2025届高考数学一轮复习专练：解三角形（单选题）

2025届高考数学一轮复习单选题专题练：解三角形

一、选择题

1.已知△ABC的三边长分别为1,血，石，则它的最大内角的度数是（）

A.90°B.1350C.12O0D.15O0

2.为了发展旅游业,方便游客观赏湖面盛开的睡莲和湖里游动的锦鲤，唐山南湖公园拟

修建观景栈桥.规划如图所示,AABC为规划区域,面积为4g万平方米,AB^CA，CB，CD

是四条观景木栈桥，其中AB^3DB，CP=3PD”AP为观景玻璃栈桥，则AP的最小值（单

位：百米）为（）

A.2石B.4C-76D.6月

3.在△ABC中，点。是AC边上靠近点C的三等分点，若NABD=90O，AB=1，BC=V7,

则SAABC=（）

A.走B.-C.空D.-

4444

22c

4.双曲线c：=1（。>0,b>0）的离心率为|，实轴长为4,C的两个焦点为F,,F2.

设。为坐标原点，若点P在C上，且cosN-P£=-；,则|0日=（）

A.2B.用C.20D.2A/3

5.在△OAB中，已知|oq=VL|Aq=l,NAO5=45o，P是△OAB所在平面内一点，若

3

0/=%。4+〃。8,满足4+2〃=2,且/120,〃》0,则。4在00上投影的取值范围是（）

6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。力,。,根据下列条件解三角形：

①。=14,6=7,5=30°；②a=102=9,5=60°•则()

A.①只有一个解，②有两个解B.①有两个解,②只有一个解

C.①②都只有一个解D.①②都有两个解

7.如图所示，从热气球A上测得地面上点3的俯角为60。,点C的俯角为45。，图中各点

在同一铅垂平面内，已知3,C两点间距离为100m,则热气球距地面的高度40为()

A.(100+50V3)mB.200^mC.(150+50G)mD.(150-5073)m

8.一艘轮船从A处出发，以40海里/小时的速度沿西偏南50。的方向直线航行,30分钟

后到达3处.在C处有一座灯塔，轮船在A处观察灯塔，其方向是东偏南25。,在§处观察

灯塔，其方向是北偏东85。，则氏C两点间的距离为()

A.lO(#+0)海里B.10(后―四)海里

Clog海里D.io后海里

9.根据如图所示的频率分布直方图，可以估计数据的中位数，众数与平均数，那么这

A.12.5B.13C.13.5D.14

10.记△ABC中的内角AB,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积

S=§仅2+。2一4),则tanA=()

214

智B.-C-D.1

343

11.如图，在三棱锥P-ABC中，异面直线AC与PB所成的角为60。4下分别为棱PA,BC

的中点，若AC=2,Pfi=4,则EF=（）

P

A.V3B.2C.C或#iD.2或近

12.在△ABC中，内角A氏C所对的边分别为“为了，若人=巴，B」，则

43

y/6b—2d（）

a

A._iB.-C.lD.-

,22

13.已知平面向量°»满足忖=1,0,。+耳=，则k-的最大值为（）

A.2B.四+iC,73+ID.3

14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，口

2s=a-，则包里的取值范围为（）

sinC

A.目）B.（O,|）C.（O,|）口.仔+oo）

15.在△ABC中,a/,c分别为角A,3,C所对的边，已知。=62=*，3=工，若满足条件的

3

角A有两个不同的值，则x的取值范围为（）

A.（0,3A/3）B.（3"+OO）C.（3A/3,6）D.（0,6）

16.已知三角形的三边长分别为4、6、8,则此三角形为（）

A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形

17.已知空间三点4(0,1,1),6(-2,1,0),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面

积为()

A.3B.—C.6D.V6

2

18.某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案.如图，在该建筑物旁

水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点M的仰角分别为30。，60。，45。，且

AB=BC=5Qm^则该古建筑的高度为()

19.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产

和科研实践中得到了非常广泛的应用,0.618就是黄金分割比t=或二1的近视值.有一个

2

内角为36。的等腰三角形中，较短边与较长边之比为黄金比.则411126。=()

A1B小+1Q^5—1口逐

2寸4~~4~~

20.在△ABC中,2bcosB-acosC+ccosA，则3=()

