AOM的面积可得x的根，即可求出点M的坐标．（3）不能围成三角形，即l1//l【详解】（1）∵点Cm,4在直线l1上，将其代入l1得：∴点C的坐标为2,4设直线l2的解析式为：将C2,4代入得：4=2a，解得：∴直线l2的解析式y=2x如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4,CE=2，y=－12x+5∴B∴BO=5∴S△BOC故答案是：2，y=2x，5；（2）由题意可得：A（10，0），OA=10，设Mx,−∵S则有：1解得：x1=11，或故M的坐标为9,1（3）∵一次函数y=kx+1的图像为l3，且l∴当l3经过点C(2,4)时，k=当l2、l当l1、l故k的值是32或2或−【点睛】本题考查了一次函数图像及性质，以及三角形面积的求解，熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．12．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，直线y=−13x+2与x轴、y轴分别交于点A(1)求点A、B的坐标；(2)以线段AB为直角边作等腰直角△ABC，点C在第一象限内，∠BAC=90°，求点C的坐标．【答案】(1)A6,0，(2)C【分析】（1）令x=0，令y=0，分别代入y=13x（2）过C作CD⊥x轴于点D，则可证得△AOB≌△CDA（AAS），则可求得CD和AD的长，进而可求得C点坐标．（1）根据题意，直线与x轴、y轴分别交于A、B，令x=0，则y=2；令y=0，则x=6，∴A6,0，B（2）由（1）可知：OA=6，OB=2，如图，过C作CD⊥AO于D，∠ADC=∠BOA=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAD=∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BAO=∠ACD，∴△ABO≌△CADAAS，∴AD=BO=2，CD=AO=6，∴OD=8，∴C【点睛】本题属于一次函数与几何图形的综合，主要考查了一次函数的图象，全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．13．（2022·江苏·八年级专题练习）(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B、C(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．②如图2，在⑵的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+AN的最小值是______．【答案】(1)A（﹣4，0），B（0，1），C（﹣5，4）(2)①D（0，2）或（163,−【分析】（1）利用坐标轴上点的特点可得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；（2）①过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，设点D（m，﹣2m+2），求出AF，证明△AFD≌△DGP，根据DF+DG＝DF+AF＝8列式计算即可；②设M（t，0）过点N作NH⊥x轴交x轴于H，易证△AOM≌△MHN，可得ON+AN＝t+62+t2+t+62+t−62＝S，故S可以看作点（t，t）到（﹣6，0）和（﹣6，6）两点距离之和，（t，t）在y＝x上，如图，F（﹣6，0），E（﹣6，6），作F关于y＝x的对称点为P，可知当E、【详解】（1）解：对于一次函数y＝14x令x＝0，y＝1，∴B（0，1），令y＝0，则14x∴x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∴OA＝4，OB＝1，即A（﹣4，0），B（0，1），过点C作CD⊥x轴于D，∴∠ADC＝∠BOA＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAO＝90°，∴∠ACD＝∠BAO，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，在△ADC和△BOA中，∠ADC=∠BOA∠ACD=∠BAO∴△ADC≌△BOA（AAS），∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝1，∴OD＝OA+AD＝5，∴C（﹣5，4）；故答案为：（﹣4，0），（0，1），（﹣5，4）；（2）解：①如图，过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，∵点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），∴DF+DG＝OB＝8，∵点D在直线y＝﹣2x+2上，∴设点D（m，﹣2m+2），∴F（0，﹣2m+2），OF＝|2m﹣2|，AF＝|2m﹣2﹣6|＝|2m﹣8|，∵BP⊥x轴，B（8，0），∴G（8，﹣2m+2），同（1）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），∴AF＝DG，DF＝PG，∵DF+DG＝DF+AF＝8，∴m+|2m﹣8|＝8，∴m＝163或m∴D（0，2）或（163，−（3）设M（t，0），过点N作NH⊥x轴交x轴于H，根据旋转的性质易证△AOM≌△MHN，∴OM＝HN，OA＝HM，∴N（t+6，t），∴ON+AN＝t+62+t故S可以看作点（t，t）到（﹣6，0）和（﹣6，6）两点距离之和，（t，t）在y＝x上，如图，∵D（t，t）是y＝x上的动点，F（﹣6，0），E（﹣6，6），∴S＝DE+DF，∵F关于y＝x的对称点为P（0，﹣6），DF＝DP，∴当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP＝−6−02即ON+AN的最小值是65故答案为：65【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，方程的思想，勾股定理等，构造全等三角形是解本题的关键．