2024-2025学年山东省潍坊市高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省潍坊市高三（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.复数M的虚部是（）

A.之B.—C.WD.—!

2.设集合4={1,2,4},B={x|x2-5x+m=0},若力nB={2},则B=()

A.{2,-3}B.{2,-6}C.{2,3}D.{2,6}

3.已知向量落b,2在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2,则G+3）Z+7

加=()

A.0

B.3

C.6

D.12

4.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某

坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个

面是全等的等腰三角形，若4B=25M,BC=10m,且等腰梯形所在

平面、等腰三角形所在平面与平面ABC。的夹角均为45。，则该五面体

的体积为（）

A.375m3B.当当小c.545m3D.625m3

5.已知圆C：x2+y2-2x=0,则过点尸（3,0）的圆C的切线方程是（）

A.y=±|(x-3)B.y=±2Q-3)c.丫=士字(久一3)D.y=±4(刀-3)

6.数列{4}中，ai=2,an+1=an+2,若依+怒+i+…+/+9=270,则k=()

A.7B.8C.9D.10

7.设10WX1<X2<X3<X4W103随机变量盘取值％i，x,x,X4的概率均为J，随机变量§2取值

234-

比1+%2+汽3+无3+久4久3+久4+汽1力4+为1+比2

支2+当+%的概率也均为,若记D（G）,。记2）分别是G，§2

313J3J3

的方差，贝1（）

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A.D(fi)＞0(。)B.D(fi)=D(§2)

C.D&)＜。(0)D.D(右)与。(O)的大小不确定

8.已知定义在实数集R上的函数/(x),其导函数为/'(K),且满足+y)=/(x)+f(y)+xy,

1

/⑴=0,f(l)=|,则八2)=()

33

A.0B-C.1D-

4Z

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/'(久)=sin(tox+9)(其中3,9均为常数，|租|＜兀)的部分图像

如图所示，贝!1()

71

A.中=-§

B.f(x)的最小正周期为兀

C.f(x)图像的一个对称中心为(-瑞,0)

D./O)的单调增区间为［一居+时，kEZ

J•乙1Z

10.已知数列｛an｝的各项均为正数，其前n项和又满足an-Sn=4(71=1,2,…)，则()

A.a，2=1B.｛册｝为等比数列

C.｛即｝为递减数列D.｛斯｝中存在小于焉方的项

11.已知正方体4BCD-A/iCiDi棱长为1,E为棱A4i上一动点，CE1平面a,贝ij()

A.当点E与点4重合时，CE〃平面48C1

B.当点E与点4重合时，四面体ECDiBi的外接球的体积为苗

C.直线CD与平面a所成角的正弦值的取值范围是［浮,字］

D.当点E与点乙重合时，平面a截正方体所得截面可为六边形，且其周长为定值3避

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.边长为2的正三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为.

13.已知四个函数：①y=-ex,@y--Inx,③y=x,④y=叵从中任选2个，则事件“所选2个函

数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.

14.已知椭圆C：卷+必=1,过万轴正半轴上一定点M作直线I,交椭圆C于4B两点，当直线I绕点M旋转

时，有|4：|2+|8；|2=为常数),则定点M的坐标为,"=.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

TT

记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知csinB=bsin(C+§),

⑴求C；

(2)若b=6,且△力BC的面积为68，求△ABC的周长.

16.(本小题15分)

如图，Rt△ABC中，/.ACB=90°,/.CAB=30°,BC=3,AD=2避，过点。作DE1AB,垂足为E,

将△4DE沿DE翻折至△PDE,使得PB=3显

(1)求证：PE1平面BCDE；

(2)若。M=PM,求直线EM与平面PBC所成角的正弦值.

17.(本小题15分)

已知函数/'(%)=ex-ax2—x—l.

(1)若/(I)=e-2,求/(%)的单调区间；

(2)若XG(0,+oo),/(%)>0,求实数a的取值范围.

18.(本小题17分)

己知双曲线：鲁工=l(a>0力〉0)的焦距为4,离心率为2,%,尸2分别为C的左、右焦点，两点4(%,月

),3(久2，、2)都在C上.

(I)求C的方程；

(2)若丽=2取，求直线AB的方程；

(3)若AFJ/BF2且打犯<0,yiy2>0,求四个点4B,%,&所构成的四边形的面积的取值范围.

19.(本小题17分)

错位重排是一种数学模型.通常表述为：编号为1,2,3,九的几封信，装入编号为1,2,3,....九的几个

信封，若每封信和所装入的信封的编号不同，问有多少种装法？这种问题就是错位重排问题.上述问题中，

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设几封信均被装错有即种装法，其中由=0.

(1)求。2，a3,a4；

(2)推导0n+2,an+1,an之间的递推关系，并证明：｛斯+i—(n+1)册｝是等比数列；

(3)请问俏信均被装错的概率是否大于《？并说明理由.(参考公式：ex=l+x+17+§+-+£+-)

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参考答案

1.5

2.C

3.5

4.B

5.C

6.C

7.4

8.D

9.ABD

IQ.ACD

11.ACD

12.48兀

13.|

14.(畔,0)6

TT__

15.解：(1)在△ABC中，由csinB=bsin(C+§)及正弦定理，

7T

得sinCsinB=sinBsin^C+§),而s讥8>0,

则sin(C+^)=sinC,即方讥。+字cosC=sinC,

化简得tcmC=在，又C6(0,71),

所以C=宗

(2)由(1)及三角形面积公式，

得义absinC=&®a=6避，解得a=4,

由余弦定理，得c=7a2+b2-2abcosC=J42+62—2X4x6x-i=2y/7,

所以△ABC的周长为a+b+c=10+2yp.

