广东省2025届高三年级上册第一次调研考试数学试题

广东省2025届高三上学期第一次调研考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合/={乂-2<尤<2},8=何|无一2|<2},则/U3=()

A.(-2,2)B.(0,4)C.(0,2)D.(-2,4)

2.已知复数z满足z+忖=l+i,则|z|=()

1

B.D.V2

.已知函数/(X)满足/(x)+，占卜1+x,则〃2)=()

4.外接球半径为痛的正四面体的体积为()

A.史也B.24C.32

D.48五

3

5.设点尸为圆(x-3)2+j?=i上的一动点，点。为抛物线产=4x上的一动点，则户。的最

小值为()

A.1当B.272-1C."当"9口.716-2

6.已知/'(x)=lg(af+2ax+1)的值域为R,则实数。的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+»)D.(-oo,0)u(l,+oo)

coscy

7.设鬼广为锐角，且cos(a-/?)=----,则。与力的大小关系为()

cosp

A.a=BB.a>pC.a<f3D.不确定

3322

8.若a>b>0,^a-b=a-b,则工+:的取值范围是()

ab

A.1[JB.C.(1,3)D.(3,+co)

二、多选题

9.变量xj之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线方=最+&经过点(10,加)，且相对

试卷第1页，共4页

于点(11,5)的残差为0.2,贝(J()

X99.51010.511

y1110m65

A.m=8B.务=—2.8Ca=36D.残差和为0

10.已知函数/(1)=2以)8^-以)52%(%£1<),则()

A./(x)的值域是[-3,3]B.〃x)的最小正周期是2兀

C./(x)关于无=析(左eZ)对称D./(x)在$兀上单调递减

11.甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为

5分，3分，2分，1分.比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同

分的情况.贝！I()

A.第三名可能获得10分

B.第四名可能获得6分

C.第三名可能获得某一项比赛的第一名

D.第四名可能在某一项比赛中拿到3分

三、填空题

fxr<0

12.已知函数/("=e仁人；0过原点。(0,0)作曲线y=/(x)的切线，其切线方程

为.

13.如图是一个3x3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调

整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为

FO(。/)H

(T，。)(0,0)(1,0)

(T'T)(0,-1)

试卷第2页，共4页

a„+l,a„<3,

14.已知数列｛4｝满足。用=a“记｛%｝的前〃项和为邑，若%=1,则

了，。〃23,

2*

$50=;若41=3,左EN,贝(JS3左+1=.

四、解答题

15.V/BC中，4卅。所对的边分别为〃,仇。，已知6是。与。的等比中项，且sirU是

sin(B-⑷与sinC的等差中项.

(1)证明：COSA=y;

b

(2)求cosB的值.

16.如图，四边形/BCD是圆柱OE的轴截面，点尸在底面圆。上，OA=BF=®AD=3,

点G是线段8尸的中点，点H是防的中点.

⑴证明：EG〃平面N尸；

(2)求点H到平面DAF的距离.

17.某学校有42两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选

择了A餐厅则后一天继续选择A餐厅的概率为:，前一天选择B餐厅则后一天选择A餐厅的

21

概率为0,如此往复.已知他第1天选择A餐厅的概率为第2天选择A餐厅的概率为相

(1)求王同学第1~3天恰好有两天在A餐厅用餐的概率；

⑵求王同学第eN*)天选择A餐厅用餐的概率勺.

18.设直线4:了=缶4：了=-缶.点A和点3分别在直线4和4上运动，点M为的中

点，点。为坐标原点，且方.赤=-1.

⑴求点M的轨迹方程：T；

试卷第3页，共4页

⑵设,求当同取得最小值时直线的方程；

(3)设点尸卜石,0)关于直线的对称点为。，证明：直线过定点.

19.函数/(x)的定义域为R,若/(x)满足对任意当再时，都有

〃再)-〃々)5则称/(x)是M连续的.

⑴请写出一个函数/(X)是｛1｝连续的，并判断了(X)是否是｛“｝连续的(〃eN*),说明理由；

(2)证明：若/卜)是［2,3］连续的，则/'(x)是｛2｝连续且是｛3｝连续的；

(3)当xe-；，；时，f(x)=ax3+^bx+i,其中a,beZ,且/(x)是［2,3］连续的，求的

值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCDABCADADBCD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】计算出集合8,再根据并集运算可得结果.

［详解］根据题意知|X—2|<2n0<x<4,所以B={x［0<x<4},

则人八何-2<%<4}=(-2,4).

故选：D

2.C

【分析】设z=〃+6i,q,6£R,根据模长公式结合复数相等可求。力，进而可得模长.

