河南省2023年中考数学模拟试卷及答案一

河南省中考数学模拟试卷及答案

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的。

1.—匏绝对值是（）

A.-|B.-|C.|D.|

2.2023全国“两会”政府工作报告中指出：我国粮食产量连年稳定在1.3万亿斤以上.其中数据“1.3万亿”

用科学记数法可表示为（）

A.0.13X1012B.1.3X1012C.13x1011D.1.3x1013

3.某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（)

主视图左视图

俯视图

4.下列运算正确的是（）

A.3xy—xy=2B.(—3x)2=6x2

C.2x64-%2=2x3D.(x—y)(x+y)=x2—y2

5.如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线,交边BC于点0,连接AD.若ZB=35°,NC=60°,则

NZMC的度数为（）

6.把不等式组久+5>2，的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）

[1—3%>x—7

A.-4II1I1IB._I__I_I__I_l-A

-3-2-101234-3-2-101234

C.—1-।।_।_।_।।~I—►D.—J-।~।_।~।―—।—

-3-2-101234-3-2-101234

7.若关于％的一元二次方程/+缶+2）%+上。2=0有两个不相等的实数根，贝南的值可以是（)

B.-2C.0D.-1

1

8.近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就，现有5张卡片正面图案如图所示，它们除此之外其他

完全相同，把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系

9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点。在原点上,OA边在无轴的正半轴上，AB1久轴,

AB=CB=2,OA=OC,AAOC=60°,将四边形OABC绕点。送时针旋转，每次旋转90°,则第2023次

旋转结束时，点C的坐标为（）

(3,-V3)C.(-V3,1)D.(1,-V3)

10.如图1,在矩形ABCD中,动点P从点4出发沿4-OfC方向运动到点C停止，动点Q从点C出发沿

C-4方向运动到点2停止，若点P,Q同时出发，点P的速度为2cm/s,点Q的速度为1C7H/S,设运动时间

为xs,AP-CQ^ycm,y与％的函数关系图象如图2所示，则AC的长为（）

A.8B.9C.10D.14

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.某种试剂的说明书上标明保存温度是（10±2）°C,请你写出一个适合该试剂保存的温

度：℃.

12.已知点%）,N（—l,、2）在直线y=-久+1上，且为＞丫2，则血的取值范围是.

13.某校计划从小颖、小亮、小东、小朋四名学生中选拔一人参加全市知识竞赛，下表是他们最近3次选

拔测试的平均成绩及方差:

2

小颖小亮小东小明

平均成绩/分97969597

方差0.350.420.360.15

学校决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的学生应是.

14.如图，在扇形。BA中，ZAOB=90°,C,。分别是OA,0B的中点，连接AD和BC交于点E,若

。4=2,则图中阴影部分的面积为.

15.如图，正方形ABCD的边长为5,E是边AD上的一动点，将正方形沿CE翻折，点。的对应点为方，

过点。作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的边于点M,N（点M在点N上方），若2AM=CN,则

DE的长为.

三'解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.

(1)计算：7=27+(71-2023)°+(1)1

VV

（2）化简：超五+（=+1）

17.互联网已成为当代未成年人重要的学习、社交、娱乐工具，对其成长产生深刻影响.2022年11月30

3

日，共青团中央维护青少年权益部、中国互联网络信息中心(CNNIC)、中国青少年新媒体协会联合发布

了《2021年全国米成年人互联网使用情况研究报告》(注：此报告中未成年网民指6岁到18岁的在校学生

中的网民).根据报告中的数据，得到以下两幅统计图:

未成年网民日均收看短视频的时长条形统计图

占比|

未成年网民收看短视频

的内容题材扇形统计图

Z休闲类

/\16.7%1搞笑类

兴羲\

22.3%

15.6%X

/12.9%\10.2%,

游戏类,7

根据以上信息解答下列问题:

