海南省海口市2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试卷（解析版）

海口市2023〜2024学年第二学期高一年级期末考试

数学试卷

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

-生人A=B=\x\-2<x<3\.4R-

1,若集合I1>,11J,则n4方一

A.1x|0<%<3}B.1%|-2<x<4jC.{0,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出集合A,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由«<2,则

所以A=eZ|A/XW2}={xeZ|0Wx<4}={0,1,2,3,4},

又5=同-2Kx<3},

所以AB={0,l,2,3).

故选：C

G*

2.复数z=—(其中，是虚数单位)，贝Uz的共辗复数5=()

1+Z

13.13.13.

A.-------1B.---------1C.—I—ID.—

222222

【答案】C

【解析】

13

【分析】由题意结合复数的除法运算可得z=——i,再由共辗复数的概念即可得解.

22

(2-0(1-0l-3z13.

【详解】-y-------=-------1

(1+0(1-0222

故选：c.

【点睛】本题考查了复数的运算及共辗复数的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

3.已知向量b=（6,-2）,若a与B共线，则加=（）

A.3B.—C.—D.—3

33

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解.

【详解】因为向量£=（根,1）,&=（6,-2）,a与》共线，

所以7"X（—2）=1x6,解得〃2=-3,

故选：D.

4.已知角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（1,—3）,则sin（7r+a）-sin[+a）=（）

2回C巫2M

55

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函数的定义求出sina,cosa,再由诱导公式计算可得.

-3710

【详解】因为角a的终边经过点（1,—3）,所以sina=

10

Vid

COS6Z=

10，

7T_.-3A/107109

所以sin（兀+a）-sin--FCL=-sma-cosa=------------------=------

210105

故选：C

5.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体,

如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，尸为圆锥的顶点，A,8分别为圆柱上、下底面圆的圆

心，若圆锥的底面周长为6兀，高为3,圆柱的母线长为4,则该几何体的表面积为（）

图1图2

A.（33+9行）兀B.（24+9行）兀C,（33+180）兀D,（24+180）兀

【答案】A

【解析】

【分析】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为小圆锥的母线为/,根据圆锥的底面周长求出厂，再由勾股定

理求出/,最后由表面积公式计算可得.

【详解】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为小圆锥的母线为/,依题意可得2兀厂=6兀，解得厂=3,

所以/=432+32=3拒，

所以该几何体的表面积S=nr2+7ir/+27irx4=7ix32+71x3x3^2+2nx3x4=^33+9^2^71.

故选：A

6.已知cosasin/=，,tancr=3tan/?,则sin（a-7?）=（）

6

7117

A.--B.—C.-D.一

9339

【答案】C

【解析】

【分析】利用切化弦的思想和两角和差公式即可求解

【详解】因为tana=3tan/,

sina3sinB.八。.八

所以-----二-------,即sinorcosp=3cosasmp,

cosacos0

所以sin（a—分）=sinacosf3-cosasin/?=3cosasinj3-cosasin分二2cosasinj3,

又cosasm/3=—,

6

所以sin（a-〃）=2coscifsin/3=2x—=.

故选：C.

7.若函数〃x）=Gcos®尤+e）,（＜y＞0,|同〈兀）图象的相邻两个对称中心之间的距离为不且

恒成立，则"=（）

2兀27r7T71

A.—B.------C.-D.-----

3333

【答案】B

【解析】

【分析】根据周期求出①，再根据为最大值求出9.

兀T71

【详解】因为图象的相邻两个对称中心之间的距离为一，所以一=—,即7=兀，

222

又。＞0,所以」=兀，解得。=2,

（D

所以〃X）=J5COS（2X+°）,又恒成立，所以2x1+0=2E/eZ,

2兀27r

解得（P=——+2kji,keZ,又网＜兀，所以。=——.

故选：B

8._ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC＞a=4,

BC边上的中线为后，则的面积为（）

A.石B.2A/3C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出A,再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得次

的值，进而求出该三角形的面积.

【详解】因为sin?B+sin?C—sin?A=sinBsinC，由正弦定理可得b?+c?—a?=Z?c，

由余弦定理可得Z?2+c2-A2=2bccosA＞可得cosA=—,

2

而Ae（0,兀），可得A=g,

由余弦定理可得a?—Jj1+c2—2Z?ccosA—b~+c2—be，

^i6=b2+c2-be,①

因为BC边上的中线为布，设中线为A。，

则2AD=AB+AC，

两边平方可得4AD?=AB?+AC?+2AB-AC=AB?+AC?+21AB|•|AC|cosA，

即4*6=/+/+bc，②

②一①可得2Z?c=8,即Z?c=4,

所以SABC=—^csinA=—x4x—=5/3.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.“绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显

示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数

（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日〜3月24日一周内海口

市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI）,这组数据中，以下表述正确的是（）

2024年3月18日~3月24日

海II巾。“某市”AQI指数散点图

S0

70

60

50

40

30

20

10

0

3月3月3月3月3月3月3月

18H19日20日21日22日23日24日

♦海口市▲“某市”

A.海口市这一周AQI的平均数为22

B.“某市”这一周AQI的中位数为40

C.两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况

D.海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差

【答案】AB

【解析】

【分析】由散点图计算平均数和中位数判断A、B;根据方差的意义和散点图分析数值波动程度可判定C、

D.