14．（2022·江苏·八年级专题练习）【探索发现】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，若点C在直线DE上，且AD⊥DE，BE⊥DE，则△BEC≅△CDA．我们称这种全等模型为“k型全等”．

【迁移应用】设直线y=kx+3(k≠0)与x轴，y轴分别交于A，B两点．(1)若k=−32，且△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点①直接填写：OA=______，OB=______；②求点E的坐标．(2)如图3，若k>0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN=AB，连接ON．当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由．【拓展应用】(3)如图4，若k=−2，点C的坐标为(3,0)．设点P，Q分别是直线y=−2和直线AB上的动点，当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．【答案】(1)①2，3；②E(3,5)(2)是，理由见解析(3)点Q的坐标为(4,−5)或(【分析】（1）①若k＝−32，则直线y＝−32x+3与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（②作ED⊥OB于D，则△BED≌△ABO．由全等三角形的性质得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；（2）过点N作NM⊥OB于M，则△BMN≌△AOB．由全等三角形的性质得MN＝OB＝3，根据三角形的面积公式即可求解；（3）过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，证明△PCS≌△QPT．分两种情况，由全等三角形的性质得QT＝PS，PT＝SC，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3求得n的值，即可求解．【详解】（1）解：①若k＝−32，则直线y＝kx+3（k≠0）为直线y＝−3当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x，2，∴A（2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，故答案为：2，3；②作ED⊥OB于D，∴∠BDE＝∠AOB＝90°，∵∠ABO+∠EBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，∴∠BAO＝∠EBD，又∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴△BED≌△ABO（AAS），∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝OB+BD＝5，∴点E的坐标为（3，5）；（2）解：当k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝92过点N作NM⊥OB于M，∴△BMN≌△AOB（AAS）．∴MN＝OB＝3，∴S△OBN＝12OB•MN＝12×3×3＝∴k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝92（3）解：n＜3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，∴△PCS≌△QPT（AAS）．∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝3﹣n，∴ST＝5﹣n，∴点Q的坐标为（2+n，n﹣5），∵k＝﹣2，∴直线y＝﹣2x+3，将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，n﹣5＝﹣2（2+n）+3，解得：n＝43∴点Q的坐标为（103，−n＞3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，∴△PCS≌△QPT（AAS）．∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝n﹣3，∴ST＝n﹣1，∴点Q的坐标为（n﹣2，1﹣n），∵k＝﹣2，∴直线y＝﹣2x+3，将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，1﹣n＝﹣2（n﹣2）+3，解得：n＝6，∴点Q的坐标为（4，﹣5）．