【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题12 圆的概念、圆的对称性之六大考点(解析版)

专题12圆的概念、圆的对称性之六大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一求过圆内一点的最长弦】 1【考点二判断点与圆的位置关系】 2【考点三利用点与圆的位置关系求半径】 4【考点四圆心角概念辨析】 6【考点五利用弧、弦、圆心角的关系求解】 7【考点六利用弧、弦、圆心角的关系求证】 9【过关检测】 11【典型例题】【考点一求过圆内一点的最长弦】例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据直径是最长的弦即可求解．【详解】解：∵若的直径长为，点，在上，∴的长不可能是，故选：D．【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（

）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm【答案】B【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．【详解】解：圆的直径为圆中最长的弦，中最长的弦长为．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．【详解】解：∵圆的半径为6，∴直径为12，∵AB是一条弦，∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．【考点二判断点与圆的位置关系】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能【答案】A【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：，点在内．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．【变式训练】1．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（

）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵，，∴，∴点A在圆上，故选：B．【点睛】题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知和一点A，点A到圆心O的距离为d，的半径为r,①当时，点A在上，②当时，点A在内，③当时，点A在外，反之亦然．2．（2023·浙江·九年级假期作业）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（

）

A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内【答案】C【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．【详解】解：如图，

四边形为矩形，，，，，，在中，，，，在中，，，，，点在圆内，点在圆外．故选：．【点睛】本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．【考点三利用点与圆的位置关系求半径】例题：（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是．

【答案】【分析】首先利用勾股定理得出的长，利用以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，得出r的取值范围即可．【详解】解：如图，连接，

∵矩形矩形中，，，∴，∵以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，∴半径r的取值范围是：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键．【变式训练】1．（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为．【答案】12【分析】根据题意知的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】解：∵是内一点，∴的直径为最小距离与最大距离的和，∵最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，∴的直径为，故答案为：12．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．2．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是.【答案】【分析】因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，所以半径比大．点A在圆上或者圆外，所以半径小于或等于．【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外．因为点B在圆内，所以cm．当点A在圆上时，cm．当点A在圆外时，cm．因此：．故答案是：．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定⊙C的半径．【考点四圆心角概念辨析】例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；D．是圆心角，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（）A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B．圆心角α的取值范围是C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D．圆心角就是在圆心的角【答案】C【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案．【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，∴A、D错误，C正确；∵圆心角α的取值范围是，∴B错误．故选：C．【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义．2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB,称为弧AB所对的圆心角进行判断.【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；B、不是圆心角，故不符合题意；C、是圆心角，故符合题意；D、不是圆心角，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．【考点五利用弧、弦、圆心角的关系求解】例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【详解】解：∵在中，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．【考点六利用弧、弦、圆心角的关系求证】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知的半径，，在上，于点，于点，且，求证：．

【答案】见解析【分析】根据角平分线的判定定理可得，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．【详解】证明：∵，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明是解题关键．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．【答案】见解析【分析】根据∠ABD=∠CDB，可知，则有，由此可得，进而可证AB=CD．【详解】证明：∵∠ABD=∠CDB，∴，∴，∴，∴AB=CD．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．【答案】见解析【分析】连接，通过证明即可得结论．【详解】证明：如图，连接，是的中点，，，在和中，，，．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．【过关检测】一、单选题1．（2023上·福建厦门·九年级福建省厦门第六中学校考期中）已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（

）A．8 B．5 C．4 D．1【答案】A【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．【详解】解：由题意圆的半径为3，则该圆的直径为6，因为圆中最长的弦为直径，∴．观察选项，的长不可能是8，只有选项A符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键．2．（2023上·福建龙岩·九年级统考期中）的半径为6，点A到圆心的距离，则点A与圆的位置关系为（

