专题05二元一次方程组（考点清单）2

专题05讲：二元一次方程组（考点清单）【聚焦考点】题型一：二元一次方程组的概念题型二：解二元一次方程组题型三：解二元一次方程组的应用题型四：列二元一次方程组题型五：工程问题和行程问题题型六：方案问题题型七：数字问题题型八：分配问题题型九：销售利润问题题型十：和差倍问题题型十一：古代问题题型十二：几何问题【题型归纳】题型一：二元一次方程组的概念【典例1】（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）若是关于，的方程的一个解，则的值是(

)A． B．5 C． D．8【答案】A【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于m的一元一次方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：把代入方程，得，解得．故选：A．【专训11】（2023上·河北保定·八年级统考期末）下列关于方程的解的说法错误的是（

）A．是它的解 B．它只有一个解C．以它的解为坐标的点组成的图象是一条直线 D．它有无数多个解【答案】B【分析】根据二元一次方程的解，以及一次函数的相关性质逐项分析判断即可．【详解】解：A、将代入中得：，故等式成立，不符合题意；B、两个数之和为1，则这两个数有无数个可能，故方程的解有无数个，故说法错误，符合题意；C、将变形为，属于一次函数，图象为一条直线，故说法正确，不符合题意；D、的解有无数个，故说法正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程的解，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．【专训12】．（2022上·陕西西安·八年级校考期末）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】将代入二元一次方程组，求出，再利用算术平方根的定义即可得到答案．【详解】解：是二元一次方程组的解，，解得：，，的算术平方根为2，故选：C．题型二：解二元一次方程组【典例2】（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）解下列方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；（2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．【详解】（1）得，解得将代入①得，解得∴原方程组的解为；（2）整理得，得，解得将代入①得，解得∴原方程组的解为．【专训21】（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）解方程组．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法解方程即可；（2）利用加减消元法解方程即可．【详解】（1）解：把②代入①得，解得，把代入②得，∴方程组的解为；（2）解：整理得得，把代入②得，解得，∴方程组的解为．【专训22】（2023上·山东枣庄·八年级统考期末）解方程（组）：(1)(2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为，解得，∴

∴原方程组的解为请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组【答案】(1)(2)【分析】（1）用代入消元法进行计算即可得；（2）设，，原方程可化为，进行计算得，则,用代入消元法进行计算即可得．【详解】（1）解：①+②得：，解得：，把代入①得：解得，，则方程组的解为．（2）解：设，，原方程可化为，即，②①得，，把代入②得，，∴，∴,∴原方程组的解为．题型三：解二元一次方程组的应用【典例3】（2023·山东聊城·统考一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】用整体思想①②，得，等式两边都除以6，得，再根据，从而计算出的值．【详解】解：，①②，得，，，，．故选：C．【专训31】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】把方程组的解代入方程组，得到关于m、n的二元一次方程组，先求出m、n，再求出的立方根．【详解】解：把代入二元一次方程组得，解这个方程组，得．∴，∴．故选：B．【专训32】．（2022上·重庆·八年级校联考期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数a的和为（）A． B． C．0 D．3【答案】A【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为，从而可得，进而可得，然后再把两个二元一次方程相加可得，再结合已知可得，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组的解集为，∴，∴，，③+④得：，∴，∵，∴，解得：，∴，而为整数，∴，∴满足条件的所有整数a的和，故选：A．题型四：列二元一次方程组【典例4】（2023上·河北保定·八年级统考期末）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何?”题目大意是；甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．间：甲，乙两人各带了多少钱?设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“甲的钱乙所有钱的一半”和“乙的钱甲所有钱的”列出方程组即可解答．【详解】解：根据题意得：．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系是解答本题的关键．【专训41】（2021上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为厘米，宽为厘米，则依题意列二元一次方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找到等量关系：一个小长方形的长=一个小长方形的宽的3倍，小长方形的长+小长方形的宽的2倍=75，据此列二元一次方程组即可解题．【详解】解：由图形可知，等量关系：一个小长方形的长=一个小长方形的宽的3倍，小长方形的长+小长方形的宽的2倍=75，设小长方形墙砖的长为厘米，宽为厘米，由题意可得，故选：C．【专训42】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共分三卷，在卷下中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”译文大致为：“甲、乙两人带着钱，不知道是多少．若甲得到乙钱数的，则甲的钱数为48．若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设甲持钱x，乙持钱y，根据甲得到乙钱数的，则甲的钱数为48．若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48列二元一次方程组即可．【详解】由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，准确理解题目，找出等量关系是解题的关键．题型五：工程问题和行程问题【典例5】（2023上·河北保定·八年级校考期末）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行的时间之间的函数关系式如图中折线段所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有下列结论：①甲、乙两地相距；②两人出发后相遇；③小丽步行的速度为，小明步行的速度为；④小明到达甲地时，小丽离乙地还有．其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①②直接从图象获取信息即可；③设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，根据图象和题意列出方程组，求解即可；④由图可知：点的位置是小明到达甲地，直接用总路程时间可得小明的时间，即，二人的距离即的纵坐标，由此可得小丽离乙地的距离．【详解】解：由图象可知，甲、乙两地相距，小丽与小明出发相遇，故①②正确，符合题意；③设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，则，解得：，小丽步行的速度为，小明步行的速度为；故③不符合题意；④，，点，点表示：两人出发时，小明到达甲地，此时两人相距．，小明到达甲地时，小丽离乙地还有．故④不符合题意；故选：B．【专训51】（2020上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道天，工程小组整治河道天，依题意可列方程组（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据河道总长为180米和A、B两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．【详解】设A工程小组整治河道x天，B工程小组整治河道y天，依题意可得：，故选：B．【专训52】（2020·浙江绍兴·统考中考真题）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km【答案】B【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，然后画出图形、确定等量关系、列出关于x和y的二元一次方程组并求解即可．【详解】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：，解得：．∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．故答案为B．题型六：方案问题【典例6】（2021上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐步成为人们喜爱的交通工具．某汽车公司计划正好用190万元购买，两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），其中型汽车进价为20万元/辆，型汽车进价为30万元/辆，则，型号两种汽车一共最多购买（

