2024年上海市中考数学一轮复习：图形的相似 综合检测过关卷（解析版）

专题14图形的相似综合过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1.下列四条线段a,6,c,d中，不是成比例线段的是（）

A.a=l,6=2,c=4,d=8B.a=l,b=y/3,c=y/5,d=-J15

C.a=2,b=4,c=5,d=15D.a=\/2,b=2,c=V7,d=A/14

【答案】C

【分析】本题考查线段成比例的知识，可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的

积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例.

Z71「41Z7C

【详解】解：A、：=二=3=9\7=4,故四条线段3c,d是成比例线段，不符合题意；

62d82bd

B、2=4，匕=②==,\:=三,故四条线段6,G”是成比例线段，不符合题意；

b<3d屈下>bd

C、f=2=L三=9=L，/*二，故四条线段M,c,d不是成比例线段,符合题意；

042dl53bd

D、@=1,£=g=交，\?=:，故四条线段4,6,Gd是成比例线段，不符合题意.

b2d历2bd

故选：C.

2.在比例尺为1:30000的地图上量得AB两地的图上距离AB=5cm,则AB两地的实际距离为（）m

A.1.5xl02B.1.5xl03C.1.5xlO4D.1.5xlO5

【答案】B

【分析】本题主要考查了比例尺，根据比例尺等于图上距离除以实际距离，那么用图上距离除以比例尺即

可求出实际距离，据此求解即可.

13

【详解】解：5+=150000cm=1500m=1.5

故选B.

3.在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度

比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约

是（）

A.0.76mB.1.24mC.1.36mD.1.42m

【答案】B

【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键.设雕像的下部

高为何，由黄金分割的定义可列出等式求解即可.

【详解】解:设雕像的下部高为

雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m,

.x75-1

"2~25

x=A/5-1»1.24,

即该雕像的下部设计高度约是L24m,

故选B.

4.如图，正五边形ABCDE的几条对角线的交点分别为”,N,P,Q,R,它们分别是所在对角线的黄金分割

点.若AB=2,则MN的长为（）

A.3-75B.3+75C.5/5+1D.75-1

【答案】A

【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质

判定四边形为平行四边形，进而求出的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到的长.黄

金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键-

【详解】解：：五边形ABCDE为正五边形

180°x(5-2)

..AE=AB=2,ZEAB=ZABC=-------j-----^=108°,

ZAEB=ZABE=36。

同理可得/CB£>=36。

ZABD=108°-36°=72°

ZEAB+ZABD=108°+72°=180°

Z.AEBD

同理可证明EC〃AB

四边形ABME为平行四边形

：.EM=AB=2,BM=AE=2,

同理：DN=2,

•••拉、N为8。的黄金分割点

：.BD=2+^^=&1,

2

**-DM=BD—BM=-\/5—1,

：.MN=DN-DM=2-(y[5-V)=3-45,

故选：A.

5.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图

法.其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E,以E为圆心，线段£>£为半径作圆，其与底边

3C的延长线交于点孔这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG,称其为黄金矩形.若CF=4a,则

AB=().

A.^A/5—B.^2-$/5—2)0C.+D.(2A/^+2)4

【答案】D

【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握包=1二1,计算即

BF2

可.

【详解】解：设AB=x,

四边形ABCD是正方形，

/.AB=BC=x,

矩形ABFG是黄金矩形，

、AB75-1

\---=----------，

BF2

\XA/5-1

\--------=----------，

x+432

解得：X=(2+2呵a,

经检验：x=(2+2，可a是原方程的根，

\"=(2+2呵a,

故选：D.

6.如图，在正方形A3CD中，是等边三角形，BP、CP的延长线分别交于点E,F,连接

DF2

BD,DP,BD与CP相交于点”，给出下列结论：①NDPC=75。；@CF=2AE；③=7=彳；④

BC3

AFPD^APHB；®AF2=EFEB;其中正确结论的个数是()

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半;

三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可.