综上，点Q的坐标为（103，−【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题是关键．15．（2022·江苏泰州·八年级期末）(1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰RtΔACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（2，3）处．则：①OA的长为；②点B的坐标为．(2)感悟应用：如图2，在平面直角坐标系xOy中，将等腰RtΔACB如图放置，直角顶点C（2，0），点A（0，5），试求直线AB的函数表达式．(3)拓展研究：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点B（5，4），过点B作BA⊥y轴，垂足为点A，作BC⊥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝3x10上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰RtΔAPQ，若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)①13，②（﹣3，2）(2)直线AB的函数表达式y=37(3)存在，P的坐标为：（5，1）或（5，3）．【分析】（1）由A（2，3）可得，OF＝2，AF＝3，OA=13，由“AAS”可证△BEO≌△OFA，BE＝OF＝2，OE＝AF＝3（2）同（1）可证△BHC≌△COA，可得HC＝OA＝5，BH＝CO＝2，可得点B（﹣7，2）．利用待定系数法可求一次函数解析式；（3）分两种情况讨论①当点Q在x轴下方时，②当点Q在x轴上方时．根据等腰Rt△APQ构建一线三直角，从而求解．(1)解：如图1，作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，∴∠BEO＝∠AFO＝∠AOB＝90°，∴∠AOF+∠BOE＝90°＝∠AOF+∠FAO，∴∠BOE＝∠FAO，∵A（2，3），∴OF＝2，AF＝3，OA=OF∵∠BEO＝∠AFO，AO＝OB，∠BOE＝∠FAO，∴△BEO≌△OFA（AAS），∴BE＝OF＝2，OE＝AF＝3，∴B（﹣3，2）．故答案为：13，（﹣3，2）；(2)如图2，过点B作BH⊥x轴于点H，∴∠BHO＝∠AOC＝90°＝∠ACB，∴∠ACO+∠CAO＝90°＝∠ACO+∠BCH，∴∠CAO＝∠BCH，又∵∠AOC＝∠BHC＝90°，AC＝CB，∴△BHC≌△COA（AAS），∴HC＝OA＝5，BH＝CO＝2，OH＝HC+CO＝5+2＝7，∴B（﹣7，2），设直线AB的表达式为y＝kx+b，b=5−7k+b=2解得k=3∴直线AB的函数表达式y=37x(3)如图3，设Q（t，3t﹣10），分两种情况：①当点Q在x轴下方时，Q1M∥x轴，与BP的延长线交于点Q1．∵∠AP1Q1＝90°，∴∠AP1B+∠Q1P1M＝90°，∵∠AP1B+∠BAP1＝90°，∴∠BAP1＝Q1P1M，在△AP1B与△P1Q1M中，∠Q1∴△AP1B≌△P1Q1M（AAS），∴BP1＝Q1M，P1M＝AB＝5，∵B（5，4），Q（t，3t﹣10），∴MQ1＝5﹣t，BP1＝BM﹣P1M＝[4﹣（3t﹣10）]﹣5＝﹣3t+9，∴5﹣t＝﹣3t+9，解得t＝2，∴BP1＝﹣3t+9＝3，∴P1（5，1）；②当点Q在x轴上方时，Q2N∥x轴，与PB的延长线交于点Q2．同理可证△ABP2≌△P2NQ2．∴BP2＝NQ2，NP2＝AB＝5，∵B（5，4），Q（t，3t﹣10），∴NQ2＝t﹣5，BP2＝P2N﹣NB＝5﹣（3t﹣10﹣4）＝19﹣3t，∴t﹣5＝19﹣3t，解得t＝6，即BP2＝1，∴P2的坐标为（5，3）．综上，P的坐标为：（5，1）或（5，3）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等判定是解题的关键．16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图①，已知直线y=−2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、(1)求点A、(2)将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕B'D'交AC于点B'，交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；(3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(2,0)(2)y=−(3)存在，P【分析】（1）对于直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后根据待定系数法求出直线CD的解析式即可；；（3）分三种情况，根据翻折的性质以及勾股定理、等面积法，即可求得符合题意的点P的坐标．【详解】（1）对于直线y=2x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2∴A（2，0），C（0，4），故答案是：（2，0），（0，4）；（2）∵四边形OABC是矩形，∴AO//BC，且BC=AO=2；AB//OC，且AB=OC=4，∵则B（2，4）．