A.-B.-C.-D.—

6433

参考答案

1.答案：B

解析：因为..ABC的三边长分别为1,行，石，

所以边长为、六的边所对的角最大，其余弦值为仔+（行）一（右）：&

2x1x02

所以最大内角的度数是135。

故选:B

2.答案：C

OO

解析：ZVIBC中，设AC=Z?,A5=c，由NC4B=60，SZA/U“JC=4V、L

可得gbcsin6C»o=46,即乎儿=4"所以次=6

9

因为所以AD=—AB,

3

由CP=3PD,得CP=3PD^AP-AC=3（AD-AP），整理得

1311

AP=-AC+-AD=-AC+-AB,

4442

因为AC•AB=|AC|•|AB|cosN3AC=Acos60°=gbc=8,

2222

所以|”|2=（以。+以3）2=—|AC|+-|AB|+-ACAB=—（b+4c+2bc）,

42164416

而b-+4c2+2bc>4bc+2bc=6Z?c，所以IAP|2>—x6Z?c=6,当且仅当Z?=2c时，即

16

b=4-72，c=2.72时，等号成立.

因此，当b=472，c=272时，|API的最小值为卡，即AP的最小值为卡百米.

故选：C.

3.答案：C

解析：设C£）=a，则AD=2a，

BD=y/AD2-AB2=1，

22

由余弦定理得典=_BD+CD-BC\

AD2BDCD

J4a2一14/一i+/—7

，解得Q=1，J5£＞=5

2a2ad4a2-1

所以的＞=2。＞，5△八ABD.=-2ABxJBD=—2，

_3_3A/3

'△ABC—2—4

4.答案：B

解析：由题意可得2a=4,e=f=g，所以a=2，c=5，〃=y/c2-a2-^21，

在△耳尸鸟中,由余弦定理得4闺闾之=闺歼+优邛_2"斗闺P|cosN片尸耳，

23

••.4°2=(闺”—怩耳)+2寓P眄尸|+万山P眄目，

2

由于帆尸|—优P|=2a,所以4c=4a2+g眄耳，故山P眄8=24,

由于。是耳耳的中点，所以尸耳+尸8=2尸O，

2

则(S+P£)2=4「。2,即|PF^+\PF21+21PT^IIPF2\cosZF^=4|尸Of,

222

即|P与I+\PF21-||P^||P^|=4|PG>|

2

而归片q=2a,两边平方并整理得,|Pf；?+\PF21-21PFX||%|=44,②

联立①②可得|P。|=近.

故选：B.

5.答案：A

解析：由0P=404+〃。8,且X+2〃=2,

可得040P=04XOA+11—?08

=AOA+[\-^OA-OB,

又103卜行,|45卜1,403=45,

e/口<9A+\OB-\AB\./?II

由余弦定理得:cos450=J_II....-L=L，解得:OA=1,

2|(9A|-OB\211

所以04.8=2+11—]b1><小等=1+1,

当X<—2时,

0(2+2)2_啦1+^

上式=---------------------4I.....................................----------------------

222+422梏苫。

2

当彳＞_1时，上式=后J（2+2）,

2V22+4

综上,OA在OP上投影的取值范围是［号,11

故选:A.

6.答案：A

解析：对于①：由正弦定理可知旦，14x?,,

sinAsin30°sinA=­--=1

因为Aw(0,兀)，所以A=巴，则①只有一个解；

2

百

对于②：由正弦定理可知旦=_2_,10xV5A/3,

sinAsin60°sinA=——^-=^-<1

99

且a>。,则A有两解，因此②有两个解；

故选：A.

7.答案：C

解析：在RtAAOB中,NQ4B=30°，所以05=OAtanZOAB=—OA，

3

在Rt^Q4C中,NQ4c=45。，所以OC=Q4,

因为3,C两点间距离为100m，

所以OC—03=04-/04=100，解得。4=(150+506)111.

故选：C.

8.答案：A

解析：如图，由题意矢口A3=40x』=20,ZABC=85°-(90°-50°)=45°

2

ABAC=180°-(50°+25°)=105°,ZACB=180°-(105°+45°)=30°

由正弦定理,一^=B_,

sin105°sin30°

则BC=40sinl05=40xsin（60+45）=40x（咚x等+：义曰）=10（遥+应）・

故选：A.

9.答案：B

解析：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，则众数是125

中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线的横坐标，第

一个矩形的面积是0.2,第二个矩形的面积是0.5,故将第二个矩形分成3:2即可，则

中位数是13.

