高考数学一轮复习：幂函数与二次函数 专项练习（学生版+解析）

第02讲然函数与二次函数（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第1题,5分二次函数图象解不等式集合间的基本运算

二次函数单调区间求参数值函数的单调性求参数值

2023年新I卷，第4题,5分

或范围判断指数型复合函数的单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幕函数的基本

性质，难度中等偏下

11

【备考策略】1.掌握幕函数的定义及一般形式，掌握y=x,y=x2,y=x3,y=xT=—,y=x2=«的图象

x

和性质

2.理解并掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）

3.理解并掌握幕函数y=&=幺（&w0）的单调性和奇偶性

P

【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考

知识讲解

1.幕函数

(1)塞函数的定义及一般形式

形如了=工°(£€夫)的函数称为幕函数，其中X是自变量，a为常数

(2)塞函数的图象和性质

①塞函数的单调性

()=a[a>0时，/(X底第一象限单调递增

=A[a<0时，/(x庵第一象限单调递减

②幕函数的奇偶性

a为偶数，/(x)为偶函数

。为整

%为奇数，八只为奇函数

f(x)=xa<'。为偶数时，/(x)为非奇非偶函数

.为分数,设,为奇数时q为奇数,/(x)为奇函数

a为偶数，/可为偶函数

2.一元二次方程：

ax2+bx+c-O(«w0)

①方程有两个实数根OA=〃-4ac20

A>0

②方程有同号两根u><c

再％2=—>0

、a

A>0

③方程有异号两根o<c

%%2--<0

、a

hc

④韦达定理及应用：%1+%2=，%/=—

aa

_\/b2-4ac

XX=

\1~1\+々）2

14问

xf）=（菁+%2）[（%1+%2）2-3X（X2]

3.二次函数

①一般式：y=a%2+b%+c=〃（％+—y+------------（〃。0）,对称轴是九二----,

la4。2a

e…/b4ac-b\

顶点是（一一,-------）；

la4a

②顶点式：y=a{x+rri）2+k（tz^O）,对称轴是％=—佻顶点是（一切，女）；

③交点式：y=〃（%-再）（%-九2）（〃。0），其中（西,0），（%，。）是抛物线与x轴的交点

4.二次函数的性质

b

①函数y=〃/+笈+a^wO）的图象关于直线％=——对称。

2a

6b

②a>0时，在对称轴（%=----）左侧，y值随犬值的增大而减少；在对称轴（%=-----）右侧；y

lala

b4ac-b2

的值随无值的增大而增大。当元=-二时，y取得最小值--------

la4a

bb

③a<0时，在对称轴（%=——）左侧，y值随犬值的增大而增大；在对称轴（%=——）右侧；y

la2a

h4cic——Z?2

的值随X值的增大而减少。当%=-2时，y取得最大值

2a4a

考点一、塞函数的图象

典例引领

1.（全国•高考真题）如图是事函数>=尤”的部分图像，已知〃取;、2、-2、-（这四个值，则于曲线

N2

G，Cz，C3，C4相对应的〃依次为（）

【答案】A

【分析】根据基函数的单调性结合特值法进行判断即可.

【详解】当］＜0时，幕函数y=x"在（0,+8）上单调递减，

当々＞0时，哥函数y=x0在（0,+。）上单调递增，

可知曲线C1、C?对应的"值为正数，曲线C,、C,对应的"值为负数，

当夕＞1时，幕函数y=x"在（0,+8）上的增长速度越来越快，可知曲线G对应的“值为2,

当0＜。＜1时，幕函数y=在（0,+e）上的增长速度越来越慢，可知曲线G对应的〃值为

令x=2,分别代入、3=-，/=/；，得到%=；，义=专,

因为2-2=,＜也=2《，可知曲线G、g对应的〃值分别为-1、-2.

422

故选：A.

2.的图象是

【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1,1）,（8,2）,（J,J）,再判断函数的走向，结

82

合图形，选出正确的答案.

解：函数图象上的特殊点（1,1）,故排除A,D；

由特殊点（8,2）,,可排除C.

故选B.

点评：幕函数是重要的基本初等函数模型之一.学习幕函数重点是掌握事函数的图形特征，即图象语言，

熟记幕函数的图象、性质，把握幕函数的关键点（1,1）和利用直线y=x来刻画其它幕函数在第一象限的凸

向.