由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4x，根据题意得：（4x）2+22=x2，解得，x=5此时，AD=5∴D（2，52设直线CD为y=kx+b，把D（2，52），C2k+b=5解得，k=−∴直线CD解析式为y=−（3）情形1：如图①，由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，AB=CP，AP=BC=2则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，在Rt△ADP中，AD=52，PD=BD=452=由12×AD×PQ=12∴PQ=65∴xP=2+65=16把x=165代入y=34x+4，得y=此时P（165，8情形2：∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC，∠AOC=∠B=90°∴△AOC≌△CBA当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）．情形3：如图②，由△APC≌△CBA得PC=BC=2,AP=AB=4,∠APC=∠ABC=过点P作PG⊥OC于点G，AP与OC交于点H，设PH=x,则AH=4−x,在RtΔPCH∵CO=4,∴OH=CO−CH=4−在RtΔAOH∴(4−解得，x=经检验，x=3∴CH=∴OH=4−设GH=y,则CG=在RtΔPGH在RtΔPGC∴9解得，y=910∴OG=GH+OH=∴PG=∴P综上，点P的坐标为P【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解题的关键．17．（2022·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x−b与y=kx+4的交点为点A3,1(1)求k，b的值；(2)已知点Pn,n，经过P作平行于x轴的直线，交直线y=x−b于点M，过P点作平行于y轴的直线，交直线y=kx+4于点N①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【答案】(1)b=2，k=−1．(2)①PM=PN；②n≥3【分析】（1）利用待定系数法即可求得相应值；（2）①代入后分别求得PM和PN的长度，比较即可；②结合Pn,n的坐标特点可知P点在直线y=x上运动，PM恒等于2，由此即可得出n（1）解：∵直线y=x−b与y=kx+4的交点为点A3,1，∴1=3−b，1=3k+4，解得b=2，k=−1（2）①如下图所示，当n=1时，P（1,1）,1=x−2，解得x=3，M（3,1），y=−x+4=−1+4=3，N(1，3)，∴PM=3−1=2，PN=3−1=2，∴当n=1时，PM=PN，②如下图所示，可知P点在直线y=x上运动，∴PM恒等于2，PN=|−n+4−n|=|2n−4|，当PN≥PM，2n【点睛】本题考查求一次函数的解析式，一次函数的应用等．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中能得出PM的长度恒不变是解题关键．18．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别交于点A10，0，B0，5．点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接(1)求一次函数的解析式：(2)求△OAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)当△OAF的面积S=1①判断此时线段OF与AB的数量关系并说明理由；②第一象限内是否存在一点P，使△PAF是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)S=−(3)①OF=12AB，理由见解析；②存在，点P的坐标为15【分析】（1）将点A，B的坐标代入一次函数解析式求出k，b的值即可；（2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；（3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得OF与AB的长，从而求解；②根据全等三角形的判定和性质求解．【详解】（1）解：将点A10，0，点B10k+b=0b=5，解得：k=−∴一次函数的解析式为y=−1（2）解：∵点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），设点F的横坐标为x，过点F作FE⊥x轴，∴F点坐标为x,−1∴△OAF的面积：S=1∴△OAF的面积S与x之间的函数关系式为S=−5（3）解：①OF=1当△OAF的面积S=1−5解得：x=5，∴F点坐标为5,5∵FE⊥x轴，∴在Rt△OEF中，OF=∵在Rt△AOB中，AB=∴OF=1②存在，点P的坐标为152,15详解如下：过点F作NG⊥x轴，过点P1作P1N⊥NE，过点P情况一：∵△AFP∴AF=P1∴∠NF∴∠N在△FNP1和∠P∴△FNP∴P1N=EF=5∴NE=EF+NF=15∴P15+5情况二：∵△AFP∴AF=AP2，∴∠P∴∠P在△P2MA∠AMP∴△P∴AM=EF=52，∴OM=OA+AM=25∴P2综上所述，点P的坐标为152,15【点睛】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．19．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两个顶点坐标为A(3,0)，B(3,2)．