(1)未成年网民假日收看短视频时长的中位数在范围内，未成年网民收看短视频的内

容题材最多的是类。

(2)若从全国6岁到18岁的在校生中随机抽取1000人，请分别估计其中工作日和节假日收看短视频

的时长在1小时及以上的学生人数。

(3)某班为举办“健康上网”的主题班会，从以上统计图中获取了一些信息，请你写出一条获得的信

息，并就此提出一条合理的建议。

18.文昌阁位于河南省辉县市区，创建于明代，为八角形三层攒尖顶阁楼，砖木结构.文昌阁是河南省第五

批文物保护单位，其建筑结构严谨，造型精巧，工艺精致，气势宏伟，体量高大，是明代木构阁楼建筑的

精华，具有重要的历史、科学、艺术价值.某数学兴趣小组准备测量文昌阁阁身的高度，为此制订了测量方

案，并利用周末完成了测量，测量结果如下表:

活

动

测量文昌阁阁身的高度

课

题

活

动

运用三角函数知识解决实际问题

目

的

活

动

测角仪、皮尺等测量工具

工

具

示

思

图

如上图：①利用测角仪在台阶D处测得文昌阁顶点A的仰角为45。；

测②利用测角仪在台阶C处测得的文昌阁顶点A的仰角为57°；

量③利用皮尺测量每个台阶的高度计算出两处台阶的高度均为1.8m(即点B和点C,点

步C和点D的垂直距离均为1.8m),利用皮尺测量每个台阶的宽度及点C和点D到台阶

骤边缘的距离计算出点C和点D的水平距离为6.6m(已知A、B、C、D、E均在同一平

面内)

请运用所学知识，根据上表中的数据，计算文昌阁阁身AB的高度。(结果取整数.参考数据:

sin57°»0.84,cos57°~0.54,tan57°~1.54)

19.某科技小组的同学制作了一个简易台秤(如图1)用来测物体的质量，内部电路如图2所示，其中电

流表的表盘被改装为台秤的示数.已知电源电压U为18V,定值电阻Ro为30。，电阻R为力敏电阻，其阻

值R(Q)与所受压力F(N)符合反比例函数关系.

(1)请补全下面的表格，在图3中补全点，画出R(。)与F(N)的关系图象，并写出阻R(C)与

压力F(N)的函数关系式.

F(N)120605030

▲_▲___

R(Q)5610121520

(2)已知电路中电流/(A)与电阻、电源电压的关系式/=3"，当电流表的示数达到最大值时，台秤

达到量程的最大值.若电流表的量程为0-0.54则该台秤最大可称多重的物体？

(3)已知力敏电阻受压力F(N)与所测物体的质量的关系为F=mg(g。10N/kg).若力敏电阻阻

值的变化范围为84R425,则所测物体的质量m(kg)的变化范围是.

20.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动，其中部分同学报名参加了中国象棋和围棋

两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋.已知购买5副中国象棋和3副围棋共花费

165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元.

(1)求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元。

(2)在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：

方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1

副围棋赠送1副中国象棋；

方案二：按购买总金额的八折付款.

6

若该校共需购买40副围棋和久(久＞10)副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线了=一支2+6久+(：的顶点为时，交久轴于点

4(一1,0),B,点。(3,4)是抛物线上一点.

(1)求抛物线的表达式及顶点”的坐标.

(2)当时，求二次函数y=-/+6久+c的最大值与最小值的差.

(3)若点P是x轴上方抛物线上的点(不与点A,B,D重合)，设点P的横坐标为n,过点P作PQ〃y

轴，交直线AD于点Q,当线段PQ的长随九的增大而增大时，请直接写出n的取值范围.

22.中国是世界上机械发展最早的国家之一.如图1是一辆明代的运输板车，该车沿用宋元制式和包繁式结

构，车身选材厚重、纹理精美，低重心的物理结构兼顾了承重性和安全性.如图2是板车侧面的部分示意

图，AB为车轮。。的直径，过圆心。的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮。。相切于点。，连接

AD,BD.