即时检测

7

1.（2023•安徽滁州•安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数丫=/-3一§（。＞（）,且awl）的图象恒过定

点尸.若点P在幕函数的图象上，则幕函数“X）的图象大致是

【答案】A

【解析】首先求出函数过定点尸的坐标，再求出鼎函数的解析式，即可判断.

2

【详解】解：y=a"3—(a>0,且awl)

3

2i12ri）

令X—3=0,则>=/-§=§,即x=3,y=§故函数y=（a>0,且awl）的图象恒过定点尸0,.

设〃x）=x“

贝I]/（3）=3a=|解得a=-l,Af（x）=/

故/（x）的图象大致是A

故选：A

【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，待定系数法求幕函数解析式以及幕函数的图象的识别，属于基

础题.

2.（2023・安徽六安・安徽省舒城中学校考一模）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举

166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别

划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重

质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（）

举重运动员的体重与举重质量关系折线图

举重质量公斤

运动员体重公斤

A.y=m^fx+n(m>0)B.y=mx-\-n(m>0)

C.y=mx1+n(m>0)D.y=max+n(m>0,a>0且awl)

【答案】A

【分析】根据函数〉=彳，y=G,y=f,y=2x,y=]g)的图象特征判断.

【详解】在同一坐标系中作出函数V=y=6,y=x2,

由函数图象，根据折线图可知，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是”（加>0）,

故选：A

考点二、塞函数的单调性与奇偶性

典例引领

1.（上海•高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,y）上单调递减的函数为（）

2l2

A.y=XB.y=x~C.y=xD.-v3

/JJy-A

【答案】A

【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数，C.>=/在区间（0,+8）上单调递增函数，故选A.

考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、累函数的性质.

点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称.

3

2.（全国•高考真题）函数丫=好在［―1,1］上是

A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数

C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数

【答案】A

3

考查募函数

y-A

3

0J>O,根据幕函数的图象与性质

可得在［-1,1］上的单调增函数，是奇函数.

故选A.

点睛：对于形如>=/的幕函数，研究函数性质时，可以将函数化简为丫=丘，可知定义域及函数奇偶性,

事函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.

2

3.（2020・江苏•统考局考真题）已知y=/（x）是奇函数，当应0时，/（力=2，则大-8）的值是.

【答案】-4

【分析】先求〃8）,再根据奇函数求/（-8）

【详解】/⑻=「=4,因为〃龙）为奇函数，所以〃-8）=-/（8）=-4

故答案为：—4

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

即时检测

■■■■■■■■■■■

1.（2023•辽宁•校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间（-”,0）单调递增的为（）

A.>=尸B.y=MC.J=2HD.y=V

【答案】A

【分析】分别分析函数的奇偶性和单调性即可选出结果.

【详解】解：y=V为奇函数，y=|x|,y=2国为偶函数，

但在（0,+8）单调递增，所以在（-8,0）单调递减，

而>=j为偶函数且在（-.0）单调递增.

故选：A

2.（2023•海南・统考模拟预测）已知f（x）=（〃，+〃L5）x"'为累函数，则（）.

A.在（-8,0）上单调递增B.“X）在（-双0）上单调递减

C./'（X）在（0,+8）上单调递增D.f（x）在（0,+8）上单调递减

【答案】B

【分析】首先根据幕函数的定义求出参数机的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.

【详解】因为〃x）=（苏+根-5b'"是累函数，所以加+机-5=1,解得机=2或%=—3,

所以“工）=V或了（力=尸,

对于/'（x）=d，函数在（0,+e）上单调递增，在（-8,0）上单调递减；

对于/'（"=/，函数在（0,+8）上单调递减，且为奇函数，故在（-8,0）上单调递减；

故只有B选项“〃力在（-8,0）上单调递减”符合这两个函数的性质.

故选：B

3.（2023•辽宁锦州,渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幕函数/（%）=（加一2根刁产.+1在区间

（。,+8）上单调递增，则机=（）

A.-1B.3C.-1或3D.1或-3

【答案】A

【分析】根据幕函数的概念和单调性可求出结果.

