【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题16 类比归纳专题：切线证明的常用方法之二大类型（解析版）

专题16类比归纳专题：切线证明的常用方法之二大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一有切点，连半径，证垂直】 1【类型二无切点，作垂直，证半径】 16【典型例题】【类型一有切点，连半径，证垂直】例题：（2023上·云南昭通·九年级校考期中）如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查圆切线的判定与性质（1）连接，利用求证即可求证即得证；（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．【详解】（1）解：证明：如图，连接OD∵∴，∵∴∴在与中∴(SAS)∴∵AC是切线．∴∴∵点D在上，OD为半径，且∴CE是的切线（2）解：∵CE是的切线∴设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：∵，∴解得：∵∴设，在Rt中，，由勾股定理得：∴解得：∴CD的长为6【变式训练】1．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线；（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图所示，连接，∵，∴是等腰三角形，，∵，∴，∴，∴，而，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）∵为的直径，∴，，∴，如图所示，连接，∵，，，∴，∵∴∵，∴∴∵∴∴，即解得，∵为的直径，∴，∵，∴，∴∵∴∴∴．【点睛】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．（2023·广东佛山·校考一模）如图，已知中，，以为直径的圆交于，交于．(1)若，求证：为的切线．(2)若为的切线，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）如图：连接、，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后运用三角形的中位线的性质可得，进而得到即可证明结论；（2）如图：连接，由圆周角定理可得，再解直角三角形可得，运用勾股定理可得;再运用等腰三角形的性质可得、，进而得到，任何根据切线的性质可得，即；最后根据三角形中位线的性质即可解答．【详解】（1）解：如图：连接，，∵为圆直径，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴为的切线．（2）解：如图：连接，∵为的直径，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵为的切线，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的证明、切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．3．（2023上·湖北荆门·九年级校考期中）如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，点F在上，且．(1)求证：是半圆O的切线；(2)若，，，求半圆O的半径长．【答案】(1)见解析(2)半圆O的半径长为【分析】本题考查了切线的判定“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”和勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．（1）连接，易得，根据，得出，则，即可求证；（2）连接，易得，设半圆O的半径长为r，则，在中，根据勾股定理可得：，在中，根据勾股定理可得：，则，求解即可．【详解】（1）解：连接，如图，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是半圆O的切线；（2）解：连接，∵，，∴，设半圆O的半径长为r，∵，∴，在中，根据勾股定理可得：，在中，根据勾股定理可得：，∴，解得：，即半圆O的半径长为．4．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，中，以为直径的交于点E，平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）连接，证明，即可得到结论；（2）根据锐角三角函数先求出半径和的长，然后证明，，进而根据线段的和差即可解决问题．【详解】（1）（1）证明：如图，连接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∵为的直径，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴的长为．【点睛】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．5．（2023上·广东中山·九年级校考期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，是的外接圆．

(1)求证：是的切线；(2)过点作，垂足为，求证：；(3)若，，求长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识：（1）连接，由于的平分线交于点，则有；而，就有，等量代换有，可得；又，所以，即可得到结论；（2）连接．证明，再由全等三角形的对应边相等即可得出；（3）由（2）中．又，根据勾股定理求出的长，证明，则，代入数值计算即可得到答案；【详解】（1）证明：如图，连接．

∵的平分线交于点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）如图，连接．

∵，∴．∵，∴．在与中，，∴，∴．（3）由（2）得．又∴，在中，，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．6．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，是的直径，，与相交于点E，D是的中点，直线与直线相交于点F．

(1)求证：是的切线．(2)已知，当长度变化时，的长也随之变化．①当时，②在整个变化过程中，的长是否存在最大值？判断并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①或；②不存在最大值，理由见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求，可得结论；（2）①通过证明，可得，通过证明，可得即可求解；②利用①中结论得出和的关系，可判断的长度的变化．【详解】（1）证明：连接，．

∵是的直径，∴．∴．∵D是的中点，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．又点E在上，∴是的切线．（2）①∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，如图1，∵，，∴，，∴，即；如图2，

∵，，∴，，∴，即；②AF不存在最大值，理由如下：如图1，设，，∴，∴，整理得，，当x无限接近4时，y的值无限大，即当和接近平行时，此时无限大．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，反比例函数的性质，证明三角形相似是解题的关键．【类型二无切点，作垂直，证半径】例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．

【答案】证明过程见解析；【分析】题目并没有说明直线与有没有交点，所以过点作于点，然后证明即可．【详解】证明：如图：过点作于点，

是的角平分线，，，，是的切线．【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·福建南平·九年级统考期中）如图，以矩形的边为直径作半圆，圆心为点O，点E在边上，平分．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的判定、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质及全等三角形的判定及性质：熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．（1）过点O作，垂足为M，根据矩形的性质及角平分线的性质即可求证结论；（2）设，利用矩形的性质及全等三角形的判定及性质可得，，再利用勾股定理即可求解；【详解】（1）证明：过点O作，垂足为M，如图：

在矩形中，，，平分，，，即是的半径，是的切线．（2）设，在矩形中，，，，，，在和中，，，在和中，，，，在中，，得，解得：，．2．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，是的角平分线，点O是上一点，与相切于点M，与交于点E、F．

(1)求证：是的切线；(2)连接，若，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键；（1）连接，过点作于，先根据切线的性质得，再由角平分线的性质得，进而根据切线的判定可得出结论；（2）由得，根据角平分线的定义得，再由得，然后根据求出，进而可得的度数．【详解】（1）连接，过O作于N．

∵与相切于M，∴．∵是的角平分线，，，∴半径．∴是的切线．（2）∵，∴．∵是的角平分线，∴，∴，∵，∴．∵，∴，，∴，∴．3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E，与相切于点D．(1)求证：是的切线；(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长．【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，∵与相切于点D．∴，∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，∴，∴，即是的半径，∴是的切线；（2）解：∵，，，∴，，∵点O为的中点，∴，∵∴，在中，连接，过O作于点H，∴，∴∵，∴．

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过点作于点，根据切线的性质由切于点可得，再根据角平分线定理得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线；（2）过作于，根据切线的性质得到，则得到四边形为矩形，得到，所以，再利用切线长定理得，，所以，在中，利用勾股定理计算出，则，所以，然后中，利用勾股定理可计算出．【详解】（1）证明：如图，过点作于点，，切于点，，平分，，为的半径，是的半径，是的切线；（2）解：如图，过作于，，是的直径，，分别切于点，，，，四边形为矩形，，，，，为的切线，，，在中，，，，在中，．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理．5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．(1)求证：与相切；(2)若的半径为，求正方形的边长．【答案】(1)答案见