）A．9辆 B．8辆 C．7辆 D．6辆【答案】A【分析】设购买A，B型号汽车分别购买m，n辆，列出二元一次方程，根据m，n的实际意义，分别求出m，n的对应值，即可求解．【详解】设购买A，B型号汽车分别购买m，n辆，∵两种型号的汽车均购买，∴m≥1，n≥1，且m，n均为整数，由题意得：20m+30n=190，即2m+3n=19，∴1≤n≤5，又∵2m为偶数，则3n为奇数，∴n为奇数，即：n=1，3，5，当n=1时，m=8，当n=3时，m=5，当n=5时，m=2，∴，型号两种汽车一共最多购买9辆．故选Ａ．【专训61】（2020上·浙江杭州·八年级统考期末）小聪去商店购买笔记本和钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，若笔记本和钢笔都需购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】B【分析】设笔记本的数量为x个，钢笔的数量为y个，用笔记本的钱数+钢笔的钱数=60，笔记本数量＞钢笔数量，可以列出一元一次不等式，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案．【详解】（1）设笔记本的数量为x个，钢笔的数量为y个．由题意得：，∴，解得：．∵为正整数，∴x为5的倍数，故x的取值为10，15，20，25．故有四种方案．故选B．【专训62】（2023下·云南玉溪·八年级统考期末）某校计划送370名师生（其中学生362人、教师8人）到全国中小学生研学实践教育基地之一的澄江化石地世界自然遗产博物馆进行科普研学活动．现有甲、乙两种大客车，甲客车每辆可坐35人，乙客车每辆可坐50人，租用一辆甲客车和一辆乙客车共需700元，租用3辆甲客车和2辆乙客车共需1700元．(1)租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？(2)要使每辆客车上至少要有1名教师，所有参与活动的师生都有车坐，则租用客车总数为8辆，设租用辆甲客车，租车的总费用为元，则共有几种不同的租车方案？哪种方案租车的总费用最少？【答案】(1)租用甲客车每辆需300元，租用乙客车每辆需400元(2)共有三种不同的租车方案，当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少【分析】（1）设租用甲、乙两种客车每辆各需元，根据题意可以列出相应的方程组，即可求解；（2）设租用辆甲客车，则租用辆乙客车，根据题意列出不等式，求出x的取值范围，进而列出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设租用甲、乙两种客车每辆各需元，则，解得：，答：租用甲客车每辆需300元，租用乙客车每辆需400元；（2）解：设租用辆甲客车，则租用辆乙客车，由题意得：．由题意得：，解得：，的取值范围是：，且为整数．∴一共有3种租车方案．∵，∴随的增大而减小，∴当时，有最小值，∴当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少答：共有三种不同的租车方案，当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少．题型七：数字问题【典例7】（2022下·黑龙江大庆·八年级统考期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是，如果把这个两位数加上，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，则这个两位数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设十位上的数为，个位上的数为，依据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：设十位上的数为，个位上的数为，根据题意得，∴，由得，∴，将代入得，∴，∴这个两位数为34，故选：A．【专训71】（2021上·陕西西安·八年级校考期末）有一个两位数和一个一位数若在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是139；若用这个两位数除以这个一位数，则商7余3，则这个两位数为（

