高中数学 第二章 变化率与导数章末检测（A）北师大版选修2-2

第二章变化率与导数(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝eq\r(5,t)，则质点在t＝4时的速度为()A.eq\f(1,2\r(5,23)) B.eq\f(1,10\r(5,23))C.eq\f(2,5)eq\r(5,23) D.eq\f(1,10)eq\r(5,23)2．若eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,3Δx)＝1，则f′(x0)等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2) C．3 D．23．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)4．设y＝f(sinx)是可导函数，则y′x等于()A．f′(sinx) B．f′(sinx)·cosxC．f′(sinx)·sinx D．f′(cosx)·cosx5．函数y＝sinx－cosx的导数是()A．cosx＋sinx B．cosx－sinxC．cosxsinx D．2cosx6．函数y＝eq\f(x2,x＋3)的导数是()A.eq\f(x2＋6x,x＋32) B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,x＋32) D.eq\f(3x2＋6x,x＋32)7．函数y＝x5ax(a>0且a≠1)的导数是()A．5x4axlna B．5x4ax＋x5axlnaC．5x4ax＋x5ax D．5x4ax＋x5axlogae8．下列求导数运算正确的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx9．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)－g(x)为常数函数C．f(x)＝g(x)＝0D．f(x)＋g(x)为常数函数10．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()A.eq\f(19,3) B.eq\f(16,3) C.eq\f(13,3) D.eq\f(10,3)11．下面四组函数中，导数相等的一组是()A．f(x)＝2x＋1与g(x)＝2x－1B．f(x)＝sinx－cosx与g(x)＝cosx－sinxC．f(x)＝x－1与g(x)＝2－xD．f(x)＝sinx＋cosx与g(x)＝sinx－cosx12．物体自由落体运动方程为s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，那么下面说法正确的是()A．9.8m/s是0～1s这段时间内的平均速度B．9.8m/s是从1s到(1＋Δt)s这段时间内的速度C．9.8m/s是物体在t＝1这一时刻的速度D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f(x)＝2x3＋3x2－5x＋4的导数f′(x)＝______________，f′(3)＝________.14．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为________．15．曲线y＝f(x)＝cosx在点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3),2)))处的切线方程为________________．16．函数f(x)＝(2x＋5)4在点P(－2,1)处的导数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求下列函数的导数．(1)y＝x2(x＋2)6；(2)y＝xsin2xcos2x.18．(12分)已知函数y＝x3＋ax2－eq\f(4,3)a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的值．19.(12分)已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲线C在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由．20．(12分)若f(x)＝log3(x－1)，求x＝2处的导数值及切线方程．21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像经过P(0,2)且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数y＝f(x)的解析式．22．(12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)·f(x答案1．B[s′＝eq\f(1,5\r(5,t4)).当t＝4时，s′＝eq\f(1,5)·eq\f(1,\r(5,44))＝eq\f(1,10\r(5,23)).]2．B3．D[当自变量的改变是Δx时，函数的改变量为f(x0＋Δx)－f(x0)．]4．B5．A[y′＝(sinx－cosx)′＝cosx－(－sinx)＝cosx＋sinx．]6．A[y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x＋3)))′＝eq\f(2xx＋3－x2,x＋32)＝eq\f(x2＋6x,x＋32).]7．B[y′＝(x5ax)′＝5x4ax＋x5axlna．]8．B[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)，(3x)′＝3xln3，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx．]9．B[f(x)与g(x)的导数相同，根据导数公式和导数运算法则，两函数的差为常数．]10．D[f′(x)＝3ax2＋6x，因f′(－1)＝4，所以有f′(－1)＝3a(－1)2则a＝eq\f(10,3).]11．A12.C13．6x2＋6x－567解析f′(x)＝(2x3＋3x2－5x＋4)′＝6x2＋6x－5，f′(3)＝6×32＋6×3－5＝67.14．315．x＋2y－eq\r(3)－eq\f(π,6)＝0解析∵f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，∴f′(eq\f(π,6))＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2)，∴在点A处的切线方程为y－eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即x＋2y－eq\r(3)－eq\f(π,6)＝0.16．8解析f′(x)＝[(2x＋5)4]′＝4(2x＋5)3×2＝8(2x＋5)3，f′(－2)＝8(－2×2＋5)3＝8.17．解(1)y′＝[x2(x＋2)6]′＝2x·(x＋2)6＋x2·6(x＋2)5＝4x(x＋2)5(2x＋1)．(2)y＝xsin2xcos2x＝eq\f(1,2)xsin4x.∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)xsin4x))′＝eq\f(1,2)sin4x＋eq\f(x,2)cos4x·4＝eq\f(1,2)sin4x＋2xcos4x.18．解y′＝3x2＋2ax，令y′＝0，则3x2＋2ax＝0，x1＝0，x2＝－eq\f(2,3)a，当x＝0时，y＝0＝－eq\f(4,3)a，∴a＝0，即a＝0满足条件，当x＝－eq\f(2,3)a时，y＝0＝－eq\f(8,27)a3＋eq\f(4,9)a3－eq\f(4,3)a，得a＝0或a＝±3，检验知a＝±3不满足条件，∴常数a的值为0.19．解(1)y′＝12x3－6x2－18x，∴f′(1)＝－12.所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12，所以所求方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.(2)设与曲线C还有其他公共点，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x4－2x3－9x2＋4,y＝－12x＋8))，整理得x3(3x－2)－(3x－2)2＝0，即(3x－2)(x3－3x＋2)＝0，即(x＋2)(3x－2)(x－1)2＝0.所以x＝－2，x＝eq\f(2,3)，x＝1.即除切点外还有交点(－2,32)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0)).20．解据复合函数的求导法则，f′(x)＝[log3(x－1)]′＝eq\f(1,x－1ln3)(x－1)′＝eq\f(1,x－1ln3)，则f′(2)＝eq\f(1,2－1·ln3)＝eq\f(1,ln3)，即此点处的切线斜率为eq\f(1,ln3)，切点(2,0)，则切线方程为y＝eq\f(1,ln3)(x－2)．21．解由f(x)的图像经过P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由在点M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2b＋c＝6,－1＋b－c＋2＝1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－c＝－3,b－c＝0))，解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.22．解(1)依题意可设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由f(0)＝3，得d＝3.由f′(0)＝0，得c＝0.由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝－3，,12a＋4b＝0，))解得eq\