【详解】解：；ABPC是等边三角形,

：.BP=PC=CB,ZBPC=ZPCB=ZCBP=60°,

•••四边形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=DA,ZA=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

：.ZABE=ZDCF=30°,

：.CP=CD,

：.ZDPC=ZCDP=75°f故①正确；

△5PC是等边三角形，

ABP=PC=CB,Z.BPC=Z.PCB=ZCBP=ZEPF=60°,

•・,四边形ABCD是正方形，

AAD//BC,Z£>BC=45°,

.・./PEF=ZCBP=60°,ZPFE=ZPCB=60°,

ZPEF=ZPFE=ZEPF=60°,

J!PEF是等边三角形,

・•・PE=PF,

：.PE+BP=PF+CP,

:.BE=CF,

在RtA4BE中，ZABE=30°,ZA=90°,

JBE=2AE,

：.CF=2AE,故②正确；

・.,ZCDA=90°,ZCDP=75°,

・•・/PDF=15。,

•・•ZPBH=ZPBC-ZDBC=60°-45°=15°,

JZPDF=ZPBH,

ZBPH=ZDFP=60°,

:・AFP*公PHB,故④正确;

在RtOC尸中，ZDCF=30°,ZCDA=90°,

：.CF=2DF,DC=yJCF2-DF2=^2DF)2-DF2=^DF=BC,

.DF_DF_V3

故③错误;

9BC~6DF~3

设=贝！JCF=6石=2%，

根据勾股定理得：AD=AB=[BE2-AE2=瓜，

ZDCF=ZBCD-ZBCP=30°,ZCDF=90°,

，DF=LCF=X,

2

==-尤=（有_1）彳，

/.AF2=［便一1）=便一1jY=（4一26产，

EF=AE-AF=x-（^>-^x=（2-^x,

：.EF-EB=（2-y/3）x-2x=^4-2y/3）x2,

/.AF2=EFEB，故⑤正确.

综上分析可知，正确的结论有4个，故B正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定,

勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键.

7.如图，,ABC的BC边上有两点。、E,且VADE是正三角形，则下列条件不一定能使△ABD与

△AEC相似的是（）

A.ABAC=120°B.AC2=ECEBC.DE2=BDECD.ZE4C+ZB=60°

【答案】B

【分析】由VADE是正三角形，所以人。=4£=/汨，ZADE=ZDAE=ZAED=6O°,再根据相似三角形

的判定方法逐项分析即可.

【详解】解：；VADE是正三角形，

ZADE=ZAED=ZDAE=60°,

ZADB=ZAEC=120°

选项A,当NBAC=120。时，/3AD+NE4c=60。，

,?ZC+ZEAC=60°,

ZBAD=/C,

.ABD^CAE,

选项C,由DE?=BD-EC,

.DE_EC

・・茄-Bi

AD=AE=DE

.ADEC

BD~AE

又丁ZADB=ZAEC=nO°f

:.ABD^CAE,

选项D,由NBAZ）+ZB=60。，ZE4C+ZB=60°,

JZBAD=ZEACf

9：ZADB=ZAEC=120°

・•・_ABQsACE,

选项B条件不足以证明△ABO与△AEC,

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是关键.

8.如图，Z1=Z2=Z3,则图中相似三角形共有（）对.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】因为/C是公共角，Z1=N2=N3,所以可得，8叱,困~OR；易得DE〃AB,所以

ZDEA=ZEAB,可得..DE4sE43；所以共有4对.

【详解】VZC=ZC,N1=N2=N3

・•・CDEsCEA^,CAB,DE〃AB,

JZDEA=ZEAB,

，一DEAsE^B；

・••共有4对.

故选：B

【点睛】本题考查相似三角形的判定：有两组对应角相等的三角形相似.

9.如图，平行四边形ABCD,G是AD延长线上的一点.BG交CD、AC于点E、F,则图中相似三角

形共有（）

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可.