图I图2

(1)求证：ZADC=ZDBC.

7

(2)若测得sinC=看，CD=V6m,求AD的长。

23.综合与实践

【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：

如图1,在△ABC中，AB=AC,Z.BAC=a,射线AD平分ZBAC,将射线AD绕点A逆时针旋转a,得

到射线I,在射线/上取点E,使得连接BE分别交AD,AC于点M,N,连接CE.问：

ACBE,NM4N之间的数量关系是什么？线段DM,CN之间的数量关系是什么？

AA

\DCDC\DC

图1图2图3

【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下：

甲同学：当a=60°时，如图2,通过探究可以发现，4AMN,LACE,AECN都是等腰三角形；

乙同学：可以证明AABMWAAEN,得到BM=EN；

丙同学：过点/做APLMN,垂足为F,如图3,则FM=FN；

丁同学：可以证明△BDMAFM,AECN~4AMN，则监=爵，招=备，…

(1)根据以上探究过程，得出结论：

①乙CBE,乙/VMN之间的数量关系是;

②线段DM,CN之间的数量关系是.

(2)【类比探究】

“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当2BAC=a时，如图1,⑴中的两

个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由。

(3)【迁移应用】

8

“创新”小组的同学们改变了条件，当a=90°时，如图4,若射线AD是Nb4c的三等分角线，AB=

2V3+2,其他条件不变，请直接写出MN的长.

备用图

9

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：-|的绝对值为宗

故答案为：C.

【分析】根据负数的绝对值为其相反数进行解答.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：L3万亿=1300000000000=1.3x1012.

故答案为：B.

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|<lO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；

当原数的绝对值小于1时，n是负数.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：A、长方体的主视图为长方形，左视图为正方形，俯视图为长方形，故不符合题意；

B、圆椎的主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为圆，故不符合题意；

C、球的主视图、左视图、俯视图均为圆，故不符合题意；

D、圆柱的主视图为长方形，左视图为圆，俯视图为长方形，故满足题意.

故答案为：D.

【分析】根据三视图的概念分别确定出长方体、圆椎、圆柱、球的三视图，然后进行判断.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：A、3xy-xy=2xy,故错误；

B、(-3x)2=9x2,故错误；

C、2x6-?x2=2x4,故错误；

D、(x-y)(x+y)=x2-y2,故正确.

故答案为：D.

【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判

断A；积的乘方，先将每一项分别乘方，然后将结果相乘，据此判断B；根据单项式与单项式的除法法则

可判断C；根据平方差公式可判断D.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：由垂直平分线的性质可得AD=BD,

.•.ZB=ZDAB=35°,

/.ZADC=ZB+ZDAB=70°.

VZC=60°,

10

，ZDAC=180°-ZC-ZADC=180o-70°-60o=50°.

故答案为：A.

【分析】由垂直平分线的性质可得AD=BD,根据等腰三角形的性质可得/B=NDAB=35。，由外角的性质

可得NADC=NB+NDAB=70。，然后在AACD中，利用内角和定理进行计算.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：解不等式x+5>2可得x>-3；

解不等式l-3x>x-7可得x<2,

...不等式组的解集为-3<xW2.

故答案为：A.

【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集，然后根据解集的表示方法

进行判断.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：•••一元二次方程有两个不相等的实数根，

?.A=(a+2)2-4xla2>0,

4

•*.a>-l,故a的值可以为0.

故答案为：C.

【分析】根据题意可得△=b2-4ac>0,代入求出a的范围，进而进行判断.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：用1、2、3、4、5分别表示5个对应的图案，画出树状图如下所示：

开始

23451345124512351234

共有20种情况，其中抽至U“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的情况数为2种，

，抽到“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的概率为益=心

故答案为：D.