）A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系进行解题．【详解】解：∵的半径为6，点A到圆心的距离，小于圆的半径，∴点A在圆内，故选：B．3．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．圆的对称轴是直径 B．相等的圆心角所对的弧相等C．等弧所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等【答案】C【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等对各选项进行判断．【详解】解：A、圆的对称轴是直径所在的直线，原说法错误，本选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，本选项不符合题意；C、等弧所对的弦相等，本选项符合题意；D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，原说法错误，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．（2023上·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校联考阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，得出，计算，根据，计算，选择答案即可．【详解】解：∵是的直径，，，∴，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的关键．5．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．【详解】解：如下图，连接，

∵是劣弧的中点，即，∴，∵，∴，∵，∴，即．故选：C．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．二、填空题6．（2022上·九年级课时练习）如图，在中，弧与弧相等，，则°．【答案】30【分析】由弧与弧相等推得弧和弧相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出的度数．【详解】解：∵弧与弧相等，∴弧和弧相等，∴；故答案为：30．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆周角相等是解题的关键．7．（2023上·九年级课时练习）如图，点，点，点在上，分别连接，，．若，，则．

【答案】/20度【分析】首先连接，，然后根据等弦对等圆心角得到，再根据三角形内角和得到，再由，，即可得到结果．【详解】解：如图，连接，，

，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容；掌握圆内相关概念是解题基础．8．（2023上·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则的取值范围是．

【答案】/【分析】如图，连接，根据点与圆心的距离与半径大小的关系进行判断，当时，点在圆外，当时，点在圆内，由图可知当时，矩形的另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，由勾股定理得的值即可得出答案．【详解】解：如图，连接，

四边形是矩形，，又，在中，，由图可知，故答案为：．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点到圆心的距离与半径大小关系及勾股定理是解题关键．9．（2021上·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为．【答案】50°【分析】连接CD，如图，先根据三角形内角和计算出∠B＝65°，再根据等腰三角形的性质由CB＝CD得到∠B＝∠BDC＝65°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD＝50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．【详解】解：连接CD，如图，∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°−25°＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠BDC＝65°，∴∠BCD＝180°−65°−65°＝50°，∴的度数为50°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为．

【答案】【分析】过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．【详解】解：过D作于E，则，

∵点C是直径的三等分点（AC＜CB），直径，∴，∴，∵点D是弧的三等分点（弧＜弧），∴，∴，∴,,∴,∴,故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理，能求出和半径的长度是解此题的关键．三、解答题11．（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？【答案】AB与CD相等，详见解析【分析】根据，得到，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明．熟练掌弧、弦之间的关系是解题的关键．【详解】解：与相等，理由如下：∵，∴，∴，即，∴12．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是上的点，为直径，．

(1)求证：点C平分．(2)利用无刻度的直尺和圆规做出的中点P（保留作图痕迹）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，因为，得到，，又因为半径相等，则，即可证明点C平分；（2）分别以A、B为圆心，大于为半径，画弧交于一点，连接该点与圆心交于一点即为的中点P．【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，∴，，∵，∴，∴，∴点C平分；（2）解：如图所示：点P为所求：

【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及基本作图等知识内容，正确掌握基本作图的方法是解题的关键．13．（2023上·九年级课时练习）如图，的两条直角边，，斜边上的高为．若以为圆心，分别以，，为半径作圆，试判断点与这三个圆的位置关系．

【答案】当以为半径作圆时，点在这个圆的外部；当以为半径作圆时，点在这个圆上；当以为半径作圆时，点在这个圆的内部【分析】根据勾股定理得到，再由等面积法求出，结合点与圆的位置关系判断即可得到答案．【详解】解：∵的两条直角边，，∴由勾股定理可得，∵，∴，当以为半径作圆时，点在这个圆的外部；当以为半径作圆时，点在这个圆上；当以为半径作圆时，点在这个圆的内部．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，涉及勾股定理及等面积法求线段长，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键．14．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．

(1)连接，判断与的位置关系，并证明；(