2023-2024学年北京市丰台区九年级上学期期末数学模模拟试卷（含详解）

2023-2024学年北京市丰台区九年级上学期期末模考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的

1.为推动世界冰雪运动的发展，我国于2022年2月2日至20日举办了北京冬奥会.以下是冬奥会会标征集活动

中的部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

工9a

C.

吩BEIJING2022BEIJING

Be2022—2022—BEiJiNG"U

0(^)OOP

2.把一元二次方程N+12x+27=0,化为（x+p）2+q=0的形式，正确的是（）

A.(x-6)2-9=0B.(x+6)2-9=0

C.(x+12)2+27=0D.(无+6)2+27=0

3.如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合.（）

A.90B.135C.180D.270°

4.将抛物线y=-2炉+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（）

A.y=-2(x+l)2-1B.y=—2(1)2+3

C.y=—2(1)2-1D.y=—2(x+l)+3

5.已知二次函数y=o?+区+c（〃wo）的图象如图所示，关于〃，。的符号判断正确的是（）

A.。>0,c>0B.〃>0,c<0C.〃V0,c>0D.a<0,c<0

6.如图，在中，NABC=90°,A5=8,5C=6,。为线段AB上的动点，连接C£＞，过点8作BE,CD

交CD于点E,则在点。的运动过程中，求线段AE的最小值为（）

A

D.乎

A.10B.773-3C.5

7.二次函数y=ax?+bx+c的自变量尤与函数值y的部分对应值如下表:

・・・-2-10245・・・

y.・・-7-211-7-14・・•

下列说法正确是（）

A.抛物线开口向上B.当1>1时，y随尤的增大而增大

C.二次函数的最大值是2D.抛物线与无轴只有一个交点

8.如图，在中，ZBAC=9Q°,AB=AC,。为3C边上一点，将△⑷3。绕点A逆时针旋转90。得

到八4。£,点、B、。的对应点分别为点C、E,连接跳，将AC平移得到。/（点A、C的对应点分别为点。、

F）,连接AF,若AB=3后,BD=2,则AF的长为（）

A.2A/10B.6C.672D.722

二、填空题：本题共8小题，共36分（9、10小题各3分，其余小题各5分）

9.方程f=x的解是

10.己知点A（l,m）与4（力,一3）关于原点对称，则〃2〃=.

11.若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为（0,1）,那么这个二次函数的解析式可以为.（只需写一

个）

12.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG,AE交CD

于点且DH=EH,则的长为

13.已知尸（XI,1）,Q（X2,1）两点都在抛物线>=尤2-4x+l上.那么Xl+X2=.

14.若二次函数y=-x2+6x-m的图象与无轴没有交点，则m的取值范围是.

15.有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm,露在墙体外侧的弦长

AB=18cm,其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD=cm.

16.已知aN2,m^n,m2—2am+2=0>n2—2an+2=0»求1)~+(〃—的最小值是

三、解答题：本题共12小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解下列方程:

(1)(%-l)(x+3)=%-1

(2)2x2-6x--3

18.如图，点E是国ABC的内心，AE的延长线和回ABC的外接圆相交于点D.

（1）当EIABC的外接圆半径为1时，且EIBAC=60。，求弧BC的长度.

（2）连接BD,求证：DE=DB.

19.己知关于x的一元二次方程d+(2m+l)x+77?-2=0.

(1)求证：无论相取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)当该方程的判别式的值最小时，写出机的值，并求出此时方程的解.

20.如图，在平面直角坐标系中，将钻绕点。顺时针旋转90。得到△C'A'3',点A旋转后的对应点为A,

21.在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标尤，纵坐标y的对应值如下表:

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)画出这个二次函数的图象;

(3)若y<-3,结合函数图象，直接写出x的取值范围.

22.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克,

后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周销售量可增加40千克.在平均每周获利不变的情况

下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克茶叶应降价多少元？

23.如图，在VA3C中，ZBAC=9Q°,。是3C中点，连接AD分别过点A,点C作A石〃3C,CE//DA,

交点为E.