【分析】用1、2、3、4、5分别表示5个对应的图案，画出树状图，然后找出总情况数以及抽至1]“嫦娥五

号，，和，，卫星导航系统，，的情况数，再利用概率公式进行计算.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：•.•每次旋转90。，

..•每4次回到开始的位置.

72023=505x4+3,

11

.•.第2023次旋转结束时，即为开始的位置绕点O顺时针旋转90。，画出旋转后的图形OABC，，过。作

CE_Ly轴，过作BD_LA，C,

由旋转可得AB，=B，C=AB=BC=2,OA,=OC,,ZCOA=ZC,OA,=60°,ZOAB=ZOA,B,=60°,

：.ZC'A'B'=30°,AOAC，为等边三角形，

A'D=A®.cos30°=2x字=巡，

：.A'C'=OC'=243,

,OE=OC「cos6()o=2仔畀氏EC=OUsin6()o=2后耍3,

：.C(3,-V3).

故答案为：B.

【分析】由题意可得：第2023次旋转结束时，即为开始的位置绕点。顺时针旋转90。，画出旋转后的图

形OAB，。，过C作C，E，y轴，过B，作由旋转可得AB，=B，C=AB=BC=2,OA，=O。，

ZCOA=ZC,OA,=60°,ZOAB=ZOA,B,=60°,推出NCA，B，=30。，△OA，C为等边三角形，由三角函数的

概念可得AD8，则AC，=OC=2遮，再在R3OEC,利用三角函数的概念求出OE、EC,进而可得点C

的坐标.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：当点P在AD上时，AP=2x,CQ=x,贝uy=AP-CQ=x,

由图象可得过点(4,4),此时AP=AD=8.

当点P在CD上时,AP=JAD2+(2x-AD)2'CQ=x,则y=AP-CQ=JxD2+(2x-AD)2-^>

将(4,4)代入可得AD=8,

，y=j64+(2%—8)2-x,

将x=7代入可得y=3.

当点P到达点C时，AP=AC="02+CD2,CQ=X,贝iJy=AC-x,

12

将（7,3）代入可得AC=10.

故答案为：C.

【分析】当点P在AD上时，由图象可得过点（4,4）可得：当x=4时，AD=2x4=8；当点P在CD上

时，y=AP-CQ=.2+（2久-4D）2-X,将（4,4）代入可得AD的值，据此可得x、y的关系式，然后将

T

x=7代入可得y=3；当点P到达点C时，y=AP-CQ=7I5T752_x=AC-x,然后将（7,3）代入就可求出

AC.

11.【答案】10（答案不唯一）

【解析】【解答】解：•.•某种试剂的说明书上标明保存温度是（10±2）°C,

,保存温度的最大为10+2=12℃,最低温度为10-2=8℃,

.••适合该试剂保存的温度可以为10℃.

故答案为：10（答案不唯一）.

【分析】根据正负数的意义分别求出保存的最高、最低温度，进而进行解答.

12.【答案】m<-l

【解析】【解答】解：•••y=-x+l,

，y随x的增大而减小.

Vyi>y2,

・\m<-l.

故答案为：m<-l.

【分析】由一次函数的性质可得：y随x的增大而减小，据此进行判断.

13.【答案】小明

【解析】【解答】解：•••小颖、小明的平均成绩相同，且较大，小明的方差小于小颖的方差，

.••被选中的学生应是小明.

故答案为：小明.

【分析】平均成绩越高，方差越小，成绩越好，据此判断.

14.【答案】7T—

【解析】【解答】解：过E作EHLAO,EGXOB,贝UEH=EG.

13

A

C

H

OaDB

•.•点C、D分别为AO、B。的中点,

S△AOE=2S△ACE,S△OEB=2S△OED,S△AOE=S△OEB,

••SAAOE~2SAOED.

.2

••SAAOEUgS△AOD，

同理可得SABOE~SABOC.

VZAOB=90°,OA=2,

阴影2

AS=SAOB-SAAOE-SAnFR=907rx2lx|x2x.l1X|X2X-1=^.