平均数为7.5x0.2+12.5x0.5+17.5x0.3=13.

三个数由小到大排列为12.5,13,13,因为数0.6=1.8,由百分位数的定义可得60%

分位数为13,

故选：B.

10.答案：A

解析：因为S=g仅②+°2-a2）=gbcsinA,

又由余弦定理步+02_标=2bccosA，

2]

所以一x2/JCCOSA=—bcsinA,

32

4

所以'cosA=-sinA，贝UtanA==号=§.

32cosAJ_3

2

故选：A.

11.答案：C

解析：取AB的中点a

连接切、EH,

P

因为E/分别为棱力,的中点，

则FH〃AC,EH〃PB,

又异面直线AC与尸3所成的角为60。，

则NEHF=60°或ZEHF=120°,

5LFH=-AC=l,EH=-PB=2,

22

由余弦定理EF2EH2+FH2-2xEHxFHxcosZEHF可

^t：EF2=22+l2-2x2xlx1=3^EF2=22+l2-2x2xlx^-1^|=7,

即ER=后或EP=5.

故选:C.

12.答案：C

.71

解析：由2=迹=学8="，得b力a，

asi"sin2E22

4

所以疯-2a—2a6cl.

aa2

故选：C.

13.答案：C

解析：设a=OR,匕=03，a+b=OC如图，

由题意，即在平行四边形Q4CB中,Q4=1,NOCA=P,

6

求AB的最大值.

延长Q4至。。，使Q4=AD,则CD=,

由正弦定理,。,AC三点所在外接圆的直径2R=———=2,

sinZOCA

所以R=l，设圆心为G,如图,

G,

所以可知NGOD=^，又OG=1，OD=2,

3

所以由余弦定理可得DG=^12+22-2X1X2XCOS|-=石，

则由图象可知CD<DG+R=I+G，

故选：C.

14.答案：A

解析：因为2s=/_屹一切2，所以可得

2x—bcsinA=b2+c2-2bccosA-伊+c2-2bc），

2

化间得sinA+2cosA=2，又,sin2A+cos2A=1»联立得5sin2A-4sinA=0,

解得sinA=3或sinA=0（舍去），

5

所以sinB二sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC43

--------------=-----1-9

sinCsinCsinC5tanC5

为△ABC为锐角三角形，所以0<C（工，B=TI-A-C<->所以乌—A<C（工,

一「2222

所以tanOtan但一A1=」一=3,所以」-』0,勺，所以」-』0,更］,

（2）tanA4tanC（315tanC115J

.43<35^

"5tanC+5

故选A.

15.答案:C

j6_x

解析：由正弦定理，1_=上,可得==一^

sinAsin5sin-

所以sinA=之叵,

X

若△ABC满足条件的角A有两个不同的值，即三角形有两解,

因为二<A<@,所以立

<sinA<B

332

即3<还<1解得38<x<6.

2x

故选：C.

16.答案：D

解析：三角形的三边长分别为4、6、8,

不妨设A,3,C所对的边分别为a,O,c,且a=4,/?=6,c=8，

因为c=8是最大边,所以角C是最大角，

根据余弦定理，得cosC=片+"―'=16+36-64<。，

2ab2x4x6

因为Ce(0,7i)

所以角C是钝角，可得△ABC是钝角三角形.

故选：D.

17.答案：D

解析：AB=(-2,0-1),AC=(1,1,0),则

|AB|=75,|AC|=V2,cos<45,AC〉=।叱弋=］「=--^=,即

1111ABAC

\\\\小义正Vw

5由<4氏4。〉=、鸟,所以以4民4。为邻边的平行四边形的面积为6乂0><在=6.

vioJio

18.答案：C

解析：设0M=xm，

在RtAOMA中，=tanAOAM-tan30，OA-y/3x，

OA

在RtaOMB中，=tanZOBM=tan600-OB=—x^

OB3

在中，—=tanZOCM=tan45°>Q4=x，

OA

222

。加+432-042-X+50-3X

在钻中，由余弦定理得:cosAOBA=_3

20B-AB

2x——x-50

3

222

222-X+5Q-X

OB+BC-0C3

在△06。中，由余弦定理得:cosZOBC=二

20BBC06力

2x—50

3

因为ZOBA+ZOB