(1)求对角线AC所在直线对应的函数解析式；(2)若点P在x轴上，且S△CAP=2【答案】(1)y=−(2)y=−2x+2或y=−【分析】（1）确定C点的坐标，可以根据待定系数法求函数解析式．（2）确定P的坐标，可以根据待定系数法求函数解析式．（1）解：设直线l对应的函数解析式为y=kx+b，依题意A(3,0)，B(3,2)，得C(0,2)，由A(3,0)，C(0,2)在直线l上，得{3k+b=0解得{k=−故直线l对应的函数解析式为y=−2（2）解：∵S∴AP=2∵A(4,0)，∴P(1,0)或(5,0)设直线CP的解析式为y=mx+2，把P的坐标代入得，0=m+2或0=5m+2解得m=−2或m=−2∴直线CP所对应的函数解析式为y=−2x+2或y=−2【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．20．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，一次函数y1=13x+1的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．设直线BC的解析式为(1)求A，B两点的坐标，并直接写出y2(2)若射线BC上存在一点P，使得四边形AOBP的面积为4，求点P的坐标．(3)若点M为x轴上的动点，点N为直线BC上的动点，直接写出CM+MN的最小值．【答案】(1)A−3,0，B0,1(2)（2，2）(3)12【分析】（1）分别将x=0，y=0代入y1=13x+1（2）连接AP，过点P作PE⊥AD于点E，四边形AOBP的面积为S△APD−S△OBD=4（3）作点C关于x轴的对称点C'，过点C'作C'N⊥CB于点N，交x轴于点M，连接C'D，根据勾股定理C'C2−CN2【详解】（1）解：将y=0代入y1=1将x=0代入y1=1∴A−3,0，B如图1，过点C作CE⊥x轴于点E∵△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC，∠BAC=90°∵∠CAE+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°∴∠CAE=∠ABO∵AB=AC，∠CAE=∠ABO，∠CEA=∠A0B∴△CEA≌△A0B∴AE=BO=1，CE=A0=3则C（4，3）把C（4，3），B0,1代入y−4k+b=3b=1解得k=−1∴y2（2）解：连接AP，过点P作PE⊥AD于点E，如图2，令y2=0，∴x=2，∴D2,0∵四边形AOBP的面积为4，∴S△APD设点Pm,−∴PE=−1∴12∴m=−2，−1∴点P的坐标为（2，2）．（3）解：如图3，作点C关于x轴的对称点C'，过点C'作C'N⊥CB于点N，交x轴于点M．,∵C（4，3）∴C'（4，3）∴CC'=6当y=0时，0=−12x+1，解得xCD=(2+4)2设CN=x，则DN=3连接C'D，则C'D=CD=3∵C'6解得：x=∴C'N=∵CM+MN=C'M+MN=C'N∴CM+MN最小是12【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质与直角三角形相结合，熟练的掌握一次函数的图像和性质，能够用待定系数法求解函数表达式，根据函数表达式设出未知点，以及会用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．21．（2022·江苏南通·八年级期末）定义：在平面直角坐标系中，点Mx1,y1,Nx2,y2，若x1−在平面直角坐标系xOy中，A1,2,Bm,n，A(1)当m=−1时，求n的值；(2)若点B在直线y=kx上，且A，B两点的正等距等于3，求k的值；(3)若S△AOB=3，求点【答案】(1)0(2)12或(3)7,8或−5,−4【分析】（1）根据互为正等距点的定义，可得1−m=2−n，即m−n=−1，把m=−1代入即可求得n的值；（2）由正等距的定义可得出与A(1,2)的正等距等于3的点为(4,5)或(−2,−1)，分别代入直线解析式即可得出结论；（3）由（1）可知n=m+1，即可得出A(1,2)，B(m,n)在直线y=x+1上，利用三角形面积公式得到12×1×|m−1|=3，解得m=7或m=−5，即可求得点B的坐标为(7,8)或（1）解：当m=−1时，B−1，n，∵A，B互为正等距点，∴（2）将Bm，n代入y=kx得，n=km，∴Bm，km∴1−m=3当1−m=3时，m=−2，则2+2k=3，解得：k=12；当m−1=3时，m=4，则4k−2=3（3）由（1）可知n=m+1，∴A(1,2)，B(m,n)在直线y=x+1上，设直线y=x+1与y轴的交点为C，则C(0,1)，如图，∵SΔAOB=3，∴SΔAOC+SΔBOC=12×1×|m−1|=3，【点睛】本题属于新定义类问题，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象和性质，坐标与图形性质，理解互为正等距点的定义是解题的关键．22．（2022·江苏扬州·八年级期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（5，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标；（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点C是x轴上的动点，线段CA绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是．