人教版数学九年级上册22.3.3　二次函数与拱桥问题教案

人教版数学九年级上册22.3.3二次函数与拱桥问题教案授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路结合人教版数学九年级上册22.3.3节内容，本节课通过实际生活中的拱桥问题引入二次函数的概念，让学生在解决实际问题的过程中，深化对二次函数的理解和应用。课程设计以学生为中心，注重激发学生的兴趣和参与度，通过案例分析、小组讨论、练习巩固等方式，帮助学生掌握二次函数的性质和图像，提高解决实际问题的能力。核心素养目标1.让学生能够在实际情境中抽象出二次函数模型，培养数学建模和数据分析的核心素养。

2.通过对拱桥问题的探究，提升学生的逻辑思维和数学推理能力。

3.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力，提高学生的应用意识和创新意识。学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数有了初步的认识，能够理解一次函数的基本概念和图像。在知识方面，学生对二次函数的定义和性质有一定的了解，但可能对二次函数图像的几何意义和实际应用还不够熟悉。在能力方面，学生的抽象思维和逻辑推理能力正在发展，但个别学生可能在从具体到抽象的转换上存在困难。

学生在行为习惯上，多数能够积极参与课堂讨论，但少数学生可能因为缺乏自信或兴趣不高，参与度较低。此外，学生的合作学习能力参差不齐，有的学生善于团队合作，有的则更习惯独立作业。

在课程学习上，学生对数学的应用性内容较为感兴趣，但对理论推导和复杂计算可能感到枯燥。因此，本节课通过拱桥问题的引入，旨在激发学生的兴趣，利用学生已有的知识基础，引导他们更好地理解和运用二次函数知识，同时培养学生的实际问题解决能力和数学思维能力。教学资源准备1.教材：人教版数学九年级上册。

2.辅助材料：二次函数图像的PPT展示、拱桥设计案例图片。

3.教学工具：黑板、粉笔、计算机。

4.教室布置：提前划分好小组讨论区域，确保学生能够舒适地开展合作学习。教学过程设计1.导入环节（5分钟）

-创设情境：展示不同类型的桥梁图片，包括拱桥，引起学生兴趣。

-提出问题：询问学生拱桥的形状与数学中的函数有何联系，激发学生思考。

-学生讨论：学生分小组，讨论拱桥形状可能的数学表达。

-小组分享：各小组汇报讨论成果，教师总结并引入二次函数的概念。

2.讲授新课（15分钟）

-定义介绍：讲解二次函数的定义、图像特点及其与拱桥形状的关系。

-公式推导：通过具体例子，引导学生推导二次函数的标准形式。

-图像分析：通过PPT展示二次函数的图像，分析其顶点、对称轴等特征。

-案例讲解：以拱桥为例，讲解如何根据实际情境建立二次函数模型。

3.巩固练习（10分钟）

-练习题目：学生独立完成与拱桥相关的二次函数问题。

-小组讨论：学生分组讨论解题过程，互相检查答案。

-解答反馈：教师选取几组学生的答案进行讲解，对共性问题进行解答。

4.师生互动环节（10分钟）

-课堂提问：教师提问学生关于二次函数的性质和应用问题。

-学生展示：邀请学生到黑板上演示解题过程，其他学生评价。

-教师点评：教师对学生的解答进行点评，指出优点和需要改进的地方。

5.拓展延伸（5分钟）

-创新应用：引导学生思考二次函数在其他实际情境中的应用。

-能力拓展：介绍更高级的数学工具，如微积分，在拱桥设计中的应用。

6.总结环节（5分钟）

-知识回顾：教师带领学生回顾本节课的重点内容。

-作业布置：布置相关的练习题，巩固学生对二次函数的理解。

7.课堂结束语（2分钟）

-鼓励学生：教师鼓励学生在日常生活中发现数学的乐趣和应用。

-课堂反馈：教师收集学生对本节课的反馈，以便改进教学方法。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-提供关于二次函数在建筑、物理、经济学等领域应用的案例资料，让学生了解数学在现实世界中的广泛应用。

-推荐阅读《数学建模》等相关书籍，帮助学生更深入地理解数学建模的过程和方法。

-分享一些数学家的故事，特别是与二次函数研究相关的数学家，如牛顿、拉格朗日等，激发学生对数学历史的兴趣。

2.课后自主学习和探究：

-鼓励学生观察生活中的二次函数现象，如抛物线运动的物体、抛物线形状的桥梁等，并尝试用数学知识解释这些现象。

-让学生尝试设计一个简单的二次函数模型，解决实际问题，如设计一个小型拱桥的数学模型，并分析其稳定性。

-建议学生利用计算机软件，如Excel、GeoGebra等，绘制二次函数的图像，观察参数变化对图像的影响。

-鼓励学生参与数学竞赛或挑战，如数学建模竞赛，将所学知识应用于解决更复杂的问题。

-推荐学生加入数学社团或在线论坛，与其他数学爱好者交流学习心得，拓展数学视野。

3.拓展知识点：

-介绍二次函数的导数概念，让学生了解导数在求解极值问题中的应用。

-讲解二次函数的积分，让学生理解积分在求解面积和体积问题中的作用。

-引导学生探索二次函数与其他数学分支的联系，如线性代数、微积分等。

-介绍二次函数在优化问题中的应用，如最优化理论中的二次规划问题。课后作业1.作业题目：

（1）已知二次函数的图像开口向上，且顶点坐标为（2，-3），求该二次函数的表达式。

（2）某城市一座拱桥的形状可以用二次函数表示，其最高点距离水面10米，两岸距离最高点各为20米。求这座拱桥的二次函数表达式。

（3）某物体从地面抛出，其运动轨迹可以用二次函数表示。已知物体最高点距离地面5米，水平方向飞行了10米。求该物体的运动轨迹的二次函数表达式。

（4）某工厂生产一种产品，其成本与产量之间的关系可以用二次函数表示。已知当产量为10件时，成本最低，为200元。求该工厂生产这种产品的成本与产量之间的二次函数表达式。

