吉林省白山市2024届高三数学上学期第一次模拟考试（含解析）

2024年白山市高三第一次模拟考试

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.设集合人=卜|丁=7^},B=七Wo},则A3=（）

A.（2,4）B.[2,4）C.（2,4]D.0

2.复数z=/+2z2+3『，则z的虚部为（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

3.已知。=（一2,2）,&=（3,1）,若a在向量力上的投影为c，则向量°=（）

唱9B,联）c-H,4）

4.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建

设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须

站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

5."-lWb<l"是"方程有唯一实根”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数。，

b,x,y，满足土+之三（a+b），当且仅当3=2时，等号成立,则函数=3+（0<x<R

xyx+yxyxl-3x13）

的最小值为（）

A.16B.25C.36D.49

7.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（）

A.直线AE与CT是异面直线B.平面ABF±平面ABE

C.该几何体的体积为D.平面ABE与平面DCF间的距离为----

33

8.不与坐标轴垂直的直线/过点N（5,0）,x°wO，椭圆。：；+方=1（。〉。〉0）上存在两点A,8关于/

对称，线段的中点/的坐标为（4%）.若％=2/，则。的离心率为（）

A/3106

A.---B.-C.---D.---

3222

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知

她在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为茗[=1,2,3,4,5,6,7）,平均数为最,方差为根.若7

个成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余5个成绩的平均值为y,方差为〃，则（）

A.y一定大于xB.y可能等于xC.机一定大于〃D.旭可能等于〃

515

10.公差不为零的等差数列｛q｝满足同=«8，S-----=2，则（）

k=iakak+\96

A.%=0B.d=+4C.ax=24D.S15=60

11.已知函数"X）=2sin（0X+e）（0〉0,0<e<彳］的相邻两对称轴的之间的距离为£,函数/x+£

为偶函数，则（）

71

A.0=一

6

B.-0为其一个对称中心

rr

C.若〃龙）在（—a,a）单调递增，则0<aW'

1rr

D.曲线y=/（x）与直线丁=5工+彳有7个交点

12.已知抛物线C:V=6x的焦点为F,过点F的直线I交抛物线于A、8两点，若人为C的准线上任意一

点，则（）

jr

A.直线若AB的斜率为百，则\AB\=16B.Z4MB的取值范围为0,-

2

273

C.OAOB=——D.NAC归的余弦有最小值为-《

4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

5+sin10。

13.化简

3-cos250°

14.已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45,则展开式的常数项为.

15.在四面体A—5CD中，BC=2®,BD=2逐，且满足BCLBD,AC±BC,AD,50.若该三棱

锥的体积为半，则该锥体的外接球的体积为.

16.已知函数了(%)的定义域为R,S.f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),/(l)=1,请写出满足条件的一

个/(尤)=(答案不唯一)，/(2024)=.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知等比数列｛4｝满足q=2,且%+%=20.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足b“=nq,｛bn｝其前，项和记为S“，求S”.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=bcosC-*csinB.

(1)求角B；

(2)过6作应＞，班，交线段AC于。，且AO=2DC，求角C.

19.(12分)如图所示，在矩形A3C。中，AB=3,AD=2,DE=2EC,。为AE的中点，以AE为折

痕将向上折至D-AE-B为直二面角.

(1)求证：DOLBC；

(2)求平面D钻与平面。CE所成的锐角的余弦值.

20.(12分)俗话说："人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师

准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍

数，则称为“完美投掷"，出现"完美投掷"，则记4=1；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为"不完美

投掷"，出现"不完美投掷"，则记4=0；若J=1,则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和

33

休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为g,而选择了浅色后，再选西装的可能性为而.

(1)求出随机变量J的分布列，并求出期望及方差；

(2)求张老师当天穿西装的概率.

22

21.(12分)已知A,8分别为双曲线E:左-卓=1(。,10)的左、右顶点，河为双曲线E上异于A、B

的任意「点，直线回、处斜率乘积为:焦距为2"

(1)求双曲线£的方程；

(2)设过T(4,0)的直线与双曲线交于C，。两点(C,。不与A,6重合)，记直线AC,8。的斜率为

鼠，鼠，证明：为定值.

k2

22.(12分)已知函数/(x)=lnx—依+1(左为常数)，函数g(x)=aJT^+b.