【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）（1，3），（4，4），（3，2）；（3）5【分析】（1）证明△ABE≌△ECD（SAS），即可求解；（2）分三种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝BA；当∠ABC＝90°，AB＝BC时；当∠ACB＝90°，AC＝BC时；分别构造三角形全等，由（1）的结论求解即可；（3）在x轴上取D（1，0），在y轴上截取AE＝CD，连接EC，BD，通过证明△AEC≌△CDB（SAS），确定B点在直线y＝x﹣1上运动，作A点关于直线BD的对称点A'，连接A'G，A'O，A'B，当O、B、A'三点共线时，AB+OB有最小值，求出A'（2，﹣1），在求出OA'=5【详解】解：（1）△AED是等腰直角三角形，理由如下：在△ABE和△ECD中，AB=EC∠B=∠C∴△ABE≌△ECD（SAS），∴∠AEB＝∠EDC，∠BAE＝∠DEC，∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠AED＝90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）①如图1，当∠CAB＝90°时，AC＝BA，过点B作BH⊥x轴交于H点，过点C作GC⊥x轴交于点G，由（1）可得△ACG≌△BAH（AAS），∴CG＝AH，AG＝BH，∵A（2，0），点B（5，1），∴BH＝AG＝1，AH＝3，∴C（1，3）；②如图2，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，过点B作LK⊥x轴交x轴于点L，过点C作CK⊥LK交于点K，由（1）可得△ABL≌△BCK（AAS），∴AL＝BK，BL＝CK，∵点A（2，0），点B（5，1），∴BL＝CK＝1，AL＝BK＝3，∴C（4，4）；

③如图3，当∠ACB＝90°，AC＝BC时，过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥x轴交EF于点E，过点B作BF⊥x轴交EF于点F，由（1）可得△EAC≌△FCB（AAS），∴EC＝BF，AE＝CF，∵点A（2，0），点B（5，1），∴EF＝3，CE＝BF，AE＝CF，设C（x，y），∴BF＝y﹣1，AE＝y，∴y﹣1+y＝3，∴y＝2，∴AE＝2，EC＝1，∴C（3，2）；综上所述：C点坐标为（4，4）或（1，3）或C（3，2）；（3）如图4，在x轴上取D（1，0），在y轴上截取AE＝CD，连接EC，BD，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝90°+∠OCA，∵∠EAC＝90°+∠OCA，∴∠DCB＝∠EAC，∵EA＝CD，AC＝BC，∴△AEC≌△CDB（SAS），∴∠ECA＝∠DBC，∵∠ECA+∠ECB＝90°，∴∠DBC+∠ECB＝90°，∴BD⊥EC，∵OC＝OE，∴∠ECO＝∠BDC＝45°，∴∠ODG＝45°，∴G（0，﹣1），设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴k+b=0b=−1∴k=1b=−1∴y＝x﹣1，∴B点在直线y＝x﹣1上运动，作A点关于直线BD的对称点A'，连接A'G，A'O，A'B，∴OB＝BA'，∴AB+OB＝AB+BA'≥OA'，∴当O、B、A'三点共线时，AB+OB有最小值，∵GD垂直平分AA'，GA＝GA'，AD＝GD，∴A'G⊥AG，∴A'（2，﹣1），∴OA'=5∴AB+OB的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．23．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，直线y=kx+4分别与x，y轴交于点A，B，与直线y=12x(1)n=________，k=________；(2)若P为线段BC上一点，且SΔPOC=(3)将直线y=kx+4位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，直线的其他部分保持不变，组成一个“V”形图象，Q是“V”形图象上一点，若ΔQOC的面积为m（m为常数且m>0），试结合m的取值范围确定Q点的个【答案】(1)n=1，k=−3(2)P(5(3)当0<m<43时，满足条件的点Q有4个；当m=43时，满足条件的点Q有3个，当【分析】（1）把点C(2,n)代入解析式y=12x中，可直接求出n的值；再把点C的坐标代入y=kx+4（2）先根据解析式y=−32x+4可求出点A和点B的值，进而可求出ΔAOC的面积，则可求出ΔPOC（3）根据题意先画出图形，可知需要分三种情况，当0<m<43，m>4（1）解：把点C(2,n)代入解析式y=12x∴C(2,1)，把点C的坐标代入y=kx+4中，则1=2k+4，解得k=−3故答案为：1，−3（2）解：设P(x，∵直线y=−32x+4分别与x，y轴交于点A当y=0时，−3解得：x=8∴A(∵C(2，∴S∵S∴S∴S∴y=3∴−3解得x=5∴P(5（3）：解：函数y=|−3当点Q和点A重合时，SΔ即m=4由图可知，当m=43时，满足条件的点当m>4当0<m<2时，满足条件的点有4个，故当0<m<43时，满足条件的点Q有4个；当m=43时，满足条件的点Q有3个，当【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，还包括数形结合思想等内容，解题的关键是运用数形结合及分类讨论的思想求解．