【详角军】设2=a+6i,a,b£R,则回二以十从,

可得z+匕卜{a+y/a2+b2j+bi=1+i,

a+Ja2+b2-1fQ=0

则“a+。i,解得%।,

b=l〔6=1

所以|z|=Ja?+万=1.

故选：C.

3.D

【分析】根据题意分别令x=2、x=；和x=-l,运算求解即可.

【详解】因为/卜)+/(占)=l+x,

令x=2,可得〃2)+/(—1)=3；

令x=g,可得/］：J+/(2)=：；

两式相加可得”-l)+d+2〃2)=：,

令x=-l,可得止1)+/出=0；

aa

则2“2)=1,即〃2)=7

答案第1页，共16页

故选：D.

4.A

【分析】设出正四面体棱长，通过作辅助线表示出四面体的高，解直角三角形表示外接球半

径，由已知外接球半径为卡可得棱长，再由三棱锥体积公式可得.

【详解】如图，设正四面体尸-4BC的下底面中心为G,连接尸G,则尸G,平面4BC,

连接NG并延长，交BC于D,设此正四面体的棱长为x,则

2

AG=lAD=^x,%=□亭了邛x,即四面体的高

所以正四面体的体积=gfx4?.丰x4=塔.

故选：A.

5.B

2

【分析】设。（彳/）,可得|尸。|2|0。-1,利用两点之间的距离公式可得|。。|,结合二次

函数的单调性即可判断出结论.

2

【详解】如下图，设

答案第2页，共16页

22

则卢。|N|QC卜1,|℃恒(3一3)2+「=(?T)2+8N8,当且仅当丁=4时取等号，此时

0(1,±2)，

■­.\QC\>2V2,因止匕忸°以℃卜122收一1,

故选：B.

6.C

【分析】设:改2+2"+1,由值域为R,可以得到才能取遍所有正数，从而求解.

【t=ax~+2ax+1,

又•••/(x)值域为R,能取遍所有正数，

fA=4a2-4a>0““口

,解得aZl,

IQ〉0n

故选：c.

7.A

【分析】先利用两角和的余弦公式化简等式可得sin(a-0=0,再根据a,"范围求得

a-/3=Q.

【详解】由a,四为锐角,贝1]cosa>0,cos£>0,

,7COS。—』

由cos(6z-p)=-------可得cosa=cos(a-mcos£,

cos6

又由cosa=cosa(a—77+,)=cos(a一')cos'—sin(a—/7)sin0,

所以有sin(a-")sin"=0,由"为锐角可得sin">0,

则sin(a)=0,又由a,尸为锐角可得一]<[一/<|,

故"_'=0,即0=夕.

故选：A.

8.D

答案第3页，共16页

【分析】对03-63=/一62进行变形，再利用0,6不相等时/+〃>2仍，即可求出?的

ab

范围.

【详解】由/-/=/-/,则(a-6乂/+a6+62)=(a-6)(0+6),

又a>b>G,则〃2+QZJ+Z?2=〃+6,

又当。〉6〉0时，a2+b2>2ab,

因止匕可得，a+b=a2+ab+b2>3ab,

因此可得1+：>3,

ab

故选：D.

9.AD

【分析】结合回归方程的性质和残差的定义列方程求根，判断A,B,C,求残差和判

断D.

【详解】因为经验回归直线？=晟+&经过点(10,〃。，

所以切=10g+(3，5ZM=11+10+m+6+5,

因为相对于点(11,5)的残差为0.2,

所以5-(1访+0=02,

所以%=8,b--3,2>a-40,A正确，B错误，C错误，

所以j>=-3.2x+40,

当x=9时，^=-3.2x9+40=11.2,

当x=9.5时，>>=-3.2x9.5+40=9.6,

当x=10时，y=-3.2x10+40=8,

当x=10.5时，y=-3.2x10.5+40=6.4,

当x=ll时，y=-3.2x11+40=4.8,

所以残差和为11-11.2+10-9.6+8-8+6-6.4+5-4.8=0,D正确.

故选：AD.

10.BCD

【分析】根据二倍角余弦公式化简得出值域及单调区间判断A,D,应用周期及对称轴判断B,C.