36023233

故答案为：7T-J

【分析】过E作EH1.AO,EG±OB,贝ljEH=EG,由中点的概念结合三角形的面积公式可得

SAAOE=2SAOED,则SAAOE=^SAAOD,同理可得SABOE=,SABOC,然后根据S阴影=S扇形AOB-SAAOE-SAOEB结合扇

形、三角形的面积公式进行计算.

15.【答案】2或10一5直

【解析】【解答】解：①当点M在AD上时，连接DD,

设AM=x,则CN=2x.

•.•正方形ABCD,

：.AD〃BC,即ME〃NC,

•；MN〃EC,

.,•四边形CEMN是平行四边形,

14

JME=CN=2x,NEMD'=NDEC,NMD'E=ND'EC.

由折叠的性质，可知CE_LDD'NDEC=ND，EC,DE=D，E.

・・・MN_LDD,ZEMDr=ZMDT,

・・・ME=D'E=DE=2x.

・「AD=5,

/.AM+ME+DE=x+2x+2x=5,

解得X=l,

.\DE=2.

②当点M在AB上时，分别延长NM、DA交于点F,连接DD,

同理，可得FE=DE=DE.

设AM=x,贝!jBM=5-x,CN=EF=DE=2x,

/.AF=4x-5,BN=5-2x.

・.・AD〃BC,

・•・△FAMS/XNBM,

.AF_AM

••丽一两’

・4%—5_x

**5—2%-5一%’

解得X=W浮或”督（不合题意，舍去）.

经检验，X=W浮是原分式方程的解，

.\DE=10-5V2.

综上所述，当2AM=CN时，DE的长为2或10—5鱼.

故答案为：2或10-5近.

【分析】①当点M在AD上时，连接DD,设AM=x,贝UCN=2x,易得四边形CEMN是平行四边形，则

ME=CN=2x,NEMD，=NDEC,/MD，E=/D，EC,由折叠的性质，可知CE_LDD,ZDEC=ZD,EC,

DE=DE,进而推出ME=D，E=DE=2x,然后根据AD=AM+ME+DE=5可得x的值，进而可得DE；②当点

M在AB上时，分别延长NM、DA交于点F,连接DD,同理可得FE=DE=DE,设AM=x,则BM=5-x,

CN=EF=DE=2x,由平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得

15

AFAM-ANBM,然后根据相似三角形的性质进行计算.

16.【答案】（1）原式=-3+1+3

=1.

（2）原式=即京E+告

X

_X

—x+1'

【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、。次嘉以及负整数指数幕的运算性质可得原式=-3+1+3,然后根

据有理数的加法法则进行计算；

（2）对第一个分式的分母利用平方差公式进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，

再约分即可.

17.【答案】（1）0.5〜1小时；搞笑

（2）解：1000X（10.6%+4.9%+4.9%）=204（A）,

1000X（18.7%+10.6%+12.4%）=417（A）.

答：估计其中工作日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数为204,节假日收看短视频的时长在1

小时及以上的学生人数为417.

（3）解：部分未成年网民存在看短视频时间过长的情况，且节假日收看短视频时长在1小时及以上的达

41.7%（或未成年网民收看短视顺的内容题材更多集中在搞笑、休闲类）建议：节假日加强学生户外活动，

减少看短视频的时间（或引导学生多关注兴趣类、学习类、时政类短视频）.（答案不唯一，合理即可）

【解析】【解答］解：（1）由条形统计图可得：0.5以内所占的比例为31.8%,0.5~1小时所占的比例为

26.5%,31.8%+26.5%=58.3%>50%,

.••中位数在0.5~1小时范围内，由扇形统计图可得：未成年网民收看短视频的内容题材最多的是搞笑类.

故答案为：0.5~1小时，搞笑.