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若NB=60°,AB=6,求四边形AECD面积.

24.在平面直角坐标系xOy中，一次函数丁=丘+匕的图象过点。,3),(2,2).

(1)求这个一次函数解析式；

(2)当x>2时，对于x的每一个值，一次函数丁=如的值大于一次函数丁=丘+匕的值，直接写出机的取值范

围.

25.掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平

面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度V(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关

系y=a(x—h¥+k(a<0).某位同学进行了两次投掷.

(1)第一次投掷时，实心球的水平距离％与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m0246810

竖直距离y/m1.672.632.952.631.670.07

根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x-0)2+左(。<0)；

(2)第二次投掷时，实心球的竖直高度了与水平距离工近似满足函数关系》=-0。9(》-3.8)2+2.97.记实心球第

一次着地点到原点的距离为4,第二次着地点到原点的距离为4，则4d2(填“>”"=”或

26.如图，已知抛物线为=炉+机》与无轴交于点4(2,0).

(1)求〃2的值和顶点M的坐标;

(2)求直线40的解析式必；

(3)根据图象，直接写出当“〉为时x的取值范围.

27.如图，正方形ABCD和正方形。EFG有公共顶点D

图1图2

(1)如图1,连接AG和CE,直接写出AG和CE的数量及位置关系；

(2)如图2,连接AE，M为AE中点，连接。M、CG,探究QM、CG的数量及位置关系，并说明理由；

28.如图1,直线A3分别与X轴、y轴交于A、8两点，0c平分/AO3交于点C,点。为线段上一

点，过点。作Z)E〃0C交y轴于点E,已知AO=加，BO=n,且机、w满足"2一8〃+16+|〃-2时=0.

图1

(1)求A、8两点的坐标?

(2)若点。为AB中点，求0E的长?

(3)如图2,若点P(M—2尤+6)为直线在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点

作等腰直角！PEF，使点尸在第一象限，且尸点的横、纵坐标始终相等，求点尸的坐标.

2023-2024学年北京市丰台区九年级上学期期末模考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的

1.为推动世界冰雪运动的发展，我国于2022年2月2日至20日举办了北京冬奥会.以下是冬奥会会标征集活动

中的部分参选作品,其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

工9a

C.

吩B日JING2022BEIJING

Be2022—2022—BEiJiNG"U

0(^)

【答案】A

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意;

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意;

C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意;

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，图形两部分

沿直线折叠后可重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180度后与原图重合.

2.把一元二次方程/+12x+27=0,化为Q+p）2+q=0的形式，正确的是（）

A.(x-6)2-9=0B.(x+6)2-9=0

C.(x+12)2+27=0D.(x+6)2+27=0

【答案】B

【分析】利用完全平方公式进行判断.

【详解】解：•.•N+12x+27=0,

.'.x2+12x+62-62+27=0,

(尤+6)2-9=0.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的变形，需要学生了解配方法的步骤并将方程进行正确变形，解题关键是了解配

方法.

3.如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合.（）

A.90B.135C.180D.270°

【答案】B

【分析】据旋转中心、旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点，可知图中的旋转中心就是该图的几何中心，即

点O.该图绕旋转中心。旋转90。，180。，270°,360°,都能与原来的图形重合，再利用中心对称图形的定义即可求

解.

【详解】解：图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O.该图绕旋转中心O旋转90。，180。，270°,360°,都能

与原来的图形重合，

故只有135不能与原图形重合.

故选：B.

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.也考查

了旋转中心、旋转角的定义及求法.对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角.

4.将抛物线＞=-2炉+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位后所得到的抛物线为（）

A.y=-2（x+l）2-1B.y=-2（%-l）2+3

C.y=-2（x-l）2-1D.y=-2（x+l）2+3

【答案】C

【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，在％处进行；上加下减，在函数值处进行.

【详解】解：根据抛物线的平移规律，抛物线丁=-2炉+1向右平移1个单位，

得：y=-2（x-iy+1,

再向下平移2个单位后，

得：y=-2（x-l）2+l-2

整理得：y=—2（x—I）?—1,

故选：C.