24．（2022·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得∠MTN=90°，且MT=NT，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（−1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（−1，0）为1宝点．(1)如图①，在点A（2，0），B（2，−2），C（0，1），D（−2，0）中，2宝点是点________；（填“A”“B”“C”或“D”）(2)如图②，若一次函数y=3x−2的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标；(3)若一次函y=kx+b（k≠0）的图象上存在无数个3宝点，求该一次函数的解析式．【答案】(1)D(2)这个2宝点的坐标为（2，4）或（0，−2）(3)y=x+3或y=−x−3【分析】（1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知2宝点是点D；（2）设２宝点为点A′；①当A′在x轴上方时，过A′作A′F⊥y轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF＝AO＝2，A′F=OE，设OE＝A′F＝m，则OF＝OE＋EF＝m＋2，则A′（m，m＋2），将A′（m，m＋2）代入y＝3x−2可得A′2,4；②当A′在（3）设直线y＝x＋3上任意一点E′（t，t＋3），连接EE′，作EE′的垂直平分线交y轴于R，交EE′于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，可得RE＝RE′，PE＝PE′，Pt+32，t+32，从而可得△PRN≌△PAM（ASA），PR＝PE＝PE′，即知∠ERE【详解】（1）解：取点T（0，2），连接DT，AT，如图：∵D（−2，0），A（2，0），T（0，2），∴OT＝OD＝OA＝2，∴AT=22+22∴AT2+D∴△ADT是等腰直角三角形，∴D是2宝点，∵A点在x轴上且在（2，0）处，∴A点不可能为2宝点，∵在y轴上不能找出一点与B和（2，0）构成一个顶点在y轴上的等腰直角三角形，∴B点不可能为2宝点，∵点C的坐标为（0，1），在y轴上不能找出一点与C和（2，0）构成一个顶点在y轴上的等腰直角三角形，∴C点不可能为2宝点，∴在点A（2，0），B（2，−2），C（0，1），D（−2，0）中，2宝点是点D．故答案为：D．（2）设２宝点为点A′①当A′在x轴上方时，过A′作A′F⊥y∵A′∴∠A′EA＝90°，A′E＝∴∠A′EF＝90°−∠AEO＝∠EAO∵∠A′FE＝∠EOA∴△A′FE≌△EOA∴EF＝AO＝2，A′F＝OE设OE＝A′F＝m，则OF＝OE＋EF＝m∴A′（m，m将A′（m，m＋2）代入y＝3xm＋2＝3m−2，解得m＝2，∴A′②当A′在x轴下方时，过A′作A′H⊥y同①可证明△AOG≌△GHA′∴A′H＝OG，GH＝OA设A′H＝OG＝n，则OH＝GH−OG＝2−n∴A′（−n，n将A′（−n，n−2）代入y＝3xn−2＝−3n−2，解得n＝0，∴A′综上所述，A′点的坐标为（2，4）或（0，（3）若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个3宝点，该一次函数的所有表达式为y＝x＋3或y＝−x−3，理由如下：当一次函数为y＝x＋3时，设直线y＝x＋3上任意一点E′（t，t＋3），连接EE′，作EE′的垂直平分线交y轴于R，交EE′于P，过P作PM⊥x轴于M∵PR是线段EE∴RE=RE′，PE＝P∴∠RPE＝∠RPE∵E（3，0），E′（t，t∴Pt+32∵PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，∴PM＝PN＝t+32而∠RPN＝90°−∠NPE＝∠APM，∠PNR＝∠PME＝90°，∴△PRN≌△PEM（ASA），∴PR＝PE，∴PR＝PE＝PE∴△PRE与△PRE∴∠ERP＝∠E'RP＝45°，∴∠ERE根据宝点定义，E′是3的宝点，即直线y＝x∴一次函数y＝x＋3的图象上存在无数个3的宝点，同理可证一次函数y＝−x−3的图象上存在无数个3的宝点．故答案为：y＝x＋3或y＝−x−3．【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键用含字母的代数式表示相关点的坐标，掌握函数图象上点坐标特征及应用．25．（2022·江苏宿迁·八年级期末）如图，已知直线y=−43x+4分别与x，y轴交于点A、B，与直线y=kx相交于点C2,n，点(1)n=______，k=______；(2)若点P在射线CA上，且S△POC=2S(3)若△POC的面积为1，求点P的坐标．