答案第4页，共16页

【详解】因为f(x)=2cosx-cos2x=-2COS2X+2cosx+1,

令cosx=t,y=-2t2+2^+1,

^[-1,1]-3<y<j,A选项错误；

兀1

，=COSX在XWj,71单调递减，t=cosxG~1,~时>=-2d+2%+1单调递增，

ir

应用复合函数单调性，f(x)在§,兀上单调递减,D选项正确；

/(尤+2无)=2cos(x+2K)-cos2(x+2无)=2cosx-cos2x=/(x),

y=2cosx的最小正周期是2TT,〉=cos2尤的最小正周期是兀，

/(x)的最小正周期是私2兀的最小公倍数为211,B选项正确；

f(2hi-x)=2cos(2hr-x)-cos2(2hi-x)=2co&r-cos2x=/(无),/(x)关于龙=配对称，C选

项正确；

故选：BCD.

11.ABD

【分析】根据题设条件进行推理分析知：第三、四名的总分为14分，结合第一、二名的比

赛项目名次，即可确定正确的项.

【详解】由题设，

第一名16分，情况如｛2个第一，2个第二｝、｛3个第一，1个第四｝,

第二名14分，情况如｛1个第一，3个第二｝、｛2个第一，2个第三｝,｛2个第一，1个第

二，1个第四｝,

所以，第一名与第二名各比赛项目组合情况如下：

第一种情况为：第一名｛2个第一，2个第二｝,第二名｛2个第一，2个第三｝,或｛2个第一,

1个第二，1个第四｝,

第二种情况为：第一名｛3个第一，1个第四｝,第二名｛1个第一，3个第二｝,

综上，第三名最好成绩为｛2个第二，2个第三｝,即最高分为10分，故A正确，C错误；

当第三名｛2个第二，2个第四｝,则第四名｛2个第三，2个第四｝时，此时第四名获得6分，

故B正确；

当第三名｛1个第二，2个第三，1个第四｝,则第四名｛1个第二，3个第四｝时，此时第四名

在某一项比赛中拿到3分，故D正确；

答案第5页，共16页

故选：ABD.

12.x-ey=O

【分析】根据题意，设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解.

【详解】当x40时，函数/1)=/,可得斜(x)=e，

设切点为尸即乂),则八%)=e*。，

所以切线方程为y-e'。=e'Ff),

因为切线过原点0(0,0),可得-e'。=f°e-。，解得演=1,不符合题意，舍去；

当尤＞0时，函数/'(x)=ln无，可得/(x)=1

设切点为尸(士,乂)，则/‘区)=’，

演

所切线方程为＞-lnXi=L(x-/),

因为切点过原点。(。，。)，可得解得西=e,

此时切线方程为，即x-ey=0,

e

故答案为：x-ey=0

13.72

【分析】要使得每行、每列各三个向量的和为零向量，根据对称性，确定(0,0)所在的行和

再按分步乘法计数原理进行求解即可.

【详解】

123

456

789

首先对3义3的九宫格每个位置标注数字，

第一步先排(0,0),一共9个位置，因此有C；种排法，

根据对称性知，(0,0)所在的行和列只能排

答案第6页，共16页

不妨设(0,0)在1位置，

第二步排2位置，则从(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)选一个，因此有C；种排法，

则3位置的数也定下来了，

第三步排4位置，则从(1,1),(7,7),(1,1)剩余的两个中挑一个，因此有C；种排法，

接着排7位置，7位置是(1,1),(7,7),(1,中剩余的最后一个，

相当于(0,0)所在的行和列都定下来了，

则使得每行、每列各三个向量的和为零向量，其他四个位置的向量排法是唯一的，

因此按分步乘法计数原理知，C；xC：xC；=72(种)

因此共有72种排法，

故答案为：72.

111一

14.99--^+6k

【分析】根据题意，当q=1时，得到数列｛an｝是以L2,3为周期的周期数列，进而求得工。的

值，当0<%<1时，得至++%卬=。？+6，进而求得$3什1的值.

«„+l,a„<3,

【详解】由知数列｛%｝满足%M=%、记｛斯｝的前”项和为S”，

了，。“23,

若%=1,。2=%+1=1+1=2,。3=。2+1=2+1=3,

贝！j4=~~=1，%=&+1=1+1=2,。6=〃5+1=2+1=3,

可以发现数列｛册｝是以1,2,3为周期的周期数列，一个周期的和为1+2+3=6,

所以S50=16(4+。2+。3)+41+4=16x6+1+2=99；

当0<〃]<1时，="1+1，。3=4+2,%=%+3>3,

_

a5==?+1<3,以=。5+1='^+2<3,。7=*+3>3,…,

a3k-i=产+1，4=产?+2,%=产+3,…，

因为0<q<l时，可得则以三个为一组循环，

且+a3k+aiM=3x+1+2+3=+6,

答案第7页，共16页

则S3左+1=%+(〃2+%+。4)+…+Qi+a3k+。3%+1)

+6)=(l+3+l+g+…+P")%+6左

=ax+(3。］+6)+(tZj+6)H—+

1

+6fc.