【详解】因为函数/卜）=（病-2加-2卜为幕函数，且在区间（0,+8）上单调递增，

所以机2—2m-2=1且tn2—4m+1>0>

由机2一2机一3=0,得加=-1或根=3,

当加=-1时，m2-4m+1>0,满足题意；

当机=3时，足帆2-4帆+1<0,不符合题意.

综上根=-1.

故选：A.

4.（2023•江苏•校联考模拟预测）（多选）若函数〃为=/,且看</，则（）

A.(^-x)(f(^)-/(x))>0

22B.xl-f(x^>x1-f(x2)

/(石)+/(也f再+x2

C./(jq)-x</(x)-xJ

221•22

【答案】AC

【分析】利用幕函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.

【详解】由募函数的性质知，y（x）=）在R上单调递增.

因为占<4,所以/（不）<八*2），即%-马<。，/（不）一"々）<。，

所以（士一切（/（不）一/（々））>0.故A正确；

令3=。々=1,®0-/（0）=1-/（1）=0,故B错误；

1

令g（X）=/（X）+X=x3+%，则

由函数单调性的性质知，/在R上单调递增，y=x在R上单调递增，

1

所以y=/（X）+X=x3+X在R上单调递增，

因为％<尤2，所以g（Xl）<g（%），即，（药）+玉</（马）+%2，于是有〃石）一尤zV”马）-尤，1故C正确;

令国=-1,%=1,则%=0,

所以因为&±^zD=/（o）=o,故D错误.

故选：AC.

考点三、利用塞函数单调性进行大小比较

典例引领

■■■■■■■■■■■

232

1.（高考真题）设。=||：,'则"'乩C的大小关系是（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【详解】试题分析：回函数，=（7）'是减函数，sob-,又函数V一/2在（0,+8）上是增函数，故a>c.从而选A

5y-x

考点：函数的单调性.

即时检测

23I

1.（2023•安徽模拟）已知a=33，6=2入c=4§，则（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【分析】根据指数函数，哥函数的性质即可判断c<a,再对6,c进行取对数，结合对数函数的性

质即可判断c<6,进而即可得到答案.

【详解】由a=b=V=8?1c=45）

则6=8%<83<93<〜C<a,

「-3-2

443

Xlog2Z?=log28=-,log2c=log2=--

则log2c<log?6,即o<6,

所以C<6<4.

故选：D.

j_J_3

2.（2023海南海口•校考模拟预测）设a===则。，"c的大小关系是（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

<1，利用嘉函数的单调性判断.

所以即c<q,

综上：c<a<b

故选：A

考点四、塞函数的综合应用

☆典例引领

1.（2023•全国•模拟预测）已知无，yeR,（X-1）2023+X=I,（2y+1）2023+2y=-->则x+2y=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】令/（X）=B23+X,xeR,易得/（x）为奇函数且为增函数，再由（Alp侬+x=|和

（2y+l）2°23+2y=-1,变形得到〃石1）=|,〃2y+l）=_|求解.

【详解】解：^f（x）=xm3+x,xeR,则”_#=（_尤户23+（_尤）=_〃尤），

回了（元）为奇函数.

回（X-1广3+X=|,

0（x-l）2O23+（x-l）=|.

X0（2y+l）2°23+2y=-|,

H（2y+l）2023+（2^+l）=-|,

团=/（2y+l）=--.

又田/（x）在R上单调递增，

团％—l+2y+l=0,即x+2y=0.

故选：B.

2.(2023•浙江•模拟)已知函数〃x)是定义在R上的偶函数且〃l-x)=〃x+3),当xe[0,2]时，

小)=t+1,若弁则()

A.a>b>cB.c>a>b

C.a>c>bD.b>c>a

【答案】c

【分析】根据偶函数的性质，结合已知等式可以判断出函数的周期，再结合函数的单调性进行判断即可.

【详解】由"1—x)=/(x+3)得，/(-x)=/(x+4),

而函数是偶函数，所以有〃-x)=/(x),

所以〃x)=〃x+4),

所以“X)的周期为4,

则”/1I]呜卜T筌1"[4。4+|)"(|),

B>42O-IM4MC

当龙e，0,2］时，=—+X3-3=——+X3-2,

x+1x+1

因为％=一A？%=/-2在［0,2］上均为增函数,

343

所以“X)在［。，2］上为增函数，

所以［1)0呜)'

故选：C

【点睛】关键点睛：根据已知等式，结合偶函数的性质判断出函数的周期是解题的关键.