(1)若函数/(%)有两个零点，求实数上的取值的范围；

(2)当左=0,设函数/2(x)=g(x)-〃x),若/z(x)在［e］］上有零点，求/+廿的最小值.

2024年第一次高三模拟考试

数学监测试卷答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.答案：B【详解】■,A=[2,4W）,B=[0,4）,/.Ai3=[2,4）；故选B

2.答案：D【详解】、二一？—2,，工的虚部为—2；故选D.

3.答案：D【详解】•.•°=普二=一（3,1）=（—•|，—];故选D

\b\\b\5'，I5

4.答案：B【详解】总的方法数为N=上年&段看看二432；故选B

5.答案：A【详解】方程=x+b有唯一解，即直线y=x+b与上半圆y=凶二百有且仅有一个交点，

解得〃的取值范围为[-1,1）,{0},

二-1W6<1是方程=有唯一解的充分不必要条件；故选A.

6.答案：D【详解】因为。,b,x,y，则三+匕洋（"+"），当且仅当3=2时等号成立，又0<x<!，

xyx+yxy3

3242（3+4『141

即1—3x>0,于是得/（。=丁+「1三°I、=49,当且仅当一=丁一1,即％=—时取,

'）3xl-3x3x+（l-3x）xl-3x7

所以函数的/（%）=-+T-[0<x<与最小值为49.

xl-3x<3）

7.答案：D【详解】/A,E,C,厂四点共面，直线AE与CF是共面的；，A错

取中点G,连接EG、FG,则/EGF为二面角石—A3—尸的平面角，

其余弦值为；8错

V=-X4X2A/2=-V2;r.C错

23

连接AC、8。设交于。，则O-ABE为正三棱锥，其底边长为2，侧棱长为点,所以。到平面ABE的距

离手,所求平面ABE与平面间的距离为半；D正确

E

8.答案：C【详解】设。为坐标原点，在椭圆。中，kk=~—,又桃”=T，

0MABa

■.kOM=耳■勺即又=土，又x=2%,.•.与=《，所以所求离心率为坐;故选C.

aX]a'%；-x0a~22

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部

选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分)

9.答案：BC【详解】七个数据，去掉最高和最低，对平均值可能没有影响，但数据更加集中于平均值，所以

方差变小.

10.答案：AD【详解】由同=为得，4+4=0，根据等差数列性质知%=。，又小>0，・">。

巾61_5if15_5_5_5,.

普以/+196a6Jaxa6\an-6t7)(<27-d)6d96

所以，5=15/=15(%+d)=60；故选:AD.

rr

11.答案：ACD【详解】由题意7=万，故G=2,又y=/(x)的图象向左平移(个单位得到

JTJTJT"TT

y=2sin12%+0+"所以；+夕=左乃+彳(keZ),S.0<(p<-,,所以A正确；

3226

因为/(%)=2sinf2%+看

令一工+2左乃W2%+2W2+2左》=-2+左；rWxW工+左〃，keZ，故易知/(%)在一工二单调递

26236I36J

77

增，故0<〃或二，C正确；

6

直线y=；x+或与曲线y=/(x)均过点，且该直线与曲线y=/(x)均关于该点中心对称，

当x=?7TT时，y=—STF<2，当X=*1377时，y=TQTT>2，由对称性可知曲线y=〃x)与直线y=71X+W77

6868224

有7个交点，故D正确.

故选：ABD.

12.答案：BCD【详解】对于A选项，设的倾斜角为。，则ABug7ng；故八错

sirr0

对于B选项，：以为直径的圆与准线相切，点/在以为直径的圆上或圆外，

TT

:.ZAMB^-,当/在直线AB上时，,NAMB=O;故B正确

2

对于c选项，设A(XQI),8(%，%)，OAOB=Xi%+%%=!yfyl+%%，

36

3

3x—ty——.27

i§.AB;x=ty+—，联立<2，易得％%=-9，二。4・。5=-三，故C正确

/=6x*

_27_27

对于D选项，cosZAOB=卜产==4

网国GF)尸引,8喘+?(…)

_27

3

又%+%=6，,cosZAOB=j4------三一一；故D正确.