【详解】对于A,根据散点图分析可知，海口市这一周AQI的平均数为

22+26+33+31+23+9+10”〜

--------------------------------------=22,A正确

7

对于B,观察散点图“某市”这一周AQI有31,35,36,40,42,50,74,可知中位数为40,B正确；

对于C,两市这一周AQI指数的方差或标准差不能完全反映出两市空气质量变化的稳定情况，C错误；

对于D.根据散点图观察海口市这一周AQI指数的波动小于“某市”这一周AQI指数的波动，

所以海口市这一周AQI指数方差小于“某市”这一周AQI指数的方差，D错误；

故选:AB.

10.设函数/(x)=lgx,g(x)=f下列关于/(%)和g(x)的性质，正确的是()

A.对任意的占，%2e(0,+co),=/—

B.对任意的X],%2e(0,-H»)且石w々>f[.；']

C.函数g(x)是定义域为(-1,1)的奇函数

D.函数g(x)在定义域上是增函数

【答案】AC

【解析】

【分析】根据对数的运算性质分析A,由基本不等式分析B,由函数奇偶性的判断方法分析C,由复合函

数单调性的判断方法分析D.

【详解】对于A：对任意的占,%e(0,+8),/(%1)-/(%2)=^%[-lgx2=lg—=/—,故A

X2\X2J

正确；

对于B：对任意的X],x2e(0,+oo)且%w%，=lg\；炮工2=坨J%%,

由基本不等式，由于均，々6(°，+°°)且石彳％2，馆(>

即詈］，故B错误;

A1—YA1—Y1—V

对于c,g«=/—=lg—,必有——>0,解可得—1<X<1,即函数的定义域为

ll+xj1+xi+x

1|Y1_-y-

又由g(—x)=lg匚1=—lg==—g(x),即函数g(x)是定义域为(—1,1)的奇函数，故C正确；

1—X

对于D,gW=lg------=lg1,设y---------1,易得f在区间(—1,1)上为减函数,

1+x

而y=lg,在其定义域上为增函数，故函数g(x)在定义域上是减函数，故D错误.

故选：AC.

11.如图，棱长为1的正方体ABCD—&耳GR中，点石，F，G分别为棱BC,CD,G2的中

点，点M为棱CG上的动点，点N为侧面8耳内动点，AN与侧面5瓦CC成角为45。，则下列说

JT

A.动点N所在轨迹长为一

2

B.平面平面

C.平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形

D.点8和点C到平面AEM的距离相等

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：得出点N在以8为圆心，1为半径的圆弧上，即可求解；对于B：通过条件证出AEL

4

平面5耳GE,即可得证；对于C：通过条件得出平面AEM截正方体的图形还可以是五边形AEMW,

即可判断；对于D：根据E为中点，得到点3和C到平面AEM的距离相等，即可判断.

【详解】对于A,因为工平面3瓦GC,连接BN,则N/WB即为AN与侧面3瓦CO成角,

所以NAA®=45。，则5N=AB=1，

|TT

所以点N在以3为圆心，1为半径的一圆弧上，圆弧长为一，故A正确；

42

JT

对于B,在正方形ABC。内，RtABE^RtBCF,ZEAB=/FBC,又NEAB+NBEA=^,

TV

所以〃BC+NBE4=—,

2

所以尸，又3与J,平面ABC。，AEu平面ABC。，

所以AEL34，BB1,班'u平面BB]GE,BBBF=B,

所以AE,平面33]GE,AEu平面AEM,

所以平面49以，平面346歹，故B正确；

对于C,取CG的中点T，当M与T重合时，连接A。，则有ET//AQ,

E,T,A,2四点共面，

即平面AEM截正方体的图形是四边形A，TE,如下图：

当M点在线段C?上时，在平面抽2。内作直线AU//EM,交的延长线于U,

交4。于V,连接

因为。2〃CC1,所以。，U,C,Q四点共面，UMU平面。。GC,UM\SG=W,

即平面AEM截正方体的图形是五边形AEMW,故C错误；

对于D：因为E为中点，所以点B和C到平面的距离相等，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：对于A关键是确定线面角，从而确定动点的轨迹长度，对于C,关键是分类讨论

要全面.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.