,即时检测

1.(2023•黑龙江哈尔滨•哈九中校考模拟预测)幕函数〃x)=x°(aeR)满足：任意xeR有〃-尤)=/(“，

且/(-1)</(2)<2，请写出符合上述条件的一个函数〃力=.

2

【答案】声(答案不唯一)

2

【分析】取〃力=/，再验证奇偶性和函数值即可.

22

【详解】取，则定乂域为R,且/(—%)=(―2=/=/(%),

2

〃T)=1，42)=21=班，满足/(-1)<〃2)<2.

2

故答案为：声.

2.(2023・河北•统考模拟预测)已知函数〃x)=5-X-3/，若〃4-1)+“20)210,则实数。的取值范围

为.

【答案】,0；

【分析】令g(x)=x+3尤3,易得函数g(x)为奇函数,且为增函数，则不等式/1(a-1)+〃2a)210,即为

g(l-a)>g(2a),再根据函数的单调性解不等式即可.

【详解】令g(x)=x+3%3,

因为g(T)=-无-3X3=_g(x),所以函数g(x)为奇函数，

由函数y=x,y=3尤3都是增函数，可得g(x)=x+3x3为增函数,

/(x)=5-x-3x3=5-g(x),

则不等式〃a-l)+〃2a)Z10,

BP^5-g(«-l)+5-g(2a)>10,即-g(a-l)Ng(2«),

即g(1-a)Ng(2a),

所以1-a22a,解得

所以实数。的取值范围为1-%；.

故答案为：f-0°，1.

考点五、二次函数的综合应用

☆典例引领

1.(2023・全国•统考高考真题)设函数/(*)=2'(…)在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2,+应

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2"在R上单调递增，而函数/(x)=2，(1)在区间(0,1)上单调递减，

2

则有函数>=》。-a)=(尤-a2一;在区间(0,1)上单调递减，因此解得〃22,

所以。的取值范围是[2,+8).

故选：D

即时检测

1.(2023•江苏苏州•校联考三模)设函数/(%)=-2融(〃<0)的定义域为D,对于任意私〃若所

有点P(八/(〃))构成一个正方形区域，则实数，的值为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【分析】先求出。=［。,2］.进而根据y=Y-2x在［0,2］的单调性，得出函数十）=心一2办在x=l处取得

最大值根据已知即可列出关系式右=2,求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，ax2-2ax>0.

因为a<0,所以/-2彳<0,解得04xW2,所以。=［0,2］.

因为y=d-2x在［0』上单调递减，在［1,2］上单调递增，

所以，，=炉-2x在x=l处取得最小值-1,

所以，>=。（炉-2，在了=1处取得最大值一。，

所以，函数=4/尤2-2ax在x=l处取得最大值.

因为/（。）=〃2）=0,所有点尸（利"（叫构成一个正方形区域，

所以J^=2,所以。=-4.

故选：D.

2.（2023・四川雅安・统考三模）对任意的工£（1,4）,不等式以2_2x+2>0都成立，则实数。的取值范围是（）

A.［1,+00）B.C.5，+°0］D.［于+8）

【答案】D

【分析】分离参数得十「对任意的％£（1,4）恒成立，则求出即可.

【详解】因为对任意的％w（l，4）,都有双2_2%+2>0恒成立，

2九一2

团。>——对任意的工£（L4）恒成立.

设小）="

•.•XG(1,4),—<1,

4x

111

当『5,即X=2时，

团实数a的取值范围是（；,+/）.

故选：D.

【基础过关】

一、单选题

1.（2023•江苏常州•江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图所示是函数v一/（相，〃均为正整数且〃2,“互

y-x

质）的图象，则（）

IY]

A.加，"是奇数且一<1

n

B.加是偶数，〃是奇数，且

n

C.加是偶数，〃是奇数，且%>1

n

D.是奇数，且‘>1

n

【答案】B

【分析】由累函数性质及0<X<l时两图象的位置关系可知:<1；由图象可知为偶函数，进而确定

”〃的特征.

