中考数学专项复习：相似三角形存在性揭秘

二次函数背景下的相似三角形的存在性

二次函数背景下的相似三角形考点分析：

1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；

2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；

3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，

继而用待定系数法求函数解析式；

4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；

5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边

的数量关系转化到三角形的相似问题；

6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。

【备注】：

1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；

2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发

现一些题目中的条件(相等的量、不变的量、隐藏的量等等)，使学生在复杂的背景下自己

发现、领悟题目的意思；

3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让

学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；

4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，

每个问题后面有答案提示；

5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；

6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；

7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况

下讲解。

典例剖析

例1.(2022青浦一模24).(12分)如图，在平面直角坐标系X0，中，抛物线ynx'+fcr+c与

蒋由交于点4(-1,0)和点8(3,0),与海交于点G顶点为点〃

(1)求该抛物线的表达式及点烟坐标；

(2)联结式；BD,求/曲的正切值；

(3)若点厌x轴上一点，当△应归与△力及相似时，求点邢］坐标.

【解答】解：(1)将力(-1,0)、B(3,0)代入y=¥+6x+c,

得(l-b+c=0,

I9+3b+c=0

解得：门=-2,

lc=-3

所以抛物线的表达式为y=V-2x-3.

当x=0时，y=-3.

・・・点儆坐标为(0,-3).

(2)y=x-2x-3=(x-1)2-4,

・••点，的坐标为(1,-4).

•:B⑶0)、。(0,-3)、D(1,-4),

BC—3^2，DC—BD=

・•・/+〃=18+2=20=庞.

ZBCD=90°.

tanN(W=匹=>^1=•二.

BC3723

(3)：tan也。，

0C3

ZAC0=ZCBD.

'：0C=OB,

：.ZOCB=ZOBC=^°.

：.ZAC(KZ0CB=ZCBIAZOBC.

即：ZACB=ZDBO.

.•.当△皮庐与△儿?丽似时，点窄点胜侧.

•Vio2V5

372BP

：.BP=6.

：.P（-3,0）.

（77）当空•空时，

CBDB

.VT5BP

FF

:.BP=@

3

：.P（-1,0）.

3

综上，点屋勺坐标为（-3,0）或（-』，0）.

3

例2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，点

/、8两点在直线y=2x上，如图.二次函数_7=@太2+6牙-2的图象也经过点/、晒点，并

2

与碎由相交于点C,如果比〃少由，点力的横坐标是2.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设这个二次函数图象的对称轴与式交于点〃点笈生居由的负半轴上，如果以点£、

。、£所组成的三角形与△侬相似，且相似比不为1,求点耶坐标；

（3）设这个二次函数图象的顶点是例求tan/吊力的值.

【解答】解：⑴•.•二次函数尸aV+"-2的图像与谕相交于点G

点面坐标为（0,-2）,

•・・w,

・,•点8的纵坐标是-2,

•.•点/、晒点在直线上，点/的横坐标是2,

2

.••点/的坐标为（2,1）,点况勺坐标为（-4,-2）,

•.•这个二次函数的图像也经过点力（2,1）、6（-4,-2）,

.（4a+2b_2=l

116a_4b_2=-2

解这个方程组，得a=上，b=\,

4

二次函数的解析式是y=1x2+x-2；

4

（2）根据（1）得，二次函数y=1x2+x-2图像的对称轴是直线x=-2,

4

二点烟坐标为（-2,-2）,

：.0B=2氓,BD=2,

:a//斓J,

：.ZOBD=ZBOE,

以点民。、方组成的三角形与△勿场相似有可能以下两种：

①当或图时，ABOM40BE,显然这两相似三角形的相似比为1,与已知相似比不

OB0E

为1矛盾，这种情况应舍去，

②当班迪时，ABOMAOEB,

OE0B

-2娓2

0E2巡

：.OE=10,

又点庭x轴的负半轴上，

.♦•点蹴坐标为（-10,0）；

（3）过点a乍酸L/必垂足为〃，

-2的顶点坐标为〃(-2,-3),

设直线刚的解析式为旷="才+如

f2kt(n=l

1-2k+m=-3

解得A=l,m=-1,

・•・直线/瑚解析式为y=x-1,

设直线/收看由、碎由的交点分别为点RQ,

则点用勺坐标为(1,0),点颂坐标为(0,1),

・・・△力汉是等腰直角三角形，/OQP=45°,

•：/OQP=/HOC,

：.ZHOC=45°,

•・,点C的坐标为(0,-2),

：.CQ=1,

：.HC=HQ='I2L,

2

又欣=2我，

：.MH=MQ-HQ=

tan//加二理1

MH3

3

例3(2。2崇明一模)24.如图'抛物线产-与"由交于点,(4'°),与谕交于点

B(0,3),点欣如0)为线段如上一动点，过点胆垂直于x轴的直线与直线/破抛物线分别

交于点RN.