【点睛】本题考查了抛物线平移问题，解题的关键是：掌握平移的规律，左加右减，在x处进行；上加下减，在

函数值处进行.

5.已知二次函数y=G?+Zu+c（awO）的图象如图所示，关于。，c的符号判断正确的是（）

B.a>0,c<0C.a<0,c>0D.a<0,c<0

【答案】B

【分析】根据开口方向可得。的符号，根据对称轴在y轴的哪侧可得人的符号，根据抛物线与y轴的交点可得。

的符号.

【详解】解：抛物线开口向上,

a>0,

抛物线的对称轴在y轴的左侧,

:.b>0,

抛物线与y轴交于负半轴,

c<0.

故选：B.

【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向上，。＞0；对称轴在y轴左侧,

a,匕同号；抛物线与y轴的交点即为C的值.

6.如图，在中，NABC=90°,A5=8,5C=6,。为线段48上的动点，连接C£＞，过点2作BE,CD

交。于点E,则在点。的运动过程中，求线段AE的最小值为（）

B

口•岁

A.10B.V73-3C.5

【答案】B

【分析】由CD得出点E在以3C为直径圆上，求出AO的长度，当A、0、E三点共线时，AE取得最小值,

据此即可得出答案.

【详解】解：设3C的中点为点。，以。为圆心，3C为直径画圆，如图:

■:BELCD,BC=6,

.•.点E在以。为圆心，半径为3的圆上,

2

OE=OB—3,

VZABC=9Q°,AB=8,

AO=A/AB2+BO2=V82+32=773，

..•两点之间线段最短，

.,.当A、0、E三点共线时，AE取得最小值，

此时，AE=AO-OE=413-3,

故选：B.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点E在“以。为圆心，半径为工3。=3的圆上”是解决问题的

2

关键.

7.二次函数y^ax2+bx+c的自变量无与函数值y的部分对应值如下表：

X.・・-2-10245・・・

y.・・-7-211-7-14•・・

下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向上B.当1>1时，y随尤的增大而增大

C.二次函数的最大值是2D.抛物线与x轴只有一个交点

【答案】C

【分析】利用表格中的数据可求得二次函数的解析式，再化为顶点式，根据函数图象性质逐一判断即可得解.

【详解】解：：当x=0时，y=l；当％=2时，y=l；X=—2时，y=-7

c=1

4a+2匕+c=1

4a-26+c=—7

a——\

.，・<b-2

c-\

...二次函数的解析式为：y=—必+2x+1=—（x—1）2+2

.1•«=-1；对称轴是：直线x=l；顶点坐标是（1,2）；当y=0时，玉=—1+及、％=-1—1

抛物线的开口向下；当％>1时，y随尤的增大而减小；二次函数的最大值是2；抛物线与左轴有两个交点

，选项中只有C是正确的.

故选：C

【点睛】本题主要考查了待定系数法、二次函数一般式转化为顶点式、二次函数的图象性质、抛物线与％轴交点

情况等，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键.

8.如图，在RtZkABC中，44c=90°,AB=AC,D为BC边上一点,将△AB£）绕点A逆时针旋转90。得

到八4。£,点8、。的对应点分别为点C、E,连接鹿，将AC平移得到。尸（点A、C的对应点分别为点

F）,连接AF,若A5=3&，BD=2,则AF的长为（）

A.2MB.6C.6A/2D.722

【答案】A

【分析】由旋转的性质可得3D=CE=2,/ACE=NABD=45°,由勾股定理可求BE,由“SAS”可证

AABE^ADFA,可得BE=A尸.