【详解】由幕函数性质可知：y=/与y=x恒过点（1,1）,即在第一象限的交点为（1,1）,

当0<%<1时，/,则竺<1；

人/人n

又y=/图象关于y轴对称，...y=X》为偶函数，；.（-X尸=，（-X）"'=京=M，

又7",〃互质，，根为偶数，〃为奇数.

故选：B.

2.（2023•吉林・统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（）

A.y=£B.y=tanxC.y=1D.>=出

【答案】A

【分析】根据幕函数单调性即可判断出A正确，C错误，再根据正切函数和指数函数图象即可得出BD错误.

【详解】由幕函数性质可知，1=£=正定义域为[0,+8）,且在定义域内单调递增；即A正确;

y=：=x-在其定义域(O,+s),(-8,0)上分别单调递减，即C错误；

由正切函数图像可知，y=tanx为周期函数，在定义域内不是单调递增，B错误；

由指数函数性质可知，y=在xeR上为单调递减，所以D错误.

故选：A

3.(2023・四川南充・阖中中学校考二模)下列函数中，在(—,-1)上是增函数的是()

A.y=—%3B.y=—x2—4xC.y=----D.y-yjl—x

\+x

【答案】C

【解析】对AB：直接判断其单调性；

Y1

对C：把丁=7^-化为〉=1-「，判断其单调性；

对D：利用y=«判断y=的单调性.

【详解】本题考查函数的单调性.

A项中，函数y=在R上单调递减，故A错误；

B项中，二次函数y-4尤的图像开口向下，对称轴方程为x=-2,故该函数在(-s,-2］上单调递增，在

(-2,-)上单调递减，故B错误；

C项中，函数尸工人一3,在(f，T)和。，+8)上分别单调递增，故C正确；

1+X1+X

D项中，函数y=^/^7在(-力,2］上单调递减，故D错误.

故选:C

【点睛】方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.

4.(2023•宁夏银川•校联考二模)已知函数/(x)=^+6sinx+c,若/(-1)+〃1)=2,贝|c=()

2

A.-1B.0C.1D.-

【答案】C

【分析】代入计算并运用函数奇偶性求解即可.

【详解】因为+/⑴=2,

所以一a一/?sinl+c+a+bsinl+c=2,

所以。=1.

故选：C.

5.(2023•广西•统考模拟预测)已知函数/(x)=sin卜-1］+/—［工，则/(—20)—/(20)=()

A.-9B.-8C.8D.9

【答案】c

【分析】利用诱导公式化简函数的表达式，利用三角函数和特殊暴函数的奇偶性进行分析，可得到

9

f(-x)-f(x)=-x,进而计算得到答案.

1o

【详解】由〃司=/一8$尤一丁，有=：无，可得〃-20)-/(20)=8.

故选：C

6.(2023・湖南娄底・统考模拟预测)已知函数〃x)=,匕：在区间上单调递增,则实数。的取

值范围是()

A.(-co,-2)U(0,3)B.(ro,-2)口(0,3］

C.(^>0,—2)u(0,10)D.(―co,—2)D(0,10］

【答案】B

【分析】将函数/⑺在区间［-10,-3］上单调递增，转化为a(2+a)>0且30+OX20在区间［-10,-3］上恒成立

可求解.

【详解】因为函数=:七：在区间［T。，-3］上单调递增,

所以。(2+“)>0且30+办之0在区间［TO,-3］上恒成立，

“(2+〃)>0

所以30—10〃20,解得av—2或0<々<3.

30-3«>0

故选：B

7.(2023•山东荷泽・山东省邺城县第一中学校考三模)己知函数/(x)=V+(a—2)x?+2x+人在［-2c-l,c+引

上为奇函数，则不等式/(2x+l)+/(a+Z;+c)>0的解集满足()

A.(—2,4］B.(―3,5］C.1-万,2D.(―2,2］

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性求出参数。、b.c的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，

结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】因为函数/(力=/+(。-2)/+2%+人在［一2。-1,。+3］上为奇函数，