(备用图)

(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)如果以点RN、B、。为顶点的四边形为平行四边形，求力的值；

(3)如果以反P、微顶点的三角形与446/目似，求点幽的坐标.

3

【小问1详解】解：•.•抛物线尸X2+加+C与蚌由交于点4(4,0),与河由交于点6(0,3),

4

f3,

-242+4/?+C=0

4X,

c=3

J」

解得：,4,

c=3

39

..・抛物线的解析式为尸-了占了田3,

3933、,，75

尸V2+一田3二（z『一）+—,

444216

3

此抛物线对称轴为户2,

2

375

顶点坐标为(；，—)；

216

【小问2详解】解：设直线期的解析式为产px+g,

4〃+q=0

把/(4,0),B(0,3)代入得〈c，

q=3

3

p——

解得：\4,

q=3

3

・・・直线/瑚解析式为尸-：％+3,

4

•・•〃("，0),随归_君由，

393

:・NIm,---方+一研3)，P(7Z7,—m+3),

444

32

・••俨-―/+3%，OB=3,

4

'CNP//OB,且以点AN、B、。为顶点的四边形为平行四边形,

3

，俨OB,即——苏+3炉3,

4

整理得：/-4研4=0,

解得：厅2；

3

【小问3详解］\'A(4,0),B(0,3)，P(m,一一m+3),

4

工32

而7VP=--苏+3R,

4

,:PN〃OB,

：.ZBPJ^ZABO,

PN2

=---时,丛BPNs丛OBA,

啜AB

53

—m——m+3m

即nn4_4

-T"5

整理得9/11炉0,解得加I=0（舍去）,^=~~

此时〃点的坐标为（瓦，0）；

PBPN

当——=——时，ABPNsAABO,

ABOB

53

—m——m+3m

即nn44，

~Y~3

整理得202-5历0,解得面=0（舍去），nk=3,

此时〃点的坐标为（3,0）；

综上所述，点小的坐标为（旦，0）或（3,0）.

9

例4.（2022宝山一模）已知在平面直角坐标系xQy中，抛物线丁=依2+区+。（。20）经

过点4（一1,0）、B（3,O）,C（O,3）,顶点为点D.

yi

o~1*

（1）求抛物线的表达式及顶点。的坐标；

（2）联结双）、CD,试判断ABCD与“OC是否相似，并证明你的结论；

（3）抛物线上是否存在点尸，使得NR4c=45。.如果存在，请求出点P的坐标；如果

不存在，请说明理由.

【小问1详解】解：抛物线经过点A（-L,O），3（3,0）,C（0,3），

设抛物线解析式为：j=«（x+l）（x-3）,

将点窗弋入可得：3=«（0+1）（0-3）,

解得：4=-1,

y=—(x+l)(x—3)=—%2+2x+3=—(x—l)2+4,

:•顶点坐标为：D（L4）；

【小问2详解】解：如图所示:

△AOC为直角三角形且三边长分别为：AO=1,OC=3,AC7Ao2+OC2=晒,

△BCD的三边长分别为：BC=4BO1+OC2="+32=3A/2，

2222

CD=^(l-0)+(4-3)=亚,BD=^(3-1)+4=A/22+42=275，

/.BC2+CD2BD2,

.••△BCD为直角三角形，

CD_BCBD心

AO~OC~AC~'

△ZOC〜△DCB；

【小问3详解】解：设存在点碓NK4C=45。，作线段儿的中垂线交从于点E,交于点

F,连接切如（2）中图:

...NFEA=90°,Eill

VZR4C=45°,

：.ZAFC=90°,

・・・为等腰直角三角形，

：.AF=FC,EF=LAC=叵,

22

AF2+FC2=AC2，即A/2+A/2=(师『

解得：AF=亚，

设方(x,y),

；•”=J(x+l『+y2,C.=次+氏疗,

(x+1)2+y2=%2+(3-y)2,

整理得：x+3y=4①,

将①代入②整理得：V一3y+2=0,

解得：%=1，%=2，

%=1,x?——2,

.♦"（1,1）或——2,2）（不符合题意舍去），

AF（l,l）,A（-1,O）,

设直线物解析式为：y=kx+b（k^Q）,将两个点代入可得:

l=k+b

O=-k+b'

