华东师大版九年级数学上册期末总复习知识点总结

第21章二次根式

1.二次根式：形如后(。20)叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件:

⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因

式；

⑵被开方数中丕盒分母；⑶分母中丕盒

根式。

3.同类二次根式:

几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫

做同类二次根式。

4.二次根式的性质：

1a(a>o)

(1)(4a)2=a(aNO)；(2)A/^-=W|=0(，=0)；

1一a(a<0)

___3>。)

(3)=,___3=0)

___3<0)

5.二次根式的运算：

(1)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次

根式.

口=半(b>0,

(2)二次根式的乘除法&〃=/茄(a>0,b>0)；

ay/a

a>0)・

6.实数的大小比较和估计值

(1)大小比较的方法：平方法、倒数法、作差法。

(2)实数的估计值，例如：二色的整数部分是2-

7.绝对值、二次根式、平方的和为0,那么每个加数分别为0

第22章一元二次方程

1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，

叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(aWO),其中ax2

是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方若X?=a,贝卜=±4';若(mx+〃)2=P，则nw+〃=土而;若/则q=±b

法：

(2)因式分解提公因式法：法：

完全平方公式：

平方差公式：

十字相乘法：

(3)两边同时加上一次项系数一半的平方)四开方.

(4)公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)当b?—4acN0时，x=

(5)换元法：(2x+l>-3(2x+l)-4=0,(/-*)2-3(*2一*)-4=0

3.配方法：将二次三项式卜+—人》+三|配方:

4.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式是.

(1.)b?—4ac>00一元二次方程ax?+bx+c：。(aWO)有两个实数根;

⑵b2—4ac=0o一元二次方程ax2+bx+c=0(a7^0)有两个实数根;

(3)t)2—4ac<0o一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)实数根.

5.一元二次方程根与系数的关系

(1)若一元二次方程a方+bx+c=O(aWO)的两个实数根是Xi，x2,则

+x2=，X1X2=.

[

222

注意：(1)+xl=(jq+x2)--x2(2)-x2)=(x1+x2)-4^-x2;

2

(3)卜一x,|=y)(%[+x2)—-x2,(4)—+—=___________,(5)l=_____

■x2xlX]x2

注意：代入降次法也是常考题机,“是%2-x-1=0的两个根，求/-2/n-"的值

型，例：

6.一元二次方程的应用(审、设、歹U、解、验、答)

(1)图形(面积、体积)问题(2)经济问题⑶增长a(l+xY=b率问题

第23章相似三角形

1.比例线段

9

在四条线段a,b,c,d中，如果a:b=c:d,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比

例线段，

比例中项:若a：b=b：c,则b叫a、c的比例中项,此时有〃=碇

2.比例的性质

(1)j=Joad=bc，*注意等积式和比例式的转化.

bd

(2)等比性质：如果一=—=—=',-=—(b+d+f+—F”WO),那么

bdfn

a+°+e+…+〃2=q,注意：*(1)，，设左法”是有关比例计算变形中一种常用

b+d+f------1-nb

方法.②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.

(3)黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使得生=些，那么点C

ABAC

叫做线段AB的黄金分割点，他们的比值叫做黄金比，等于

3.三角形相似的判定定理的预备定理

E«_______

定理的基本图形：

二、

B上°

B(1)(3)

用数学语言表述是：•••OE//5C,・•.AADEsAABC.

4.三角形相似的判定定理

(1)两角对应相等的两个三角形相似.

(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

(3)三边对应成比例的两个三角形相似.

?

(4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,这两个直角三角形相似。

5.相似三角形常见的模型

(1)如图：”为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图)

____-.Z)

AD_AE_DE

/\EAD=AE=DEJ\ABAC-BC

ABACBC

BZ^C

B(I)(3)

（2）

(2)如图：其中N1=N2,则△ADEs^ABC称为“斜交型”的相似三角形。

AEADDE

ACABBC

若NACD=NB则AC=AD•ABAC2=AD•AB,CD2=AD•BD,

BC=BD•AB

(4)“K”型

6.相似三角形的性质

]

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例.

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相

似比.

(3)相似三角形周长的比等于相似比.

(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方.

7.三角形的中位线：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。中

线的交点叫做三角形的重心，重心把中线分成1:2的两部分。

8.位似图形有关的概念与性质

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么

这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。位似比等于相似比。

注意：找位似中心的方法，将两个图形的各组对应点连接起来，他们的交

点或延长线的交点就是位似中心。

#

9.画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）

（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.

第24章解直角三角形

1.直角三角形的性质

（1）勾股定理（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

}

2、锐角三角函数的定义

如图，在&AA3C中

正弦：sinA=色黑电余弦：cosA=ZA的邻边/丽勺对边

正切:tanA=

斜边斜边/图勺邻边

3、特殊角三角函数

o

a30°45°60°

sina

cosa)

tana

4、锐角三角函数之间的关系

sin(90°-a)=cosacos(90°-a)=sina

sina

sin2ctr+cos2a=1-----=tana

cosa

5.解直角三角形的应用问题

（1）俯角、仰角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角,

在水平线下方的叫俯角

（2）坡度（坡比）、坡角：坡面的垂直高度和水平宽度/的比叫做坡度（坡比），即

i=tana=—,坡面与水平线的夹角a叫做坡角

I

6.解直角三角形的应用的步骤步骤：

（1）审题，通过图形（题目没画出图形的，可自己画出示意图），弄清已知和未

知，并在图中用铅笔标注；

（2）找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问

题转化为解直角三角形的问题；

（3）根据直角三角形元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形.

第25章随机事件的概率

1.事件的分类

事件

福宗聿件畸机事件

必就事件木可■能事件

2.用列举法求随机事件的概率

列表法或画树状图法

1.概率

(1)表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率.P(所关注

的事件尸所关注的结果/所有等可能的结果.

2.概率的预测

(1)要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果.

(2)要清楚所有机会的结果.

(1)、(2)两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率.方法：画树状图、

列表法.

事件的分类

1、确定事件必然发生的事件：当A是必然发生的事件时，P(A)=1不可能

发生的事件：当A是不可能发生的事件时，P(A)=0

2、随机事件：当A是可能发生的事件时，0<P(A)<1

概率的意义

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率巳会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p

m

就叫做事件A的概率。

概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A,B,C,…，表示事件A的概率p,可记为P(A)=P

概率的求解方法

1.利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率上会稳定在某个常数p附近，那么这个

m

常数p就叫做事件A的概率（有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率）.

2.狭义定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件

A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=?

3.列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可

能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.

特别注意放回去与不放回去的列表法的不同.如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字1、2、

3,第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少？若不放

回去，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少？

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放回去P（1和2）=—不放回去P