所以一2c—l+c+3=0,解得c=2,又〃一x)=—,

即一x'+(a—2)x?—2x+Z?=——(a—2)x?—2x—b,

(、o12(〃—2)=0{a=2

所以2(a-2*+力=0,解得：3，解得一记

—UD—U

所以〃x）=V+2x*xe［-5,5］,

由y=V与y=2x在定义域［-5,5］上单调递增,所以“X）在定义域［-5,5］上单调递增,

则不等式/(2x+l)+〃a+A+c)>0,即〃2x+l)+〃4)>0,等价于/(2x+l)>“T),

2x+\>-A即不等式的解集为122

所以，-|-<x<2

—5<2x+1<5

故选：C

8.（2023•安徽滁州•校考模拟预测）函数"X）=姆2与g（x）=（V在（0,+e）均单调递减的一个充分不必要

条件是（）

A.^e（0,2）B.^e［0,l）C.〃£口,2）D.^e（l,2］

【答案】C

【分析】分别求出函数/（x）=x"2与g（x）=［：］在（0,+8）均单调递减时，。的取值区间结合选项可得答案.

【详解】函数/（x）=x“-2在（0,+8）均单调递减可得。-2<0即。<2；

函数g（x）=d=q］在（0,+e）均单调递减可得0<51,解得0<°<4,

若函数/（x）=x“-2与g（x）=（£|均单调递减，可得0<°<2,

由题可得所求区间真包含于（0,2）,

结合选项，函数/（尤）=x"N与g（x）=1；J均单调递减的一个充分不必要条件是C

故选：c

二、填空题

9.（2023•宁夏银川・银川一中校考二模）已知函数〃尤）=（病-7〃-1）/"小2是幕函数，且为偶函数，则实

数机二.

【答案】2

【分析】由函数〃尤）是基函数，则射一加一i=i,解出优的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.

【详解】由函数“尤）=（布-，"-1）--242是幕函数，则用一吁「1,得加=2或〃=?-1,

当m=2时，函数〃x）=/=e，其定义域为{xlxwO}〃T）==*=,则是偶函数,

满足条件；

当机=-1时，函数〃X）=X是奇函数，不合题意.

故答案为：2.

10.（2023,福建漳州•统考模拟预测）写出一个定义域为R且图象不经过第二象限的嘉函数/'（》）=.

【答案】x（答案不唯一）

【分析】根据已知条件，结合暴函数的定义，以及性质，即可求解.

【详解】f（x）=x,定义域为R,图象不经过第二象限，且为幕函数，符合题意.

故答案为：尤（答案不唯一）.

【能力提升】

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）已知累函数＜（。应€2且。应互质）的图象关于y轴对称，如图所示,

y-x

A.p,q均为奇数，且/＞°

B.q为偶数,〃为奇数，且

q

c.q为奇数，P为偶数,且£＞。

q

D.q为奇数，p为偶数，且‘＜。

q

【答案】D

【分析】根据函数的单调性可判断出"＜。；根据函数的奇偶性及。，q互质可判断出。为偶数，q为奇数.

Q

【详解】因为函数、J的定义域为（-s,0）U（0,y），且在（0,+8）上单调递减，

y-x

所以“＜0,

q

因为函数V一J的图象关于y轴对称，

y

所以函数V一/为偶函数，即P为偶数，

又p、q互质，所以q为奇数，

所以选项D正确，

故选：D.

2.（2023・全国•高三专题练习）给定一组函数解析式：

4

（1）J=X'C?）y=x3'<y=X5；（4）y=xE;（5）y—yl•,（6）y—x3i（2）y=尤3•

如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是（）

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根据幕函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.

【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故>满足；

图象（2）关于y轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故y=x1满足；

图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故y=满足；

2

图象（4）关于，轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故>满足；

1

图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；

图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随X增大递减，故y=/满足;

3

图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x增大递增，故>=户满足;

故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.

故选:C

3.（2023・全国•高三专题练习）幕函数〃尤）=（病-，为-3在区间（0,+8）上单调递增，且。+6>0,

则/⑷+/（6）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

【答案】A

【分析】先根据幕函数的定义和函数单调性求出力的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可

判断.

【详解】塞函数〃尤）=（病一加一1）/+2»3在区间（0,+8）上单调递增，

m2-777-1=1…r

02c解得加=2,

[m^+2m-3>0

0/（尤）=x5,

团了（无）在R上为奇函数，

由a+b>0,得a>-b,

回了（无）在R上为单调增函数，

回〃“）+/（»>0恒成立.