【详解】解：四边形A3CD为平行四边形，

:.AB//CD,AD//BC,

由钻〃CD,得：AAEFSACEF,ABGsDEG,

由AD〃3C,得：BFCs.GAF,DEGs二CEB,

ABG^,CEB,

四边形ABC。为平行四边形，AC是对角线，

ABC^,CDA,

:.^ABC^CDA,

综上所述，相似三角形有共有6对，

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，注意找全相似三角形是解答本题的关

键.

10.如图，在Rt/XABC中，zJB4C=90。，斜边BC上的高A〃=3,矩形DERG的边DE在边BC上，顶点

G、尸分别在边AB、AC上，如果G尸正好经过ABC的重心，那么BDEC的积等于（）

A

/LN

BDHEC

A.4B.1C.竺D.与

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设ABC的重心是。，连接

AO,延长AO交3c于由三角形的重心的性质可得=再结合矩形的性质和平行线分线段

成比例及余角的性质证明乙BDGsAFEC,即可推出BDCE=FEDG=1.

【详解】解：设.ABC的重心是。，连接A0,延长4。交BC于

:.AO^2OM,

四边形OENG是矩形，

:.GF〃DE,Z.GDE=/FED=90°,

:.AK:KH^AO:OM,

:.AK=1KH,

AH=3,

:.KH=-AH=l,

3

ABAC=90°,

/.ZB+ZC=90°,

ZEFC+ZC=90°,

:.ZB=ZEFC,

ZBDG=ZCEF=9Q°,

:"DGsBEC,

:.BD:FE=GD:EC,

:.BDCE=FEDG,

FG//BC,GD1BC,KH_LBC,FE_LBC,

：.DG=FE=KH=1,

:.BDCE=lxl=l.

故选：B.

二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）

11.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点尸是线段A8上一点（AP>BP）,若满

足=则称点尸是AB的黄金分割点.如图所示的五角星中，AD=BC,且C,。两点都

是AB的黄金分割点，若8=1,则A3的长是.

【答案】2+75

【分析】本题主要考查了黄金分割点，在C,。两点中任意选一个黄金分割点，选C为黄金分割点时，根

据黄金分割点的定义得出AC?=3。设AD=3C=x,则AB=2x+l,列出关于x的一元二次方程求解

无，进而即可求出AB.

【详解】解：根据题意得：AP2=BPAB（AP>BP）

点是AB的黄金分割点，

/.AC2=BCAB（AC>BC）,

即(AD+DC?=3C-(AD+r>C+3C),

AD=BC,

：.^AD=BC=x,则AB=2x+l,

(x+1)2=x(2x+l),

整理得：x2—x-1=0,

解得.x_±Jb~-4ac_1+A/5

2a2

••.v与L寸1<。（舍去）.

AB=2x+1=2+1=2+75.

故答案为：2+石.

12.如图，在矩形A8CD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形

中AD：AB=.

A_________E____D

BFC

【答案】匕3或2

2

【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，进行计算即可求解.

【详解】・・・A3FE是正方形，

：.AB=EF=AE,

矩形GFCH和矩形EGHD全等,

:・EG=DH=GF=HC,设EG=Y,

AD=2y+%,AB=2x,

・・・矩形ABCD和矩形EGHD相似,

.ADGH+ADGF

…——=或——=

ABGFABGH

①当桨=段时,

ABQjr

x

=一,解得：x=2y

yf

ADGF…2y+x_y

②当=时,

ABGHx

1+A/3

解得：y=-----X,

2

1+g1+73

.*.AD：AB=y:x=—y-y=—

22

故答案为：2或^

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键.

13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,P,A,B,C为小正方形的顶点，则图中所

形成的三角形中，相似的三角形是

【答案】AAP3s

【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用两

边比值以及夹角相等的两个三角形相似即可证明.

【详解】解：.APBsaa%,

由题意可知：AP=Jf+2?=有，PB=1,PC=5,

.APy/5PB_1_y/5

"PC-V'AP~y/5~5

ZAPB=NCPA,

：.^APB^ACPA,

故答案为：△APBs/\CR4.

14.如图，不等长的两条对角线AC、3D相交于点。，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角

形.若灰?=3万，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有

【答案】乙和丁

【详解】—,NAOB=ZCOD,:.△AOBsMOD.