【详解】解：（1）VZBAC=90°,AB=AC=3亚,

：.ZABC=ZACB=45°,BC=7AB2+AC2=6-

:将△A3。绕点A逆时针旋转90°得到

：.BD=CE=2,ZACE=ZABD=45°,AD=AE,/DAE=9Q°,

：.ZBCE=90°,

：・BE=7BC2+CE2=J36+4=2而；

u：ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC+ZDAE=1SO°,

.,.ZBAE+ZDAC=180°,

〈AC平移得至!J。尸，

：.AC=DF=AB,AC//DF,

：.ZADF+ZDAC=180°,

・•・NADF=NBAE,

在△ABE和△。以中，

AB=DF

</BAE=ZADF,

AE=AD

：.^ABE^ADFA(SAS),

/.BE=AF=2y/lQ,

故选：A

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用性质性质解决问题是本

题的关键.

二、填空题：本题共8小题，共36分(9、10小题各3分，其余小题各5分)

9.方程Y=x的解是

【答案］%=0,々=1

【分析】移项后根据因式分解法求解方向即可.解题的关键是因式分解法在解一元二次方程中的灵活运用.

【详解】•/X2=X

=0

*=0或%一1=0

苞=0,々=1

故答案为：Xj=0,x2=1.

10.已知点A(l,%)与4(〃-3)关于原点对称，则.

【答案】一3

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出相，"的值，即可求解.

【详解】解：•.,点A（1,m）与点4（小-3）关于坐标原点对称,

.\n=~l,m=3,

mn=—3

故答案为：一3.

【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的特征，关于原点对称的点横纵坐标都变为原来的相反数.

11.若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为（0,1）,那么这个二次函数的解析式可以为.（只需写一

个）

【答案】y^-2x-+l（答案不唯一）

【分析】由二次函数的图象开口向下，可知。为负数，取。=-2,再由顶点坐标为（0,1）,即可得出二次函数的解

析式.

【详解】•.•二次函数的图象开口向下，

可知。为负数,取。=-2,

,顶点坐标为（0,1）,

...二次函数的解析式为：

y=-2（x-0）2+l=-2x2+1,

故答案为：y=-2N+1（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握顶点式的特点是解决问题的关键.

12.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,将矩形ABC。绕点A逆时针旋转得到矩形但G,AE交CD

于点H,且DH=EH,则AH的长为.

【答案】一##6.25

4

【分析】由旋转的性质可得AE=A3=8,设DH=EH=x,则AH=8—x,在Rt_ADH中，由勾股定理得

AD2=AH2-DH2＜即6?=（8—求x的值，进而可得的值.

【详解】解：由旋转的性质可得AE=A3=8,

设DH=EH=x,则AH=8—x,

在RtAZ史中，由勾股定理得的＞2=4x2—082,

即62=（8-X）2-X2,

7

解得x=—,

4

・8-x-竺

4

25

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键在于对知识的熟练掌握和灵活运用.

13.已知产(xi,1),Q(%2,1)两点都在抛物线y=/-4x+l上.那么xi+x2=.

【答案】4

【分析】根据尸、。两点坐标可知，P、。两点关于对称轴对称，根据轴对称的性质求解即可.

【详解】解：P(xi,1),Q(及，1)两点都在抛物线y=N-4x+l上，纵坐标相等，

，P、。两点关于对称轴x=2对称，

.'.X1+尤2=4,

故答案为:4.

【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到尸、。两点关于对称轴对称求解.

14.若二次函数y=-x2+6x-m的图象与无轴没有交点，则m的取值范围是.

【答案】根〉9

【分析】利用判别式意义得到4=62-4X(-1)X(-m)<0,然后解不等式即可.

【详解】解：；二次函数y=-N+6X-机的图像与x轴没有交点，

/.△=62-4X(-1)X(-m)<0,

解得〃z>9.

故答案为m>9.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=oy2+6x+c(a,b,c是常数，存0)与无轴的交点坐标

问题转化为解关于尤的一元二次方程；△=按-4成决定抛物线与x轴的交点个数.

15.有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm,露在墙体外侧的弦长

AB=18cm,其中半径OC垂直平分AB,则埋在墙体内的弓形高CD=cm.

【答案】3

【分析】根据垂径定理得出AD=LAB,根据勾股定理得到on再根据线段的和差关系求co的长度即可.