故选：A.

4.（2023,全国•高三专题练习）已知哥函数〃尤）=尤",行（-8,0）“0,+8）,若〃句=/回，则下列说法

正确的是（）

A.函数/（无）为奇函数B.函数/'（X）为偶函数

C.函数/（尤）在（0,+8）上单调递增D.函数/（无）在（0,+8）上单调递减

【答案】B

【分析】根据稀函数的解析式得出等式，构造函数应用导数求最值后确定参数值可得答案.

【详解】依题意/=士，则eJa+1,设g（x）=e「xTgQ）=e-l,

a+1

x«Yo,0）,g，（x）<0,g（x）=e*—x—1单调递减，

尤€（0,+00），8’（力>0送（%）=6工一尤一1,单调递增，

••.gULn=g@=e°-0—1=0,

知该方程有唯一解c=。，故/'（"二犬，易知该函数为偶函数.

故选：B.

二、多选题

5.（2023・全国•高三专题练习）已知恭函数/（力=/（.m,weN*,相，〃互质），下列关于/'（力的结论

正确的是（）

A.〃是奇数时，嘉函数是奇函数

B.m是偶数,”是奇数时，幕函数〃元）是偶函数

C.m是奇数，〃是偶数时，幕函数f（x）是偶函数

D.0＜?＜1时，哥函数“X）在（0,+时上是减函数

【答案】AC

【分析】根据累函数/（尤）=/中结论一一分析即可.

【详解】于（x）=/=也

对A,当m,w是奇数时，/（无）的定义域为R,关于原点对称，

f（_x）=g^=」47=-f（x）,则幕函数/（无）是奇函数，故A中的结论正确；

对B,当〃7是偶数，〃是奇数，幕函数/（尤）在x＜。时无意义，故B中的结论错误；

对C,当相是奇数，”是偶数时，f（x）的定义域为R,关于原点对称，

/（-幻=而彳=而=/（切，则幕函数/（X）是偶函数，故C中的结论正确；

对D,0＜生＜1时，幕函数在（0,+"）上是增函数，故D中的结论错误；

n

故选：AC.

三、填空题

6.（2023春•高三统考阶段练习）函数y=Jf+4尤一5的单调减区间为;

【答案】（F-5］

【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.

【详解】解：令M=Y+4X_5,则y=+4x-5可以看作是由y=«与〃=Y+4无一5复合而成的函数.

令〃=尤2+4X-5N0,得无3一5或尤21.

易知"=f+4x-5在（一%-5］上是减函数，在［1,内）上是增函数，而y=«在［0,+。）上是增函数，

所以y=yJx2+4x-5的单调递减区间为-5］.

故答案为：

7.(2023春•上海•高三校联考阶段练习)已知函数〃x)=%，则关于/的表达式/'(产-2。+/(2尸-1)<0的

解集为.

【答案】L

【分析】利用幕函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】由题意可知，"%)的定义域为(F,”)，

1I

所以/(-%)=(-X)3=一%5=-f(%),

所以函数〃%)是奇函数，

由事函数的性质知，函数f(x)=X§在函数(F，”)上单调递增，

由/q2_2。+/(2/_1)<0,得即/)，

所以『一2/<1-2/，即3产-2/-1<0,解得-(〈/〈I,

所以关于1的表达式/(/-2。+/(2/-1)<0的解集为[-；/]

故答案为：卜

8.(2023・全国•高三专题练习)不等式(犬_1『”+婷3+2/_140的解集为：.

【答案】

【分析】不等式变形为(/一1『"+尤2_1+(十2广”+/40,即(小厂“+/4(1_/『”+(]_尤2卜构造函数

f(x)=^on+x,判断出函数得单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.

112210112

【详解】不等式变形为(炉-if+x-l+(x)+x<0,

所以卜2广+一41-X2『"+(1-V),

4/(x)=x1011+x,则有/任)4/(1—巧,

因为函数y=-r1011,j=x在R上单调递增，

所以/(x)在R上单调递增，

则/41一/,解得-五4x4迎,

22

故不等式的解集为一冬与.

V|V2

故答案为:3F