高中数学 第一章 立体几何初步章末检测（A）北师大版必修2

第一章立体几何初步(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．lα，A∈l⇒A∉αD．A∈l，lα⇒A∈α2．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为()A．eq\f(\r(6),4)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(6),2)4．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1DA．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台5．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上()A．快、新、乐B．乐、新、快C．新、乐、快D．乐、快、新6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π7．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A．120°B．150°C．180°D．240°8．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，mα，则m⊥β9．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．RB．2RC．3RD．4R10．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋12eq\r(2)B．48＋24eq\r(2)C．36＋12eq\r(2)D．36＋24eq\r(2)11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A12．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线A．ACB．BDC．A1DD．A1D1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为________．14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．15．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．16．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．18．(12分)如图是一个空间几何体的三视图，其中主视图和左视图都是边长为2的正三角形，左视图是一个正方形．(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；(2)求这个几何体的体积．19．(12分)如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝2．(1)求证：四边形EFGH是梯形；(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位线的长．20．(12分)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC121．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD．22．(12分)如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．第一章立体几何初步(A)答案1．C[若直线l∩α＝A，显然有lα，A∈l，但A∈α．]2．D[当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]3．D[原图与其直观图的面积比为4∶eq\r(2)，所以eq\f(\f(\r(3),4),S原)＝eq\f(\r(2),4)，所以S原＝eq\f(\r(6),2)．]4．D[∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1∴EH∥平面BB1C同理EF∥GH．且B1C1⊥面EB1由直棱柱定义知几何体B1EF－C1HG为直三棱柱，∴四边形EFGH为矩形，Ω为五棱柱．故选D．]5．A6．C[如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2．∴A1O1＝eq\r(2)，A1O＝R＝eq\r(6)．∴S球＝4πR2＝24π．]7．C[S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，即：2πr2＝πrl，得2r＝l．设侧面展开图的圆心角为θ，则eq\f(θπl,180°)＝2πr，∴θ＝180°．]8．C[A中还有可能nα；B中n∥m；D中还有可能m∥β或mβ或相交不垂直；C中，由于m∥β，设过m的平面γ与β交于b，则m∥b，又m⊥α，则b⊥α，又bβ，则α⊥β，所以C正确．]9．D10．A[棱锥的直观图如图，则有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6eq\r(2)，全面积为eq\f(1,2)×6×6＋2×eq\f(1,2)×6×5＋eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＝48＋12eq\r(2)，故选A．]11．A12．B[证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．]13．eq\f(1,4)πa3解析如图，正三角形ABC中，AB＝a，高AD＝eq\f(\r(3),2)a，∴V＝eq\f(1,3)πAD2·CB＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2·a＝eq\f(1,4)πa3．14．2eq\r(3)解析由主视图和左视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1－ABCD)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，由正方体棱长AB＝2知最长棱的长为2eq\r(3)．15．27π解析若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d等于正方体的体对角线的长．∵棱长为3，∴d＝eq\r(3·32)＝3eq\r(3)⇒R＝eq\f(3\r(3),2)．∴S＝4πR2＝27π．16．B1D1⊥A1C1解析由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1还可以填写四边形A1B1C1D117．解由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2m的正方体，上半部分是半径为1(1)几何体的表面积为S＝eq\f(1,2)×4π×12＋6×22－π×12＝(24＋π)(m2)．(2)几何体的体积为V＝23＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×π×13＝(8＋eq\f(2π,3))(m3)．18．解(1)直观图如图．(2)这个几何体是一个四棱锥．它的底面边长为2，高为eq\r(2)，所以体积V＝eq\f(1,3)×22×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)．19．解(1)因为eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)＝eq\f(1,2)，所以EH∥BD，且EH＝eq\f(1,3)BD．因为eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝2，所以FG∥BD，且FG＝eq\f(2,3)BD．因而EH∥FG，且EH＝eq\f(1,2)FG，故四边形EFGH是梯形．(2)因为BD＝a，所以EH＝eq\f(1,3)a，FG＝eq\f(2,3)a，所以梯形EFGH的中位线的长为eq\f(1,2)(EH＋FG)＝eq\f(1,2)a．20．解直线MN∥平面A1BC1，证明如下：∵M平面A1BC1，N平面A1BC1．∴MN平面A1BC1．如图，取A1C1的中点O1连接NO1、BO1．∵NO1綊eq\f(1,2)D1C1，MB綊eq\f(1,2)D1C1，∴NO1綊MB．∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1．又∵BO1平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1．21．解(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⃘面ACD，AD面ACD，∴EF∥面ACD．(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD．∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC．∵BD