（5）已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像上存在两个点A（m，n）和B（k，n），求证：直线AB的斜率为0。

2.作业答案与解题过程：

（1）答案：y=a(x-2)^2-3。因为顶点坐标为（2，-3），所以二次函数的表达式可以表示为y=a(x-2)^2-3，其中a为二次函数的开口系数。由于图像开口向上，所以a>0。

（2）答案：y=-1/8(x-10)^2+10。因为拱桥的最高点距离水面10米，所以顶点坐标为（10，10）。拱桥的形状为二次函数，开口向下，所以二次函数的表达式可以表示为y=-1/8(x-10)^2+10。

（3）答案：y=-1/4(x-10)^2+5。因为物体最高点距离地面5米，所以顶点坐标为（10，5）。物体的运动轨迹为二次函数，开口向下，所以二次函数的表达式可以表示为y=-1/4(x-10)^2+5。

（4）答案：y=-2(x-10)^2+200。因为产量为10件时，成本最低，为200元，所以顶点坐标为（10，200）。成本与产量之间的二次函数表达式可以表示为y=-2(x-10)^2+200。

（5）证明：因为点A（m，n）和点B（k，n）都在二次函数y=ax^2+bx+c的图像上，所以它们的纵坐标相等，即n=ax^2+bx+c。由于二次函数的图像是关于其对称轴对称的，所以点A和点B关于对称轴对称，即m+k=2*2=4。因此，直线AB的斜率为0，即AB是水平线。教学反思今天的课堂上，我尝试通过拱桥问题引入二次函数的概念，让学生在解决实际问题的过程中深化对二次函数的理解。整体来看，课堂氛围较为活跃，学生们对拱桥问题表现出了浓厚的兴趣，但也有一些地方值得反思和改进。

首先，导入环节的设计起到了很好的效果，学生们在看到不同类型的桥梁图片后，能够积极地参与到讨论中来，对拱桥形状可能的数学表达提出了自己的想法。这一点让我感到欣慰，说明学生们已经具备了将现实问题抽象成数学模型的能力。

然而，在讲授新课环节，我发现自己在讲解二次函数性质时，可能过于侧重于理论推导，导致部分学生在理解上存在困难。我应该更加注重从直观的角度出发，比如通过具体的实例和图像来帮助学生理解二次函数的顶点、对称轴等概念。

在巩固练习环节，学生们分组讨论的热情很高，但我也注意到有些小组的合作并不那么有效。可能是因为我在分组时没有充分考虑学生的能力差异，导致一些小组的合作学习效果不尽如人意。下次我会尝试根据学生的能力进行更合理的分组。

师生互动环节是我认为本节课的亮点之一。学生们在回答问题和展示解题过程时表现出了较高的积极性，我也及时给予了他们反馈和指导。但我也发现，有些学生在表达自己的思路时还不够清晰，这说明我在日常教学中还需要更多地培养学生的表达能力和逻辑思维。

在拓展延伸环节，我鼓励学生们思考二次函数在其他领域的应用，这有助于他们开阔视野。但我也意识到，这个环节的时间安排可能不够充足，学生们没有足够的时间深入思考和讨论。

最后，在作业布置环节，我提供了与课堂内容相关的作业，旨在巩固学生们对二次函数的理解。但我应该更加注意作业的难度和量，确保学生们能够在课后有效地完成作业，而不是感到压力过大。内容逻辑关系①教学重点知识点：

-二次函数的定义与性质

-二次函数图像的特点

-实际情境中二次函数模型的建立与应用

②关键词：

-二次函数

-拱桥

-数学建模

-抛物线

-顶点

-对称轴

③重点句子：

-“二次函数是描述现实世界中许多现象的数学模型。”

-“拱桥的形状可以用二次函数来表示，其顶点对应拱桥的最高点。”

-“通过分析二次函数的图像，我们可以了解其开口方向、顶点位置和对称轴。”

-“建立二次函数模型的关键在于将实际问题抽象为数学问题，并用函数关系式表达出来。”

-“在解决拱桥问题时，我们需要考虑二次函数的开口方向和顶点坐标，以确定拱桥的设计参数。”教学评价与反馈1.课堂表现：学生们在课堂上表现出较高的参与度，尤其是在导入环节，能够积极讨论并尝试将拱桥问题与二次函数联系起来。在讲授新课环节，学生们对二次函数的基本概念和性质有了更深入的理解，但在理论推导部分，部分学生表现出一定的困难。

2.小组讨论成果展示：在巩固练习环节，各小组能够积极讨论并展示自己的解题过程。部分小组能够准确地运用二次函数的知识解决拱桥问题，但也有小组在建立模型和计算过程中出现错误。成果展示时，学生们能够清晰地表达自己的思路，但表达方式和逻辑性还有待提高。

3.随堂测试：在课堂结束前，我进行了一次随堂测试，以检验学生们对本节课内容的掌握程度。测试结果显示，大部分学生能够正确回答关于二次函数性质和图像的问题，但在应用题部分，部分学生未能准确建立模型或计算出正确答案。

4.作业完成情况：学生们在课后按时完成了作业，从提交的作业来看，大部分学生能够运用二次函数的知识解决实际问题，但部分学生在解题过程中存在逻辑不清、计算错误等问题。

5.教师评价与反馈：针对学生们