12.复数z=l+oi(aeR)在复平面上对应的点在第四象限，目=3,则。=.

【答案】—2庭

【解析】

【分析】根据复数几何意义得到a<0,再根据复数的模计算可得.

【详解】复数z=l+ai(aeR)在复平面上对应的点在第四象限，

所以a<0,又目=在+又=3,解得。=2夜(舍去)或a=—2夜.

故答案为：—20

13.平面向量口，〃为单位向量，且+,贝1]1+2。|=.

【答案】&

【解析】

【分析】根据平面向量数量积运算法则和性质即可求解.

【详解】因为平面向量a，B为单位向量，所以同=例=1

因为(a—+=-1,所以a—a-b—2b=|^|—a-Z?—2|z?|=—1,

所以〃必二0；

r|2r2rrr2.r.2rr1必

所以Q+2〃=a+4a，6+46=\a\+4〃2+4。=5；

即卜+20二E.

故答案为：5

14.已知三棱锥。—A3C的顶点都在球。的表面上，ADJ_平面ABC,8D与底面ABC所成的角为

TT

一,AC=BC,AD=2,的面积为石，_A6C所在的平面与球。的交线长为,球。的

6

表面积为.

【答案】①.4TI②.20K

【解析】

【分析】根据已知条件结合正弦定理得出三角形ABC外接圆半径为「，再利用勾股定理求出球半径R,即

可求解.

【详解】平面ABC,A3u平面ABC,所以ADIAB,

7TTT

又3。与底面ABC所成的角为:，即ZDBA=-,

66

AD

•BD-2AAB--2—2、h

AD=2,sinZDBA1,tanZDBA73

23

又因为S“c=6,

取A5的中点E,连接CE,因为AC=5C,所以CE_ZA6,

所以LxABxCE=豆，即工x2若xCE=退，解得CE=1,

22

所以AC=BC=dBE?+CE?=5(Gy+T=2,

AC2+BC2—AB24+4—12

所以cosZACB=所以NACB=120°,

2ACBC2x2x22

AB^=4＞解得r=2,

设三角形ABC外接圆半径为r,则2r=

sinZACB

所以ABC所在平面与球。的交线长即为,ABC外接圆周长，即2m*=4兀,

设球。到平面ABC的距离为d,则有22+储=22+(2-砌2,解得2=1,

从而球O半径为R=，屋+/=曰4=6,

所以球0的表面积为4兀7?2=4兀x5=20兀.

故答案为：4兀；20TI.

\夕--£【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定

B

球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题,

注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的

直角三角形，利用勾股定理求得球的半径

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名

应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在［50,100］内，将笔试成绩按照［50,60),［60,70),

［90,100］分组，得到如图所示频率分布直方图.

人频率

HL

u5060708090100成绩

(1)求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数(每组数据以区间中点值代表);

(2)若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线(四舍五入取整数).

【答案】(1)第75百分位数为84,平均数为75.5

(2)73

【解析】

【分析】(1)根据百分位数及平均数计算规则计算可得；

(2)设最低分数线定为7,首先判断fe［70,80),从而得到方程，解得即可.

【小问1详解】

因为(0.01+0.02+0.035)x10=0.65<0.75,

(0.01+0.02+0.035+0.025)x10=0.9>0.75,

所以第75百分位数位于[80,90)，设为无，

则(0.01+0.02+0.035)xl0+0.025(x—80)=0.75,解得％=84,

所以第75百分位数为84,

平均数0.1x55+0.2x65+0.35x75+0.25x85+0.1x95=75.5；

【小问2详解】

设最低分数线定为/，由频率分布直方图可得，

分数在[80,100]的人数为(0.25+0.1)*100=35人；

分数在[70,80)的人数为0.35x100=35人；

所以fe[70,80),贝10.035(80—f)x100+35=60,解得m73,

所以可估计参加面试最低分数线73分.

16.已知函数/(X)=2sin[0x-£](0<®<3),直线x=g是函数的图象的一条对称轴.

(1)求函数/(%)的最小正周期和单调递增区间；

5兀

⑵若xe0,—,求函数八力的值域.

7171

【答案】(1)最小正周期为兀，单调递增区间为k7l--,k7l+-,ksZ

_63_

(2)[-1,2]

【解析】

【分析】(1)根据对称性求出即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；

(2)根据x的取值范围，求出2尤-占的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

O

【小问1详解】

因为直线x=g是函数/(%)的图象的一条对称轴，

TTTTTT

所以一co—=—卜kit,keZ,解得口=2+3匕左£Z,又0vgv3,

362

所以0=2,所以“尤)=2sin卜所以函数的最小正周期7===兀，

7Tyrjr

令2E—'<2x—+

262

jrjr

解得ku——<x<kii+—.k^Z,

63

77jr

所以函数的单调递增区间为+-,keZ.