故答案为：?一，^+6左.

15.（1）证明见解析

（2）cosH=~~-

【分析】（1）根据等差中项所得等式，由两角和与差的正弦公式化简可得cosN=吗，再

sin3

由正弦定理化角为边可得；

（2）由余弦定理化角为边得。也。等量关系一"=2碇，再由等比中项所得关系

/=碇消6,从而求得巴，再由余弦定理转化cosB为名。边之比求解可得.

C

【详解】（1）由题，得5M（5-4）=5皿反052-85厌1必，

sinC=sin（兀一（4+B））=sin（5+/）=sinBcosA+cos5sirt4,

因为sinA是sin（8-4）与sinC的等差中项，

所以2sin/=sin（5一4）+sinC=2sinBcosA,

45为三角形内角,sinZ>0,sin5>0,

e,sin/

贝!JcosA=——,

sinB

在V/8C中，由正弦定理号=&,得当=£,

sinAsinBsm5b

因此cos4=4.

b

^22_2

（2）在V/BC中，由余弦定理得cos/=,

2bc

由（1）知cos/=：,则62+c2―/=g,即/+°2一/=2℃.

b2bcb

因为b是。与c的等比中项，所以方2=碇，

答案第8页，共16页

Affifac+c2-a2=lac,即/+〃（?一（?=0,贝U有〃=ac=/一〃.

从而⑶一+q_1=0,解得3=z!土虫或q=土正<0（舍去）,

cc2c2

在V48。中，由余弦定理得

222

na+C-b。2+，_卜2一〃2）a加一）

COSn=---------------------=--------------------------------=-------=-----------，

2ac2ac2acc2

因止匕COSJ8=——-•

2

16.（1）证明见解析

⑵g

【分析】（1）取/下的中点M,证明EG/ADM,根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）先根据题意证明平面。/尸〃平面OEH,从而点H到平面D4尸的距离即等价于点£到

平面尸的距离，建立空间直角坐标系，利用点到面的距离向量求法即可求解.

【详解】（1）证明：取/月的中点为M,连接MDMG,如图所示，

因为点M,G分别是出和用的中点，所以MG〃/。，S.MG=-AB=AO.

2

在圆柱OE的轴截面四边形48C。中，AO\\DE,AO=DE.

所以MG//DE,MG=DE,因此四边形DEGM是平行四边形.

所以EG//ZW,又£G<Z平面u平面。/尸，所以EG//平面IMF.

（2）由圆的性质可知，连接OG延长必与圆O交于点〃，连接

因为。G///尸,。G不在平面£）/尸内，4Fu平面ZX4F,所以。G//平面IMF,

又EG〃平面D/尸，且EGC|OG=G且都在面OE7/,所以平面D4F〃平面OEH.

从而点H到平面。/尸的距离即为点E到平面ZX4尸的距离.

以。为坐标原点，48的中垂线为无轴，。8所在直线为N轴，OE所在直线为z轴建立空间

答案第9页，共16页

直角坐标系，如图所示.

则£（0,0,3）,/（0,-6,0）,。（0,-6,3）,尸5，三,0

_,__<33/3

所以次=（0,后3）,通k=（0,0,3）,AF=-,^-,0

设元=（%,%Z）为平面。//的一个法向量，

n-AD=3z=0,

则由:―,330可取元=（6

n•AF=—x+---y=0,

[22

因此点E到平面。/尸的距离d=年4=^L=/

\n\V3+12

故点”到平面D4厂的距离为立.

【分析】（1）设4="王同学第，,天选择A餐厅”，利用全概率公式求出p=0.5,再设设3="王

同学第1~3天恰好有两天在A餐厅用餐”，再利用全概率公式从而可求解.

112"2、

（2）利用全概率公式可得匕+L-二+不，化简得到々「寸-1匕-1,从而可证

，，-1，为等比数列,从而可求解月=g+[x]-1

【详解】⑴设4="王同学第，天选择A餐厅”1=1,2,3）.

答案第10页，共16页

2/—\1i/—\21/—\

P（4）=§,P（4）=］；尸（4）=§,尸（4）=§；尸（阕4）="尸

由全概率公式，得尸（4）=2（4）尸（4|4）+P（4）P（H|4）=gx；+；xp=；,解得p=g.

设8="王同学第1~3天恰好有两天在A餐厅用餐”，则3=44%+%44+4Z4，

因此尸（8）=尸（444）+9（444）+尸（444）=4*1、工+&乂不乂工+1*l*不=;.