J8Lx—+81?25

V16

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案：2

5+sin1005+sin1005+sin1005+sin10°

2===

1洋角牛13-cos50°a1+cos100°5cos100°5+sin10°

2222

-21

14.答案：—

2

Cl_21

【详解】-y+C；=45,解得〃=9,常数项为4（&丫

1~一万

15.答案:367r

【详解】将四面体A-5co放在长方体中，根据锥体的体积，易求得，长方体的长宽高分别为2若，2后和

4,所以四面体外接球的直径为6，体积为36%.

【详解】令x=y=0，贝t|r(0)=2/(0)，解得"0)=2或/'(0)=0,

若/(0)=0,令无=1,y=0,则2/(1)=/(1)/(。)=0,即/(1)=0与已知矛盾

・1(0)=2,令x=0,则〃y)+/(—y)=2〃y),「"(x)为偶函数

令y=l,则/(x+l)+/(x-l)=f(x),可推出，〃龙)以6为周期

结合以上特征，找到满足条件的一个函数为/（x）=2cos§x,结合”龙）以6为周期，则

/（2024）=/（2）=-1,

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（1）设等比数列的公比为q,由已知，得/+q—10=0（*）

易观察，2是（*）方程的一个根，—2）（/+2q+5）=0

n

：q=2又q=2,:.an-2.

(2)由(1)知，bn=n,2〃

2

.-.sn=1x2'+2X2++〃X2"(1)

23

2Sn=1X2+2X2++〃x2"i(2)

(1)-(2)得，—S.=1x21+1x2?+1x2n-nx2n+1-(1-n)2n+1-2

+1

Sn=(n-l)2"+2

18.解：(1)由正弦定理得:sinA=cosCsinBsinCsinB.

「A=»—(JB+C),..sinA=sin(jB+C)

/.sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB-^-sinCsinB

百

/.cosBsinC=------sinCsinB,

3

i—

又sinCwO，,tan3=—j3,又A为三角形内角，,A=《-.

2-1-.

(2)因为。在AC边上，且AD=2OC,^BD=-BC+-BA.

因为血，胡,所以3。3=00］；痴+：5。)痴=0=痴2+23。3=0,

所以c~=acnc=a.

(1)证明：由已知=D石=2,且。为线段AE的中点，二。。，AE

又平面ZME_L平面AECB,且平面DAE平面A£CB=AE,DOu平面ZME1

..00_L平面AECB,又3Cu平面A£CB,.DOLBC.

（2）设厂为线段AB上靠近A的三等分点，G为BC的中点，

由已知OF_LOG,又。平面AECB

DOLOF,OD±OG,

以。为坐标原点，OF,OG,8所在直线分别为x,y,2轴建立如图所示坐标系

.DA=2,AB=3,.'.A（l,-l,0）,3（1,2,0）,。（0,0,后）,£（-1,1,0）,C（-l,2,0）

/.AB=（0,3,0）,3D=（-1,-2,0）,EC=（0,1,0）,DC=应）

设平面AD5的法向量为加=（%,%,zj,

AB-m=03%=0

则,即

DB-m=0_再_2必+A/^Z]—0

不妨令4=0,则机=（2,0,0）

同理，平面。CE的法向量

〃=（2,0,一q,cos=

3

所以平面DAB与平面DCE所成的锐角的余弦值为1.

20.解：（1）随机变量4的取值为0,1

P（^=0）=—=-,P（^=l）=—=-

v7363v7363

所以占的分布列为：

01

21

P

3

7ii

E（^）=0x-+lx-=-.

。⑷mw+1°一3X|=I

（2）设A表示深色，则了表示穿浅色，8表示穿西装，则万表示穿休闲装.

根据题意，穿深色衣物的概率为P（A）=g,则穿浅色衣物的概率为P（N）=g,

穿深色西装的概率为P（B|A）=0.6=|，穿浅色西装的概率为。（8区）=鼻,

则当天穿西装的概率为P（8）=P（8|A）P（A）+P仅同网可=gx*x.

2

所以张老师当天穿西装的概率为j.

21.解：（1）设/（%,%），A（-a,0）,B（a,0）,

一石就17火片一）

,~a2~Tb2~L，一>0—a2'

b2（x；-a2）

.k_k；-%-a?:护「

''^MA^MB222

xQ+axQ-axQ-aa

又•.•焦距为26，可得2c=26，则。2=7,

结合a2+b2=c2,tz2=4,b2=3