）A．59 B．69 C．79 D．89【答案】A【分析】设这个两位数为这个一位数为则根据题意可列方程组，再解方程组可得答案．【详解】解：设这个两位数为这个一位数为则把②代入①得：把代入②得：故选：【专训72】（2020上·江西萍乡·八年级统考期末）小颖和小亮在做一道关于整数减法的作业题，小亮将被减数后面多加了一个0，得到的差为750；小颖将减数后面多加了一个0，得到的差为420，则这道减法题的正确结果为（

）A．30 B．20 C．20 D．30【答案】D【分析】根据题意，设被减数为x，减数为y，则，然后根据二元一次方程组的解法，求出x、y的值，判断出这道减法题的算式是多少即可．【详解】解：设被减数为x，减数为y，则，解得，∴这道减法题的正确结果应该为：8050=30．故选D.【点睛】此题主要考查了有理数的减法运算，以及二元一次方程组的求解方法，要熟练掌握．题型八：分配问题【典例8】（2022下·山东德州·七年级统考期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓x人，生产螺帽y人，则列方程组得（

）A．B． C．D．【答案】C【分析】根据“该车间共有90名工人，且生产螺帽的总数是生产螺栓总数的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：∵该车间共有90名工人，∴x+y=90；∵每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，且一个螺栓配套两个螺帽，∴2×15x=24y，即30x=24y．根据题意可列方程组：故选：C．【专训81】23．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解；（2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解；②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解．【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，由题意得：，解得：，答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，由题意得：，解得，，答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元），设购进A型台灯a台，B型台灯台，由题意得：，整理得：，∴a、b为自然数，或或或，有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键．【专训82】24．（2023上·四川雅安·八年级统考期末）今年月，某城市受疫情影响，为了人民健康采取了一系列措施，某公司安排大、小货车共辆，分别从两地运送吨物资到该城市，支援抗击疫情，每辆大货车装吨物资，每辆小货车装吨物资，这辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如表：目的地车型地（元/辆）地（元/辆）大货车小货车要安排上述装好物资的辆货车中的辆从地出发，其余从地出发．(1)这辆货车中，若大货车辆、小货车辆，请求出与的值．(2)若从地出发的大货车有辆（大货车不少于辆）这辆货车的总运费为元，求总运费的最小值．【答案】(1)大货车有辆，小货车有辆(2)总运费最小值为元【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）根据调配问题，设从地出发的大货车有辆，分别用含的式子表示出从地出发的小火熬，从地出发的大货车，小货车的数量，根据数量关系列方程即可求解．【详解】（1）解：设大货车有辆、小货车有辆，由题意得：，解得：，∴大货车有辆，小货车有辆．（2）解：设从地出发的大货车有辆，则从地出发的小货车有辆，从地出发的大货车有辆，从地出发的小货车有辆，由题意得：，∴随的增大而增大，∵从地出发的大货车有辆（大货车不少于辆），大货车一共辆，∴，∴当时，有最小值，此时，∴总运费最小值为元．题型九：销售利润问题【典例9】（2020上·辽宁辽阳·八年级统考期末）元旦期间，灯塔市辽东商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动．某顾客在女装部购买了原价元，在男装部购买了原价元的服装各一套，优惠前需付元，而她实际付款元，根据题意列出的方程组是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据“优惠前需付元，而她实际付款元”，列出关于x，y的二元一次方程组，即可得到答案．【详解】根据题意得：，故选D．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，掌握等量关系，列出方程组，是解题的关键．【专训91】．（2023下·云南红河·八年级统考期末）红星超市销售每台进价分别是160元，120元的Ⅰ、Ⅱ两种型号的吹风机，下表是近两周的销售情况．销售时间销售型号收入Ⅰ型Ⅱ型第一周台台元第二周台台元(1)求Ⅰ、Ⅱ两种型号的吹风机的销售单价．(2)若红星超市准备用不多于7500元的资金再购进这两种型号的吹风机共50台，请设计出能取得最大利润的购进方案，最大利润W是多少？【答案】(1)200元，150元(2)购进Ⅰ型吹风机37台，Ⅱ型吹风机13台可是利润最大为1870元【分析】（1）设Ⅰ型吹风机的销售单价是元，Ⅱ型吹风机的销售单价是元．根据“第一周，第二周的收入”再建立方程组即可；（2）设红星超市再购进Ⅰ型吹风机台，根据“红星超市准备用不多于7500元的资金再购进这两种型号的吹风机共50台”求解的范围，再由总利润等于两种型号的吹风机的利润之和建立函数关系式，再利用一次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设Ⅰ型吹风机的销售单价是元，Ⅱ型吹风机的销售单价是元．依题意，得，解得．答：设Ⅰ型吹风机的销售单价是200元，Ⅱ型吹风机的销售单价是150元．（2）设总利润为元，则，由可得随的增大而增大，设红星超市再购进Ⅰ型吹风机台，，解得．只能取正整数，当时，能获得最大利润，最大利润元．此时购买方案为：购进Ⅰ型吹风机37台，Ⅱ型吹风机13台．【专训92】（2023下·河南安阳·八年级校考期末）某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元．