16.1?：(1)证明：•・•DE1AB,由折叠前后的关系，可知PE1DE,

又PB=3也，PE=AE=ADx/.CAB=2避乂号=3,

：.EB=AB-AE=6-3=3,PE2+EB2=PB2,

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PE1EB,又PE1DE,且EBCDE=E,

PE1平面BCDE；

(2)由(1)可知PE,ED,EB两两相互垂直，故建系如图:

由ED=邓,C到力B的距离为BCxsin600=3*岑=¥，

又4E=EB=EC=BC=3,M为PD中点，

£(0,0,0),£>(73,0,0),P(0,0,3),M谬,0,|),B(0,3,0),其挈|,0),

.・•前=(察0,|)，丽=(0,3,—3),玩=(唱怖3),

设平面P8C的法向量为日=(x,y,z),

(n-PB=3y-3z=0

则1丽=%久+%-3z=0，取完=(1,居我,

22，

・•・直线EM与平面所成角的正弦值为：

lcos<FM蔡>I_I面限a_2并_2小

\EM\\n\4+充x,77

17.解：(1)/(%)=ex-ax2-x-l,

则f(l)e—a—2=e-2,得a=0,

则/(%)=ex-x-l,/'(%)=ex-l,

当久G(一8,0)时,f(x)<0,/(%)单调递减，

当%E(0,+8)时，/(%)>0,/(%)单调递增;

(2)由/(%)=ex—ax2—x—l,得/'(%)=ex-2ax—l,

xx

令g(%)=/'(%)=e—2ax—lf则g'(%)=e—2a(x>0),

当a时，g'(x)=ex-2a>0在(0,+8)上恒成立，

则9(%)单调递增，即［(%)>f(0)=0,

可得/(%)在(0,+8)上单调递增，有/(%)>/(0)=0成立;

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当a>|■时，由g'(%)=ex-2a<0,得0V%<Ina,

可知当％e（0,伍2a）时,g（%）即/'（%）<:（。）=0,

/（%）在（0,仇2。）上单调递减，有/（%）<0,不满足对V%6（0,+oo）,有/（%）>0.

综上所述，实数a的取值范围是（-8,4.

12c=4

18.解：（1）由题意，*=2,解得《二/

a2+b2=c2iv

2

C的方程为*2=1;

（2）根据题意知，直线AB的斜率不为0,设直线的方程为x=my+2,

福=2不，得力=一2丫2，A,B都在右支上，

'x—my+2

由,/一加=],得（3根2—1）必+12爪）/+9=0.

由已知可得3nI2一17o,j=36m2+36>0.

.—12m9

%+y2=^zpyiy2=^zi-

结合月=-2y2，可得Q把=-2（3；2_I）,解得爪=±嘤，满足△>°，

则直线力B的方程为无士嚼y-2=0；

（3）4（%1,丫1）,8。2,丫2），4%//8/2且<。，月丫2〉。，

则4B分别在双曲线的两支上，不妨设4B都在x轴上方，

又AF1UBF2,贝^在第二象限，B在第一象限，如图所示，

延长4%交双曲线于点P,延长B灯交双曲线于点Q，

由对称性可知，四边形4PQ8为平行四边形，且面积为四边形4%F2B的2倍，

由题设（2（久3，、3），直线4P的方程为x=机>一2,直线BQ的方程为久=my+2,

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由(2)可知田Q|=/+m21yLy2I="+苏.噌党

••-3m2-l<0,\BQ\=,两条直线4P与BQ的距离d=大今蒜

16—叱3771“+?7L十〃，

••S四边形用出85s四边形/PQB=^BQ\d=喑手.

令t=yjl+m2,tG[1,罕)，

则S四边形4%FzB=号=肯在[1,当5上为单调增函数，

•••S四边形4F#zBe[12,+8),当t=l,即m=0时取最小值12，

••・四个点4B,尸1，尸2所构成的四边形的面积的取值范围是[12,+8).

19.解：(1)由题意可得a?=1,a3=2,ci4=3x3xlxl=9.

(2)若有几+2封信时，其装法可分为两个步骤：

第一步：编号为n+2的信，有n+1种装法；

第二步：重装其余的几+1封信，根据第一步装法可分为两类，

第一类，若编号为n+2的信，装入编号为k的信封(k=1,2，…,n+1),但编号为k的信装入编号为n+2的

信封，这样有与种装法；

第二类，若编号为几+2的信，装入编号为k的信封(k=1,2，…,n+1),但编号为k的信不装入编号为n+2

的信封，这样有即+i种装法；

由分步乘法和分类加法计数原理，所以厮+2=(n+l)(an+i+an),

所以an+2=(n+l)(an+i+an),

、下明。十+2一(九+2)a〃+i_(>++a-)—(九+2)a、+i_-a九+1+(n+l)a九__1

T

力：an+i-(