63

【小问2详解】

Lt、i八5兀_7171271

因为％e°，二,所以——~

12o693

所以sin]2x_《)£

所以/(x)e[—1,2],即“X)在xe0,—上的值域为[T,2].

17.己知函数/(x)=sin—COSIXH--I+COSX+62,/(x)的最小值为—3.

I3J

(1)求。的值；

(2)求/(x)=0的解集；

⑶在锐角一ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若a=3,/(A)=l,求.ABC周长的

取值范围.

【答案】(1)a=-1

2冗

(2){x|x=2E或％=丁+2左兀}(左wZ)

(3)(373+3,9]

【解析】

【分析】(1)化简/(x),求出最小值，建立关于。的方程，解方程得解；

TTTTTT57T

(2)解三角函数方程可得x+—=—+2E或x+—=—+2E,最后写成集合形式得解;

6666

(3)求周长范围转化为求b+c的范围，然后利用正弦定理边化角，利用三角函数知识即可求得取值范围.

【小问1详解】

/(x)=sinj-cosfx+-1-j^sinx+lcosx-[-cosx-^sinXcosx+a

+cosx+a-

22(22J

=在sin%+cos%+〃=2sinx+—|+a

I6

71

因为〃龙)的最小值为-3,所以当sinXH---=-1时，/(%=-2+。=-3,

6

所以〃=一1.

【小问2详解】

兀71

由⑴知，/(x)=2sin%+巳)-1,则2sin[%+g]-l=0,gpsinfx+-^-j=

662

jrjr7TSjr27r

所以—=—F2k7ixH——-----卜2kn,解得％=2E或%=—+2%兀，keZ,

66663

27r

/(x)=0的解集为：{x|x=2kn或％=丁+2左兀/£Z}.

【小问3详解】

呜，

因为在锐角一ABC中，。=3,/(A)=1,Ae

所以F(A)=2sin[A+(卜1=1,即sin[A+()=l

6

所以A+：=—，所以A=z，

623

2R=——=---=2-J3

设,ABC的外接圆半径为R,则有一sinA一.兀一

sin—

3

所以b=27?sinB=2垂)sinB,c=27?sinC=2^sinC,

所以Z?+c=2G(sinB+sinC)=2GsinB+sin15+1

=2也sinB+—sinB+73cos5=3y/3sinB+3cosB=6sin15

I2

V7

71

0<B<-0<B<-

2TLTL兀n兀2兀

又〈2nn—<3<—n—<B+—<—

八271n兀62363

0<C<-0<-----B<—

232

所以sin15+：e,1,所以b+cw@J5,6],

因为尸为的中点，所以引0〃OC,又ABIIDC,所以FM〃AB,

所以尸、M、B、A四点共面，所以过点E,产和8将木料锯开，截面为ABMR；

EF〃平面PBC,证明如下：

因为M为尸C的中点，E,产分别为AB和的中点，

所以引0〃£>C且又底面ABC。为菱形，所以石3〃。。且防=」DC,

22

所以FM//EB且FM=EB,所以四边形■为平行四边形，所以EF//BM,

又跖<2平面PBC,BAfu平面PBC,所以所〃平面PBC；

【小问2详解】

因为平面ABC。，OCOEu平面ABC。，

所以PDLDC,PD1DE,又DELPC,PDcPC=P,PD,PCu平面PDC,

所以DEI平面PDC,又RCu平面PDC,所以。EJ_FC,

过点。作连接EH,又FC_LDE,DH?DED,QE1平面0四,

所以bCJ_平面DEH,又EHu平面DEH,所以FC上EH,

所以NDHE为二面角£—EC—。的平面角，

在RtADFC中。"=DCDF=立，

FC2

又ABIIDC,DEJ.AB,AD=5AE=当,所以DE==|

DFl-7L71

所以tan/D/ffi=——=6则ND/ffi=—,即二面角£—PC—。的大小为一；

DH33

【小问3详解】

切割后两块木料分别为四棱锥P-A3MF和多面体CD-，

又四棱锥P—ABCD和四棱锥尸—ABCD同底，且尸为P。的中点，

=

所以YP-ABCD^F-ABCD,不妨设/一ABCD=8,则^p-ABCD~4,

连接£8，由于M为PC的中点，所以匕jA//

202311

因{X}=%—3，所以。《{叶<1,所以—上？<---------{%)<——

1JL」1>20242024(12024

由=——2024x,则2024x=^——所以xe

L202420241'''2024'2024J'

士同时，km