【分析】（1）根据条形统计图可得：0.5以内所占的比例为31.8%,0.5~1小时所占的比例为26.5%,据此

可得中位数所在的组，根据扇形统计图可得未成年网民收看短视频的内容题材最多的类型；

（2）分别利用工作日、节假日日均收看短视频的时长在1~2小时、2~3小时、3小时以上所占的比例之和

乘以1000可得工作日、节假日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数；

（3）根据节假日收看短视频的时长在1小时及以上的人数所占的比例、喜欢看短视频的类型提出一条合

理性的建议即可.

18.【答案】解：过点C作CH_LQE于点H,CG1AE于点G,如解图所亦，则四边形CGEH是矩形.

GE=CH,CG=HE.

16

4

由题意，可知BG=GE=CH=1.8,DH=6.6,AADE=45°,AACG=57".

设AB=xm,贝!JAG=AB+BG—x+1.8,AE-AG+GE-x+1.8+1.8—x+3.6.

vZ.AED=90°,Z.ADE=45°,

DE—AE=x+3.6.

・・・CG=HE=DE-DH=x+3.6-6.6=x-3.

Ar

在RIAACG中，；^ACG=57°,tanZACG=器，

AG=tan57°-CG,即久+1.8“1.54x(x-3),解得x«12.

答：文昌阁阁身AB的高度约为12nl.

【解析】【分析】过C作CHLDE于点H,CGLAE于点G,则四边形CGEH为矩形，GE=CH,

CG=HE,由题意可得BG=GE=CH=1.8,DH=6.6,ZADE=45°,ZACG=57°,设AB=x,贝UAG=x+L8,

DE=AE=x+3.6,CG=HE=DE-DH=x-3,接下来利用三角函数的概念进行计算.

19.【答案】(1)100,40；

补全的点与所画的函数图象如解图所示.

阻值R(C)与压力F(N)的函数关系式为/?=驾.

F

(2)解：当/=0.54时，万嚼=0.5,解得R=6.

h十3U

D_6。0

・••当R=6时，F=100.

・,・该台秤最大可称100N重的物体。

(3)2.44zu47.5

【解析】【解答】解：⑴设R=《，将(120,5)代入可得k=600,

F

17

令R=6,得F=100；令R=15,得F=40.

⑶VR=600,

F

.••当R=8时，F=75,止匕时m=7.5kg；当R=25时，F=24,此时m=2.4kg,

/.2.4<m<7.5.

故答案为：2.4<m<7.5.

【分析】(1)设R=3将(120,5)代入求出k的值，得到反比例函数的解析式，然后分别令R=6、15,

求出F的值，再利用描点、连线即可画出函数的图象；

(2)根据1=南加，将I=0.5A,U=18V,Ro=3O代入可得R的值，据此解答；

(3)令R=8可得F=75,令R=25可得F=24,然后结合F=mg就可求出m的范围.

20.【答案】(1)解：设每副中国象棋的价格是a元，每副围棋的价格是b元.

5a+3b=165,.„f-ic

根据题意，得解得an—15，

[4a+6b=240,Ib=30.

答：每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元.

(2)解：设选择方案一所需的费取为九元，选择方案二所需的费用为为元.

由题意，可知以=40X30+(x-20)X15=15%+900；

y2=(15%+30X40)x0.8=12%+960.

若为<当，贝15%+900<12%+960,假得％<20.

若丫1=、2，贝打5久+900=12久+960,触得x=20.

若、1>丫2，贝U15%+900>12%+960,棚得久>20.

x>10,二若<y2>则104x<20.

.•.当10《久<20肘，该校选择方案一更划算；当％=20时，该校选择两种方案一样划算；当了>20旧，该

校选择方案二更划算.

