高中数学 第一章 立体几何初步章末检测（B）北师大版必修2

第一章立体几何初步（B）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上2．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．0B．9C．快4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是()A．6B．3eq\r(2)C．6eq\r(2)D．125．下列命题正确的是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对7．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1A．平面DD1C1CB．平面AC．平面A1B1C1D1D．平面A18．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4B．6C．89．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．1D．eq\f(39,129)10．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β11．已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5，则此球的表面积为()A．25πB．50πC．125πD．均不正确12．如图，在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH、FG间的距离为()A．8cmB．6cmC．4cmD．9cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．14．已知用斜二测画法，画得正方形的直观图的面积为18eq\r(2)，则原正方形的面积为________．15．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC＝BD，则四边形EFGH的形状是______；②若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是______．16．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：____________时，SC∥平面EBD．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)画出如图所示的四边形OABC的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)18．(12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC．19．(12分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h1，且水面高是锥体高的eq\f(1,3)，即h1＝eq\f(1,3)h，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求h2的大小．20．(12分)如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V．第一章立体几何初步(B)答案1．B[如图，∵P∈HG，HG面ACD，∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，面BAC∩面ACD＝AC；∴P∈AC，选B．]2．C3．B4．D[△OAB为直角三角形，两直角边分别为4和6，S＝12．]5．C[可以以正方体为载体作出判断．]6．C7．B[因为AD1⊥A1D，且AD1⊥A1B1，所以AD1垂直于平面A1DB1．]8．A[由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，∴V＝eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB＋CD)×AD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝4，故选A．]9．D[设上，下底半径分别为r1，r2，过高中点的圆面半径为r0，由题意得r2＝4r1，r0＝eq\f(5,2)r1，∴eq\f(V上,V下)＝eq\f(r\o\al(2,1)＋r1r0＋r\o\al(2,0),r\o\al(2,2)＋r2r0＋r\o\al(2,0))＝eq\f(39,129)．]10．C[当l⊥α，α⊥β时不一定有lβ，还有可能l∥β，故A不对，当l∥α，α∥β时，lβ或l∥β，故B不对，若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此C正确，若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或lβ，故D不对．]11．B[由题意知，球的直径为2R＝eq\r(32＋42＋52)＝5eq\r(2)，∴S球＝4×π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2＝50π．故选B．]12．A[由题知，EH＝eq\f(1,2)BD＝3cm，FG＝eq\f(2,3)BD＝4cm．设平行线EH、FG之间距离为d，则28＝eq\f(1,2)×(3＋4)×d，∴d＝8cm，故选A．]13．9解析由面面平行的性质得AC∥BD，eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,SD)，解得SD＝9．14．72解析设原正方形边长为x，则直观图中平行四边形底为x，高为h′＝eq\f(1,2)x·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)x，面积为S′＝x·eq\f(\r(2),4)x＝eq\f(\r(2),4)x2，即eq\f(\r(2),4)x2＝18eq\r(2)，∴x2＝72，∴原正方形面积为72．15．菱形矩形16．E是SA的中点解析连接AC交BD于O，则O为AC中点，∴EO∥SCEO面EBD，SC面EBD，∴SC∥面EBD．17．解直观图如下图所示．(1)画轴：在直观图中画出x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．(2)确定A′，B′，C′三点，在x′轴上取B′使O′B′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y′轴的平行线，过(0,2)，(0，－1)两点作x′轴的平行线，得交点A′，C′．(3)顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，C′O′并擦去辅助线，就得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′．18．(1)解该几何体的直观图如图所示(2)证明①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD．又OG面AGC，PD面AGC，所以PD∥面AGC．②连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO．又AO⊥BO，所以AO⊥面PBD．因为AO面AGC，所以面PBD⊥面AGC．19．解当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r，水的体积为：V＝eq\f(1,3)πr2h－eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)r))2·eq\f(2,3)h＝eq\f(19,81)πr2h．当锥顶向下时，设水面圆半径为r′，则V＝eq\f(1,3)π·r′2·h2．又r′＝eq\f(h2r,h)，此时V＝eq\f(1,3)π·eq\f(h\o\al(2,2)r2,h2)·h2＝eq\f(πh\o\al(3,2)r2,3h2)，∴eq\f(πh\o\al(3,2)r2,3h2)＝eq\f(19,81)πr2h，∴h2＝eq\f(\r(3,19),3)h，即所求h2的值为eq\f(\r(3,19),3)h．20．证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝eq\r(2)a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．21．(1)解∵CD∥平面PBO，CD平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD．又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD．又PD平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．又PD平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．22．(1)证明在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD．又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD．(2)解连接AE