2

【详解】解：垂直平分

AD=—AB=9cm,/ADO—90°,

2

在Rti^ADO中，

OD=yjo^-AD-=A/152-92=12，

CD=OC-OD=15-12=3cm,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出=JA3=9cm是解题的关键.

2

16.已知m^n,^n2—2am+2=0»n2—2an+2=0»求(根—+(〃—的最小值是.

【答案】6

【分析】本题考查了根与系数的关系以及二次函数的最值，利用根与系数的关系找出

(根—iy+(〃—1)2=(24—1)2—3是解题的关键.由题意可知办及是关于X的方程——2依+2=0的两个根，根

据根与系数的关系可得出m+n=2a、mn—2,将其代入(加一1了+^-1)2=(加-2mn-2[m+n)+2中即

可求出结论.

【详解】,**m2-2am+2=0，n2-2an+2=0且加w〃，

・..根、〃是关于X的方程％2—2依+2=0的两个根，

mA-n—2a>mn-2,

(m—l)2+(H—l)2

=m2-2m+l+n2-2n+l

=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2

=4a2-4-465+2

=(2a-l)2-3

a>2,

.,.当a=2时，(加一1)~取最小值，

(m—1)+(〃—1)~的最小值=(2x2—I)?—3=6"

故答案为6.

三、解答题：本题共12小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解下列方程：

(1)(X-l)(x+3)=x—1

【答案】(1)X=1,X=-2

G3+733-6

⑵

【分析】(i)根据因式分解法解一元二次方程;

(2)根据公式法解一元二次方程

【小问1详解】

(%—1)(%+3)=%-1,

(x-l)(x+3)-(x-l)=0,

(^-l)(x+3-l)=0,

(x-l)(x+2)=0,

解得x=l,x=-2；

【小问2详解】

2x~—6x——3i

即2/一6%+3=0,

a=2,b=—6,c—3,A=/?"—4-ac=36-24=12，

-b±J/-4ac6±2A/3

x=------------------=----------，

2a4

3+733-0

--------,x,=--------

222

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

18.如图，点E是回ABC的内心，AE的延长线和回ABC的外接圆相交于点D.

(1)当I3ABC的外接圆半径为1时，且［3BAC=60。，求弧BC的长度.

(2)连接BD,求证：DE=DB.

【答案】（1）-K；（2）详见解析.

3

【分析】（1）设AABC的外接圆的圆心为0,连接OB、0C,由圆周角定理得出/BOC=120。，再由弧长公式即可

得出结果；

（2）连接BE,由三角形的内心得出N1=N2,Z3=Z4,再由三角形的外角性质和圆周角定理得出

ZDEB=ZDBE,即可得出结论.

【详解】（1）解：设AABC外接圆的圆心为O,连接OB、OC,如图1所示：

VZBAC=60°,

/.ZBOC=120°,

好AArz12071X12

・••弧BC的长度=-------=-71.

1803

(2)证明：连接BE,如图2所示:

图2

,.・E是^ABC的内心，

・・・N1=N2,N3=N4,

VZDEB=Z1+Z3,ZDBE=Z4+Z5

Z5=Z2,

.\NDEB=NDBE,

ADE=DB.

【点睛】本题考查了三角形的外心与内心、圆周角定理、弧长公式、三角形的外角性质、等腰三角形的判定等知

识；本题综合性强，根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键.

19.己知关于尤的一元二次方程f+（2m+l）x+m-2=0.

（1）求证：无论加取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）当该方程的判别式的值最小时，写出根的值，并求出此时方程的解.

【答案】(1)见解析(2)m=0,为=—2,々=1

【分析】(1)判断判别式的符号，即可得证；

(2)求出判别式的值最小时的机的值，再解一元二次方程即可.

【小问1详解】

证明：VA=(2m+l)2-4x(m-2)=4m2+9,

m2>0>

A=4m2+9>0.

无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.

【小问2详解】

解：由题意可知，当m=0时，A=4疗+9的值最小.