（2）设4="王同学第〃天选择A餐厅”（〃eN*）,则匕=尸（4）,尸（4）=1-匕，

由题与⑴可得P（4j4）=；,P（4»g.

由全概率公式，得

&=P（4M）=P（4）P（4J4）+尸（4）P（4/4）=卜+:（1-匕）=-卜+；.

21/2、24

则已「k=pE=:，又因为耳-丁《HO,

所以［匕-5是以首项为《，公比为-9的等比数列.

I5J154

18.(l)f一匕=i

2

(2)x=1或x=-1

(3)证明见解析

【分析】⑴设弦）,M（x,y）,由近.丽=-1利用数量积坐标化得到将=1

2x+-j2y

2，

关系，利用中点坐标公式将48坐标用M坐标表示「,代入消元即可得;

2x-y/2y

2~~，

（2）由双曲线的性质可得看的范围，得到最小值，再求解最值状态下即〃为实轴端点

时的直线方程即可;

（3）求解当直线斜率不存在时M。的方程；当斜率存在时，写出直线的方程，利用一

垂直二平分求解点。坐标’进而得到直线"。的方程版寸-%=Ur（x-%）‘观察方

程写出定点.

答案第11页，共16页

【详解】（1）设4（石,《）,8（如％）也（％力,则y=";],y2=-A/2X2,

国+x2x+6y

x=2

2，2:

所以＜从而<

V2（再-々）

必+%2x~41y

y=

222

因为。2.砺=一1，所以西工2+%>2=再入2-缄1%2=-玉%2=-1，即再%2=1.

则在上正X空二五=1,化简得无2一片=1.

222

2

所以点M的轨迹方程为尤2一匕=1.

2

2

（2）由（1）得x；=l+£zl,则间的最小值为1,此时％=1或%=-1,

即加（1,0）或M（-1,O）.

当M（1,O）时，可得再=l，z=l,从而直线的方程为x=l；

当M（-1,O）时，同理可得直线NB的方程为x=T.

（3）设"'（%,%）,同21,由⑵可知,

当加（1,0）时，直线48：x=l,得°（2+后0）,直线M°:y=O；

当M（-1,O）时，直线/8:x=T,得。卜2+石,0）,直线MQ:〉=0.

当M（x。,%）是其他点时，直线的斜率存在，

x+x

n,_Ji-J2_^（i2）_V2X2X0_2X0

且^AB———~TT-'

项一%占一％72yo%

21

则直线48的方程为夕-为二二❷卜一工。），

%

2

注意到x；-£=1,化简得AB-.2xax-yoj-2=O.

点尸卜百,0）与0关于直线AB对称，

-yf-°x2x0-1

（+6%一

设0（M"）,则由，

2X0J丁一/X^2-2=0

解得。

答案第12页，共16页

2%

,、,®_]%

又,所以％°=---口|-----

二九

x0—V3

从而同。：y一为=-^-7=(x-X0),

Xo-V3

令X=VL得y=0,因此直线M0过定点T(6,0卜

【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于多参设法的消参方法，一是代入消元，如第(1)

问中将士,以用动点坐标xj表示代入关系式不9=1即可；二是整体消元，如第(3)问中

X：-日=1的应用；三是设而求法，解元消元，如第(3)问中O(x',y')坐标的运算求解.

°2

19.(l)f(x)=x,是的，理由见解析

(2)证明见解析

(3)答案见解析

【分析】(1)可举例斜率为1的一次函数，函数值与自变量的增量相同更易于分析;

(2)利用不等式的同向可加性质，将/(x+6)-/(X)从两个角度变形可得

2+2+2</(x+6)-/(x)<3+3,进而得证；

(3)利用不等式的同向可加性质与(2)结论先证明f(x)是［0,1］连续的，可得

答案第13页，共16页

,然后转化为3#NO”恒成立求解验证即可.

上⑺“122」

【详解】(1)函数/口)=》是｛1｝连续的，也是｛可连续的.理由如下：

由占一%=1,有/(占)-/(无2)=芭-遍=1,

同理当占一/=〃，有/(X1)-/(X2)=X1-x2=n,

所以/■(无)=x是｛1｝连续的，也是｛碎连续的.

(2)因为/⑴是［2,3］连续的，由定义可得对任意国,％eR,

当2Vxl-时，有2V/(尤J_/(X2)V3,

所以有

/(x+6)-/(x)=/(x+6)-/(x+4)+/(x+4)-/(x+2)+/(x+2)-/(x)>6,

且/(X+6)-/(X)=/(X+6)-/(X+3)+/(X+3)-/(X)46,

所以/(x+6)-/(x)=6,