(4)点Q在函数y=−43x+4的图像上，若△QOC的面积为m（m为常数且【答案】(1)43，(2)P(3)P32(4)当0<m<2时，点Q有4个，当m=2时，点Q有3个；当m>2时，点Q有2个【分析】（1）根据题意，将点C2,n代入到y=−43（2）根据题意，推导得S△AOP=S△AOC，根据坐标和一次函数的性质，得点P纵坐标绝对值（3）根据三角形面积关系、一次函数的性质，分点P在BC上、点P在AC上、在x轴下侧、y轴左侧四种情况分析，即可得到答案；（4）过点A作AD⊥y轴，根据一次函数图象和绝对值的性质，得函数y=−43x+4的图象关于直线AD对称；结合（3）的结论，分0<m<2、m=2、(1)解：∵直线y=−43x+4与直线∴n=−4∴C2,∴2k=4∴k=2故答案为：43，2(2)如图，∵S△POC=2S∴S△AOP∴点P和点C的纵坐标绝对值相等，符号相反，∵C2,43，点P和点C∴点P纵坐标绝对值−4设Pp,−∴−4∴p=4，∴P4,−(3)当点P在BC上，如图：∵直线y=−43x+4与y∴当x=0时，y=4，即B0,4∴OB=4，∵C2,∴S△BOC∵S△POC∴S△POB设点P横坐标为xP∴S△POB∴xP把xP=3得y=2，∴P3若点P在AC上，如图，∵直线y=−43x+4与x∴当y=0时，−4∴x=3，即A3,0∴OA=3，∵C2,∴S△AOC∵S△POC∴S△POA设点P纵坐标为yP∴S△POA∴yP把yP=2得x=5∴P5∵S△BOC=4∴点P在x轴下侧、或y轴左侧时，△POC的面积为1不成立，∴P32,2(4)根据（3）的结论，得：S△AOC如图，过点A作AD⊥y轴，函数y=−43当0<m<2时，S△QOC∴点Q分别在线段BC和线段AC上，如下图：∵函数y=−43∴点Q有4个；当m=2时，得：S△QOC∴点Q在线段BC上或点Q和点A重合，如下图：∵函数y=−43∴点Q有3个；当m>2时，得：S△QOC∴点Q在点C左侧，∵函数y=−43∴点Q有2个，综上，当0<m<2时，点Q有4个，当m=2时，点Q有3个；当m>2时，点Q有2个．【点睛】本题考查了绝对值、轴对称、一次函数、一元一次方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图象、轴对称的性质，从而完成求解．26．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，已知一次函数y=2x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点D为平面内一点，(1)点D(−4，−2)_______一次函数(2)若一次函数y=−12x+b的图象经过点D(−4，−2)①求BC的长；②求证：AB平分∠OBC；③若正比例函数y=mx的图象与一次函数y=2x+6的图象交于点P，且点O、点P到一次函数y=−12x+b的图象的距离相等，则符合条件的m【答案】(1)在(2)①BC=10；②见解析；③−12【分析】（1）将点D坐标代入解析式可求解；（2）①分别求出点B，点C坐标，由勾股定理可求解；②由“SSS”可证△ABE≌△ABC，可得∠ABE＝∠ABC，可得结论；③分两种情况讨论，利用全等三角形的性质和平行线的性质可以求解．（1）解：在，理由如下：∵当x=−4时，y=2×(−4)+6=−2，∴点D(−4，−2)在一次函数故答案为：在；（2）解：①∵一次函数y=−12x+b∴−2=−1∴b=−4，∴y=−1当y＝0时，x=−8，∴点C(−8,0)，∴OC＝8，∵一次函数y=2x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A(−3,0)，点B(0,6)，∴OB＝6，OA＝3，∴BC＝OB2+O②如图1，取点E（0，﹣4），连接AE，∴BE＝BO＋OE＝10＝BC，∵AO=3，∴AC＝8﹣3＝5，AE＝OA2+O∴AE＝AC，在△ABE和△ABC中，AB=ABAE=AC∴△ABE≌△ABC（SSS），∴∠ABE＝∠ABC，∴AB平分∠OBC；③当点O，点P在直线DC的同侧时，∵O、P到一次函数y=−1∴OP与直线y=−1∴m=−1当点O，点P在直线DC的异侧时，过点O作OH⊥CD于H，连接PD，∵yAB=2x+6，∴k∴AB⊥CD，∴PD⊥CD，即点P到一次函数y=−12x+b∵O、P到一次函数y＝﹣12x＋b∴OH＝PD，又∵∠PFD＝∠OFH，∠PDF＝∠OHF，∴△PDF≌△OHF（AAS），∴PF＝OF，∵直线y＝mx的图象与直线y=2x+6的图象交于P点，∴y=mxy=2x+6解得x=6∴点P（6m−2，6m∴点F坐标为（3m−2，3m∵点F在一次函数y=−1∴3mm−2＝−12∴m=13故答案为：−12或【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，学会利用分类讨论思想是解第二问第3小问的关键．27．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；(2)若四边形PQOB的面积是112，且CQ=12AO，试求点P的坐标，并求出直线(3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点A（﹣m，0），点Bn3,0(2)PA的函数表达式为y＝x+4，PB的函数表达式为y＝－3x+6(3)存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为132,92【分析】（1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．（2）先根据CQ=12AO得到m、n的关系，然后求出S△AOQ，S△PAB并都用字母m表示，根据S四边形PQOB=S△PABS△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA（3）由