(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A掀电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y与x的关系式；②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m元，且限定商店最多购进A型电脑70台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【答案】(1)每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元(2)①；②商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大(3)①当时，商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润；②当时，商店购进A型电脑数最满足的整数时，均获得最大利润；③当时，商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．【分析】（1）建立二元一次方程组求解；（2）①根据销售问题中单件利润，销售数量，销售利润间的关系建立函数关系式；②根据题意建立不等式求解，得自变量取值范围，结合一次函数的增减性求解；（3）由题意得一次函数，对参数m分类讨论，①当时，根据一次函数增减性求解；②当时，最大利润为；③当时，根据一次函数增减性求解；【详解】（1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，则有解得即每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．（2）①根据题意得，即；②根据题意得，解得，∵，∴y随x的增大而减小．∵x为正整数，∴当最小时，y取最大值，此时．即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大（3）根据题意得，即．．①当时，，y随x的增大而减小．∴当时，y取得最大值．即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润；②当时，．即商店购进A型电脑数最满足的整数时，均获得最大利润；③当时，，y随x的增大而增大．∴时，y取得最大值．即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．题型十：和差倍问题【典例10】（2012·浙江温州·中考真题）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元,设其中有张成人票，张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是【】A．B． C． D．【答案】B【详解】根据“小明买20张门票”可得方程：；根据“成人票每张70元，儿童票每张35元，共花了1225元”可得方程：，把两个方程组合即可．故选B【专训101】．．（2020上·广东深圳·八年级校考期末）已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3.若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，问：乙校开学时的人数与原有的人数相差多少?（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【分析】分别设设甲、乙两校转出的人数分别为人、人，甲、乙两校转入的人数分别为人、人，根据寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，可列方程求解即可解答．【详解】设甲、乙两校转出的人数分别为人、人，甲、乙两校转入的人数分别为人、人，∵寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，∴，整理得：，开学时乙校的人数为：(人)，∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；10281010=18(人)，故选：D．【专训102】（2022上·重庆綦江·八年级统考期末）新学期伊始，綦江区某中学的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共60人捐书，丙班有50人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书本．【答案】990【分析】根据设间接未知数列二元一次方程求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答．【详解】解：设甲班的人均捐书数量为x本，乙班的人均捐书数量为（x+5）本，丙班的人均捐书数量为本，设甲班有y人，乙班有（60﹣y）人．根据题意，得xy+(x+5)(60﹣y)+•50＝，解得：y=，因为x、y均为正整数，故x＝10或20，y＝32或70，因为，所以x＝10，y＝32，共捐书10×32+15×28+5×50＝990．答：甲、乙、丙三班共捐书990本．故答案为990．题型十一：古代问题【典例10】（2023上·四川成都·八年级统考期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问：几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问：多久后甲、乙相逢?设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可将此题看做是工作效率类的应用题，根据效率×时间=总量列方程即可．【详解】解：由题可知，甲的效率为，乙的效率为，设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，根据题意列方程组：．故选：D．【专训101】．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”题目大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺．设竿长为x尺，绳索长为y尺，则符合题意的方程组是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据