OCOD

【易错点分析】容易误认为A”/BOC,条件（=黑中，票是浅需

BOa

OD

瑞|耨，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定必。

15.如图，点P是矩形A3CD边BC上的任意一点（不包括点BC）,点EF,G分别是

VP£4VPCDVP4D的重心，若矩形A3CD的面积是8,贝UE9G的面积是

【分析】本题考查了三角形重心的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键.

连接A£,O尸并延长交8C于点1T,连接PG并延长交于点Q,交EF于点、R,双向延长所，分别交

21

AB,CD于点、M,N,根据三角形的重心的性质得出：..EFG的底为高为4A5,进而即可求解.

【详解】解：连接方并延长交5C于点S,T,连接PG并延长交AD于点Q,交EF于点、R,双向延

长所，分别交人尻8于点如图，

・・•点E,F,G分别是VPBAVPCRVPAD的重心,

.AEDFPG

..--=Z,---=2,---=2.

ESFTQG

:.MN//AD//BC,

sNAME^NABSNDFN^NDTC,

._AE_2FN_DF_2

.密―布一々元—而一1，

:.ME=-BS=-BP,FN=-TC=-PC,

3333

:.ME+FN=-BC,

3

22

:.MN=-BC=-AD,

33

同理可得：PR=RG=GQ,

:.RG=^PQ=^AB

21

・・・EFG的底为高为

设AD=a,BC=b,

・・,矩形A3CD的面积是8,

ab=8.

1218

.,*EFG的面积=—x—ax—b=—.

2339

8

故答案为:9-

16.如图，在2ABe中，/BAC=90。，点G是.ABC的重心，联结G4、GC,如果AC=3,AG=|,那么

ZGCA的余切值为

2

【答案】j

【分析】延长CG交AB于忆过G作GD_LAC于G,直线。G交3c于区证明VDCEsyACB,得

嚼，同理可得*=就=而'即有学=||，根据为.的重心，

H3=GAfiCAC=3得

DE=2,设tanNACG=%，根据勾股定理列式计算AG=《AD?+DG?=+1二*可得答案.

【详解】解：过G作GDLAC于G,延长CT交AB于点/，如图:

9：GDIAC,ZBAC=90°,

：・DE〃AB,ZCDE=ZBAC=90°,

•；/DCE=ZACB,

:.DCGsACF,

.CDDGCG

**AC-AF-CFy

・「G为ABC的重心，

.CDDGCG2

**AC-AF-CF-3?

,:AC=3,

ACD=2,AD=1,

DG=>JAG2-AD2

3

4

则在直角三角形中,

COGtanZACG=——

CD23

,2

故答案为：—

【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，

综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形.

17.如图，在4ABe中，NACB=90o,AC=3,3C=6,CO是边A3上的中线，G为二ABC的重心，过点G作

GNBC交AB干点、N,那么一OGN的面积是.

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据中线分出的两个三角形的面积相等得到

S,OBC=^ABC,然后根据平行得到aONGS.OBC,进而得到》计算是解题的关键.

2SOBC\J

【详解】解：・・・CO是边A5上的中线，

**•SOBC=3S&c=­x—BCxAC=—x—x6x3=—,

又・・・G为一ABC的重心，GNBC,

：.ONG^OBC,

••SONGOBC=gX2=2，

故答案为：—.

18.已知Rt/VIBC中，ZACB=90°,中线皮＞、CE交于G点，4GC=9O。,CG=2,则

BC=.

CDA

B

【答案】

【分析】根据题意利用三角形重心的性质求出C£=3,再利用相似三角形判定得到,.ACBsCG3,再利用

相似三角形性质即可得到本题答案.

【详解】解：・.・RdABC中，ZACB=90°,中线3。、CE交于G点，CG=2

:・CE=3,AB=6,

9：CE=EB,

:.NECB=NCBE,

丁ZACB=ZBGC=90°,

工一ACBsCGB,

.CBCGCB2

••=,艮nn,

ABCB6CB

；•解得：BC=26，

故答案为：2也.