将m=0代入x2+(2m+l)x+m-2=0,得/+工一2=0

解得：％1=—2,々=1.

【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程.熟练掌握判别式与根的个数

的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，将△CAB绕点。顺时针旋转90。得到△C'A'3',点A旋转后的对应点为A,

点3旋转后的对应点为B',点、C旋转后的对应点为C,

y八

->

X

(1)画出旋转后的△C'AB',并写出点A'的坐标;

(2)求点3经过的路径BB'的长(结果保留万).

【答案】⑴详见解析，点4的坐标为(2,1)

⑶3后

⑵-----兀

2

【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形，然后写出点A的坐标即可;

(2)先计算出08的长，然后利用弧长公式计算即可；

本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键.

【小问1详解】

OB=d于+乎=3万

，点5经过的路径的的长为吆需邑孚小

21.在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标尤，纵坐标y的对应值如下表:

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)画出这个二次函数的图象；

(3)若y<-3,结合函数图象，直接写出x的取值范围.

【答案】(1)y=-x2+2x

(2)见解析(3)x>3,x<-l

【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给

定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，也考查了二次函数的图象与性质.

(1)利用表中的数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(1,1),设二次函数的解析式为：

y=a(x—1)，+1,把点(0,0)代入求出a的值即可；

(2)利用描点法画二次函数的图象即可；

(3)根据y=-3时x的值，再结合函数图象得出y<—3时，x的取值范围即可.

【小问1详解】

解：由题意可得：二次函数的顶点坐标为(1,1),

设二次函数的解析式为：y=a(x-l)2+l,

把点(0,0)代入y=a(x-l)2+1得，a=-l,

故抛物线解析式为y=—(x—I)?+1,即>=—+2%；

【小问2详解】

解：由(1)知，抛物线顶点为(1,1),对称抽为直线x=l,过原点,

根据抛物线的对称性可得抛物线过(2,0),

解：当丁=一3时，一%2+2%=—3,

解得：%二-1,4=3,

结合函数图象，当yv—3时，％>3或XV—1.

22.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克,

后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克.在平均每周获利不变的情况

下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克茶叶应降价多少元？

【答案】每千克茶叶应降价no元

【分析】设根据每千克茶叶应降价x元，利用“利润等于每千克的利润乘以销售的数量来求出周销售利润”即可

得一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】设每千克茶叶应降价X元，每周利润为(400—240)x200,则平均每周可售出1200+千克，

依题意，得：(400—240)x200=(400—240—x)1200+,

解得：%]=0,x2=110,

•••为尽可能让利于顾客，赢得市场，

x=110,

答：每千克茶叶应降价no元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

23.如图，在VA5C中，ZBAC=9Q°,。是3C中点，连接AD.分别过点A,点C作,CE//DA,

交点为E.

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若28=60°,AB=6,求四边形AECD的面积.

【答案】(1)详见解析

⑵18百

【分析】(1)先证四边形AECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得=即可得

2

出结论；

(2)过点A作于点/，解直角三角形求出结果即可；

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四

边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键.

小问1详解】

解：证明：AE//BC,CE//DA,

，四边形AECD是平行四边形，

在VABC中，ZBAC=9Q°,。是5c中点,

:.AD=-BC=DC,

2

，四边形AECD是菱形;

【小问2详解】

过点A作于点/，则NAEB=90°,如图:

:.ZBAF=90°-ZB=3Q0,

AB=6,

・•・在中，BF=-AB=3,

2

根据勾股定理可得，AF=YIAB2-BF2=&2-32=3G，

在RtZkC4B中，ZBAC=90°,ZB=60°,ZACB=90°-ZB=30°,AB=6,

:.BC=2AB=12,

。是3c的中点,

:.DC=-BC=6,

2

S署形4“"=CD-AF=6x3^3=18A/3.

24.在平面直角坐标系中，一次函数y=Ax+匕的图象过点(1,3),(2,2).

(1)求这个一次函数的解析式;

(2)当x>2时，对于x的每一个值，一次函数丁=如的值大于一次函数y=Ax+b的值，直接写出机的取值范

H.