【解析】【分析】(1)设每副中国象棋的价格是a元，每副围棋的价格是b元，根据购买5副中国象棋和3

副围棋共花费165元可得5a+3b=165；根据购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元可得4a+6b=240,

联立求解即可；

(2)设选择方案一所需的费取为yi元，选择方案二所需的费用为y2元，根据围棋的副数x单价+(中国象

棋的副数-围棋的副数)x中国象棋的单价=总价可得yi与x的关系式，根据中国象棋的单价x副数+围棋的单

价义副数，然后乘以0.8即可得到y2与x的关系式，然后分别令yi=y2、yi>y2>yi<y2,求出x的范围，据

此进行解答.

2L【答案】(1)解：•••点4(—1,0),£)(3,4)是抛物线

y=-%2+bx+c上的点，

18

・•・抛物线的表达式为y=-x2+3%+4.

Q

vy=—%2+3%+4=—(%—2)2+彳，

••・抛物线顶点M的坐标为弦，令.

(2)解：•••抛物线顶点M的坐标为(|,竽),

・•・当x>|时，y随％的增大而减小.

.•.当24％45肘，在尤=2处，y取得最大值一22+3x2+4=6；

在％=5处，y取得最小值—52+3X5+4=-6.

.,・当2<%<5时，二次函数y=-%2+bx+c的最大值与最小值的差为6-(-6)=12.

(3)—1<n<1或3<n<4.

【解析】【解答］解：(3)设P(n,-n2+3n+4),

VA(-1,0),D(3,4),设直线AD的解析式为产kx+b,

•CO=—k.+b

，，l3/c+b=4

解得k=lb=l,

/.y=x+l,

/.Q(n,n+1),

当点P在AD之间时，PQ=-n2+3n+4-(n+1)=-n2+2n+3=-(n-1)2+4,

VPQ随着n的增大而增大，

当点P在BD之间时，PQ=(n+1)-(-n2+3n+4)=n+1+n2-3n-4=n2-2n-3=(n-1)2-4,

VPQ随着n的增大而增大，

3<n<4.

综上可得：-IvnSl或3<n<4.

【分析】(1)将A(-1,0)、D(3,4)代入y=-x2+bx+c中可求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式以

及顶点M的坐标；

(2)由二次函数的性质可得：当2sxs5时，函数在x=2处取得最大值，在x=5处取得最小值，代入求出

最大值与最小值，然后作差即可；

(3)设P(n,-n2+3n+4),利用待定系数法求出直线AD的解析式，可得Q(n,n+1),当点P在AD之

间时，PQ=-n2+3n+4-(n+1)=-n2+2n+3=-(n-1)2+4,结合二次函数的性质可得n的范围；当点P在BD之间

时，同理进行求解.

19

22.【答案】(1)证明：连接0D,如解图所示.

•••是O。的直径，.•.乙ADB=90°.

OA=OD,•••Z-OAD=Z-ODA.

•••ADBC是△4BD的外角，

•••乙DBC=Z.ADB+/-OAD=90°+/.OAD.

又；^ADC=/.ODC+AODA=90°+^ODA,

•••Z.ADC=Z-DBC.

(2)解：：在RtzkODC中，sinC=得，二寺g=/

设0。=rm,则。C=5rm.

又CD=V6,

r2+(V6)2=(5r)2,解得r=/(负值已舍去).

15

OD=OB=0A=^,OC=|.

AC=0C+0A^3.

由⑴可知NADC=乙DBC.

又：^ACD=乙DCB,

ACDDCB.

.AC_AD即_AD

.・觉一而'即历一°夕

在RtA4BD中，设4。=3xm,贝UDB=V6xm.

又AB=1,

・•.(3x)2+(V6%)2=12,解得X=祟(负值已舍去).

.•.2D的长为零瓶.

【解析】【分析】(1)连接OD,由切线的性质可得NODC=90。，由垂径定理可得/ADB=90。，根据等腰三

角形的性质可得/OAD=/ODA,结合外角的性质可得/DBC=9(T+NOAD,由角的和差关系可得

ZADC=90°+ZOAD,据此证明；

(2)根据三角函数的概念可设OD=r,则OC=5r,在R3OCD中，利用勾股定理可得r的值，然后求出

20

AC的值，由（1）可知NACD=NDCB,利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ACDsaDCB,由相

似三角形的性质可设AD=3x,则DB二乃x,再在RQADB中，利用勾股定理求解即可.