解得：:

b=~

[2

11

・・y——x-\—,

22

11小

>=_%+一①

联立两个函数得：＜22

y=-x2+2%+3②

将①代入②得：一元~1———x2+2x+3,

22

整理得：2d—3%-5=0，

解得：X]=—1,x=—•,

22

57

当了=一时，y=—,

2-4

例5.(2022静安区一模24)如图，在平面直角坐标系不勿中，已知抛物线尸¥+法经过点力

(2,0)和点5(-1,加，顶点为点。

(1)求直线/瑚表达式；

(2)求tan//M|的值；

(3)设线段做与法由交于点R如果点炫喇上，且与△/期相似，求点3勺坐标.

【分析】(1)将/(2,0)代入y=¥+6x,求出抛物线解析式，再将6(-1,m)代入y=f

-2x,求出卬的值，然后用待定系数法求直线/阴勺解析式即可；

(2)利用勾股定理判定△/做是直角三角形，即可求解；

(3)求出一点坐标(2，0),设C(t,0),当必时，△4576△加”过氏点作

2

蚌由交于点。，则tan/5C0=』=』-,求出C0=9,即可求C(-10,0)；当P点与C点

3CQ

重合时，AABSAABP,即可求C点坐标.

【解答】解：(1)将/(2,0)代入尸¥+",

.♦.4+26=0,

b=-2,

y=x-2x,

将6(-1,而代入y=¥-2x,

m=3,

：.B(-1,3),

设直线/碘解析式为尸Ax+6,

.f-k+b=3

"bk+b^,

.fk=-l

"lb=2,

y=-x+2；

(2)y—x-2x=(x-1)--1,

：.D(1,-1),

AB=2yf^,BC—3^2，

":A^=A1}+Bd,

即是直角三角形，

tanZJSZ?=-^5-=—；

AB3

(3)设直线物的解析式为尸左x+4，

/ki+bi=-l

-k]+bi=3'

,k=-2

••,

lbl=l

•*.y=-2户1,

令y=0,贝!Jx=2，

2

：.P(」，0),

2

设C(30),

如图1,当必时，XABCsXAPB,

：.NACB=NABP

过员点作Ha翦由交于点a

.•.tanZW=—=—

3CQ

."g9,

."A10,

10,0)；

当C点与夕点重合时，4ABC^丛ABP,

此时C(l,0)；

2

综上所述：C点坐标为(-10,0)或(2，0).

【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性

质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键.

压轴精练

1.(2021年宝山二模24)在平面直角坐标系Xa中，抛物线y=a*+Zw-l(aWO)经过点/

(-2,0),B(1,0)和点2(-3,加，与辟由交于点C.

(1)求该抛物线的表达式及点诚坐标；

(2)将抛物线平移，使点能在点放3点喀在点改3求△a历的面积；

(3)如果点的碎由上，△也均△/6小目似，求点用］坐标.

解：(1),抛物线尸a*+6x-1经过点4(-2,0),B(1,0)和2(-3,ri),

.(4a-2b=1

Ia+b=l'

.•・抛物线解析式为：1；

二n蒋X(-3)2卷X(-3)-1=2,

：.D(-3,2)；

(2)♦.•将抛物线平移，使点密在点8处，点溶在点£处,

：.E(-2,3),

11R

S^ODE—9--X3X2X2--=77；

C3)如图1,连接切，AC,CB,过点加乍加上海于点£,

,：A(-2,0),方(1,0),C(-1,0),Z?(-3,2),

OB=OC,DE=CE=3,AB=3,BC=-^2,CD=3近,

：.AABC=AOCD=^°,

;△尸切与△力比相似，点雕碎由上,

.♦•分两种情况讨论：

.AB_BC

•历记

.返

••加记

：.PC=2,

：.P(0,1),

②如图3,当/为。=/%C时，丛PCM丛ABC,

BC_AB

CD

加3

金武

PC=9,

：.P(0,8).

点用］坐标为(0,8)或(0,1)时，△户与△怒甥似.

2.(2021崇明二模24)(12分)已知抛物线y=a¥+6x-4经过点4(-1,0),6(4,

0),与辟由交于点G点雇