【点睛】本题考查三角形重心问题，相似三角形判定及性质，直接开方法解一元二次方程.

19.如图，ABC的中线8E和中线CF相交于点G,如果以钙°=12,那么图中阴影部分的面积是

【答案】4

【分析】本题主要考查了重心的性质、三角形面积的计算；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相

等的两部分、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解题的关键.根据三角形的中线把

三角形的面积分成相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,即可得出结

果.

【详解】解：连接AG并延长交BC于。，则AD为ABC的中线，

.ABC的三条中线AD、BE,C尸交于点G,

•q—q—J-vq-q--s

••°.CGE-°AGE-31ACF'Q,BGF-,BGD-3©,BCF'

SACF=SBCF=耳SABC=万X12=6,

1「­

CGEACF=-X6=2,SBGF=§BCF=—x6=2,

3

S阴影=SCGE+SBGF=4

故答案为：4.

20.如图，淇淇同学在湖边看到一棵树,他目测出自己与树的距离为20m,树的顶端在水中的倒影距自己

5m远，淇淇的身高为1.6m,则树高为m.

【分析】本题考查相似三角形的应用，由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形,

根据相似三角形的性质解答即可.

;入射光线和反射光线与镜面的夹角相等,

・•・ZAOB=ZCOD,

ZABO=ZCDO=90°,

：.AAOBACOD,

.ABOBRn1.65

••=,BJ-,

CDODCD20-5

解得：CD=4.8,

树高为4.8m.

故答案为：4.8

三、解答题(本题共3题，共40分)

21(12分).巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是

好匚的矩形，我们将这种宽与长的比是叵口的矩形叫黄金矩形.如图①，已知黄金矩形ABCD的宽

22

AB=1.

(1)黄金矩形ABCD的长BC=

(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以A3为边的正方形AB5F,得到新的矩形OCE7L猜想矩形

DC跖是否为黄金矩形，并证明你的结论;

(3)在图②中，连接AE,求点O到线段AE的距离.

【答案】⑴苴士L

2

(2)矩形。CEP为黄金矩形，理由见解析

(3)点D到线段AE的距离为何+应

4

【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键.

(1)根据丝=叵4，AB=1,即可求解；

BC2

(2)先求出口＞=EC=AQ-4/=叵口，再求出空的值，即可得出结论；

2EF

(3)连接AE,DE,过。作DG_LAE1于点G,根据AB=EF=1,必上1,得出

2

隹="下=夜，再根据SAED=gxADxEr=：xAExr)G，即可求解・

【详解】(1)解：：丝=@匚，AB=1,

BC2

AB_1_V5+1

22

故答案为：立把；

(2)解：矩形DCEV为黄金矩形，理由是:

由(1)知==

2

/.FD=EC=AD-AF=^^--1=^^-,

22

.DFA/5-1,A/5-1

・・--=----+1=----，

EF22

故矩形DCEF为黄金矩形；

(3)解：连接AE,DE,过。作。GLAE于点G

>

//

、//

、//

X

X/

W/

G\/

图②

•；AB=EF=1,人。=也巴，

2

,,AE=A/12+12-A/2、

在△AED中，S=—xADxEF=—xAExDG,

海AFD22

BPAPxEF=AExDG,

贝口好±lxl=0xZ)G,

2

解得。G=^+生

4

.•.点D到线段AE的距离为何+应.

4

22(14分).如图，正方形纸片ABCD.现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边AD与BC重合,

得到折痕瓦'；第二步，将△5CF折叠，得到折痕所；第三步，将4ABp折叠，使顶点A落在折痕所上

点。处.

OD

(1)求证：点尸恰为线段AD的黄金分割点；

(2)现有矩形纸片A3CD,其中AB<3C,如图所示.请你借助这张纸片，设法折出一个30。的角.要求写

出折纸的步骤(可仿照上面的表述)，并在图中画出各步骤的折痕位置，注明30。角的位置，不需要证明.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键.

(1)先运用勾股定理得到2尸=好，然后在Rt-Q