23.【答案】(1)乙MAN=2乙CBE；CN=2DM

(2)(1)中的两个结论仍然成立，证明如下：

•・•射线AD平分4b4C,将射线AD绕点/逆时针旋转a,得到射线

a

•••Z-BAD=乙CAD=2，/-DAE=a

a

:.乙CAE=Z-DAE—Z-CAD-工

a

・♦・/.BAD=乙CAD=Z.DAE=工

•••AB—AE,

・•・/-ABM=乙AEN.

••.△ABM=AAEN(ASA)

••・BM=EN,AM=AN.

•・•AB=AC=AE,

AMAN

a

又•••乙MAN=乙CAE=p

MANCAE.

•••乙AMN=AACE.

■■■乙ANM=乙ENC,"MN=乙ANM,

乙AMN=乙ANM=乙NCE=乙ENC.

ECN~△AMN.

EN_CN

'''AN=MN

过点4作4F1MN,垂足为F,如解图1所示，贝UFM=FN,Z.MAF=/.NAF.

A

图1

•••乙BMD=AAMF,乙BDM=^AFM=90°,

BDM〜△4FM.

21

BMDM…厂

：•~^M~~FM'KMBD=/-MAF.

・•・4MAN=2AMAF=2Z-CBE.

vAM=AN,BM=EN,MN=2FM,

DMCNCNHnrtAZ

•••FM=WV=2FM'即CN=2DM.

(3)2+竽或4鱼-2匹

【解析】【解答】解：(1)根据甲同学的探究，当a=60。时，AAMN、△ACE、AECN均为等腰三角形,

NBAO60。.

・・•射线AD平分NBAC,

/.ZBAD=ZDAC=30°.

由旋转的性质可得NDAE=60。,

AZBAE=90°.

〈AB=AC,NBAO60。，

/.△ABC为等边三角形，

NABO60。.

VAE=AB,ZBAE=90°,

/.△ABE为等腰直角三角形，

JZABE=45°,

JZCBE=ZABC-ZABE=15°.

NMAN=NDAO30。，

NMAN=2NCBE.

根据乙同学的探究：可以证明△ABM丝AAEN,得至！JBM=EN,

・.,/BAC=a,射线AD平分NBAC,

ZBAD=ZDAC=1a.

由旋转的性质可得NDAE=a,

NCAE=NDAE-NDAC*,

NBAD=NCAE*.

・「AB=AE,

AZABE=ZAEB,

・•.△ABM2△AEN,

二•BM=FN,AM=AE,

22

・・・ZAMN=90°-1ZMAN.

ZAMN=NBMD=180°-ZADB-ZCBE=90°-ZCBE,

J90°-lZMAN=90°-ZCBE,

・•・NMAN=2NCBE.

根据丙同学的探究：过A作AFLMN,垂足为F,贝IJFM二FN.

・.・AE=AB,AFXMN,

・・・BF=EF.

VBM=EN,

・・・FM=FN.

根据丁同学的探究：可以证明△BDMs^AFM,△ECN-AAMN,则^=需，瑞=状

・・・AF是BE的垂直平分线，

，NMAN=2NMAF=2NNAF.

•・・ZMAN=2ZCBE,

NCBE=NMAF.

〈AB=AC,AD平分NBAC,

・・・AD是BC的垂直平分线，

.*.△BDM^AAFM,

.BM_DM

^AM=~FM'

TAM=AN,AC=AE,NDAC二NCAE,

.*.△ECN^AAMN,

.EN_CN

"AN=MN'

VBM=NE,AM=AM,

.BM_AN

••硒=丽’

.DM_CN

"FM