【答案】(1)一次函数的解析式y=—工+4；

(2)m>l

【分析】(1)用待定系数法求解即可;

(2)根据题意列出关于俄的不等式即可求解.

【小问1详解】

解：,••一次函数y=kx+b的图象过点(1,3),(2,2),

k+b-3

把（1,3）,（2,2）代入得：，

乙K十一乙

k=-l

解得:

b=4

，一次函数的解析式y=-x+4；

【小问2详解】

解：由（1）得：一次函数的解析式y=-x+4,

当x=2时，y=2,

当x>2时，对于x的每一个值，一次函数y=如的值大于一次函数了=丘+人的值，

把x=2代入丁=7侬得：y=2m,

2m>2，

解得：m>1.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活掌握所学知识是解题关键.

25.掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平

面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离X（单位：m）近似满足函数关

系y=a（x—丸）2+左（。<0）.某位同学进行了两次投掷.

竖直高度Wm，

3

2

/

I

O1234567891011

水平距离x/m

（1）第一次投掷时，实心球的水平距离》与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m0246810

竖直距离y/m1.672.632.952.631.670.07

根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x-九）2+左（a<0）；

（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度?与水平距离了近似满足函数关系/=-0.09（元-3.8）2+2.97.记实心球第

一次着地点到原点的距离为4,第二次着地点到原点的距离为。2,则4d2（填“>”"=”或

【答案】(1)2.95,y=-0.08(%-4)2+2.95

(2)>

【分析】(1)先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物

线解析式；

(2)设着陆点的纵坐标为0,分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为4和4,然后进

行比较即可.

【小问1详解】

解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为(4,2.95),

所以实心球竖直高度的最大值为2.95,

设抛物线的解析式为：y=a(无-4)2+2.95,

将点(0,1.67)代入，得1.67=16。+2.95,

解得a=-0.08,

抛物线的解析式为：y=-0.08(x-4)2+2.95；

【小问2详解】

解：第一次抛物线解析式为y=-0.08(尤-4)2+2.95,

令y=o,得到》=4+叵。，(负值舍去)，

4

第二次抛物线的解析式为y=-0.09(^-3.8)2+2.97,

令y=0,得到x=3.8+后，(负值舍去)

4+叵〉3.8+庖，

4

••2,

故答案为：>

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系

式.

26.如图，已知抛物线％+与无轴交于点4(2,0).

(1)求机的值和顶点M的坐标；

(2)求直线AM的解析式为；

(3)根据图象，直接写出当%>为时工的取值范围・

【答案】(1)m=—2,M(15­1);

(2)y2=x-2；

(3)x>2或％<1.

【分析】(1)将4(2,0)代入抛物线解析式，求得m,求出抛物线的对称轴，即可求解;

(2)^y2=kx+b,将A、V两点代入求解即可；

(3)结合函数图像，可得在A点的右边或M点的左边，满足％〉为，即可求解.

小问1详解】

解：将4(2,0)代入％=f+7^^:可得

4+2m=0,解得m=—2,即%=/一2x,

2

则yr=x-2x的对称轴为x=l

将x=l代入得，%=1-2=—1,即M(L—1)；

【小问2详解】

解：设为=依+。，将A(2,0),M。,—1)代入可得

2k+b=0k=\

一厂解得

b=-2,

即为=%-2；

【小问3详解】

解：由图像可得：当％〉为时x的取值范围为尤>2或x<l

【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，根据图象求解一元二次不等式，解题的关键

是熟练掌握二次函数的图象与性质.

27.如图，正方形ABCD和正方形。EFG有公共顶点D

图1图2

(1)如图1,连接AG和CE,直接写出AG和CE数量及位置关系.

(2)如图2,连接AE，M为AE中点，连接DM、CG,探究DM、CG的数量及位置关系，并说明理由;

【答案】(1)AG=CE,AG±CE；

(2)。暇，CG且CG=2Z)M,理由见解析

【分析】(1)如图，延长AG交。C于T,交