2024-2025学年广西柳州某中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2024-2025学年广西柳州三十五中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.%2—5%=0B.x+1=0C.y-2x=0D.2x3—2=0

2.二次函数y=（m-2）/+2x-1中，zn的取值范围是（）

A.m>2B.m<2C.m*2D.一切实数

3.已知x=1是关于x的一元二次方程久2+mx-0的一个根，则m的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

4.一元二次方程——2x=0的解为（）

A.%=2B.%1=0,%2=2

C.=0,久2=—2D.x=—2

5.已知二次函数y=（a—l）x2,当］<0时,y随久增大而减小，则实数a的取值范围是（）

A.a>0B.a<1C.aW1D.a>1

6.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A.%2—2%=0B.%2+4%—1=0C.3x2—5%+2=0D.2x2—4%+3=0

7.如图，是二次函数y=a/+匕％+。的部分图象，由图象可知不等式Q/+6工>0的解集是（）

A.%>3

B.%<—1

C.-1<x<3

D.%>3或％<—1

8.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出

同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）

A.4B.5C.6D.7

9.2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，

据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一

共有多少支球队参加比赛？设一共有%支球队参加比赛，根据题意可列方程是（）

A.制工=78B.x（x-1）=78C.x（x+1）=78D.%少=78

10.如图是抛物线yi=ax2+bx+c(aH0)图象的一部分，抛物线的顶点是4对称轴是直线％=1,且抛

物线与％轴的一个交点为8(4,0)；直线的解析式为丫2=TTix+n(mW0).下列结论：

①2a+b=0；fy

②abc>0；

③方程a/+bx+。=mx+n有两个不相等的实数根；

④抛物线与x轴的另一个交点是(一1,0);同~丁4\\*x

⑤当l<x<4时，则%>%，其中正确的是()

A.①②B.①③⑤C.①④D.①④⑤

二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

11.方程好一4=0的解是.

12.抛物线y=(%—I)2+3的顶点坐标为.

13.关于x的一元二次方程/+2%-1=0的两根之和为.

14.已知点4(久1，%)，8(%2，丫2)在二次函数y=-3)2-2的图象上，若与<冷<3,则乃_____72(填

“>”、或"=").

15.关于"的一元二次方程k/-2*+1=。有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

16.《代数学》中记载，形如/+8%=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1,先构造一个面积为

/的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16=

49,则该方程的正数解为7-4=3.”小唐按此方法解关于久的方程/+12%=6时，构造出如图2所示的

图形，已知阴影部分的面积为64,则该方程的正数解为.

图1图2

三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

解下列方程：

(I)%2+2%-3=0；

(2)x2-8x=-16；

(3)3x2-4x-2=0；

(4)x(%-2)=5(%—2).

18.(本小题6分)

有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多

少个人.

19.(本小题8分)

已知抛物线y=2x2+4x—6.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)将该抛物线向右平移巾(e>0)个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求小的值.

20.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程/+6x+(2m+1)=。有实数根.

(1)求机的取值范围；

(2)如果方程的两个实数根为尤1，x2,且2x62-Xi-工228,求小的取值范围.

21.(本小题8分)

“杭州亚运•三人制篮球”赛将于9月25-10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服.6

月份平均每天售出100件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过

市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件.

(1)若降价5元，求平均每天的销售数量；

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？

22.(本小题10分)

阅读与理解：如果关于x的一元二次方程/+法+。=0(a片0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根

大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如一元二次方程好+%=0的两个根是的=0,不=-1，则方

程/+乂=0是“邻根方程”.

(1)通过计算，判断方程好—9%+20=0是否是“邻根方程”；

(2)己知关于久的方程/-(m-1)%-m=0(巾是常数)是“邻根方程”，求机的值.

23.(本小题10分)

如图，直线y=K-3与x轴、y轴分别交于点B、A,抛物线y=a(x-2/+k经过点力、B,其顶点为C.

(1)求抛物线的解析式.

(2)求△ABC的面积.

(3)点P为直线48上方抛物线上的任意一点,过点P作「。〃丫轴交直线48于点。，求线段PD的最大值及此时

点P的坐标.

",

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：4/—5%=0是一元二次方程；

B、x+1=0是一元一次方程；

。、y-2x=0是二元一次方程；

D、2%3-2=0不是一元二次方程.

故选：A.

根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程逐项进行排查即可.

本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：函数y=(m—2)/+2%—1是二次函数，

・•・m—2W0,

・•・771W2；

故选：C.

二次函数的二次项系数不能等于零.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，明确二次函数的定义是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：把％=1代入方程/+771%=0得：1+血=0,

解得：m=-1.

故选：A.

4.【答案】B

【解析】解：/一2%=0,

・,・%(%—2)=0,

%1=0,%2=2,

故选:B.

利用因式分解法解一元二次方程即可.

本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：•••当久<0时，y随X增大而减小，

抛物线开口向上，

a-1>0,

a>1.

故选：D.

根据二次函数性质，当x<0时，y随x增大而减小可得a-1>0,即可求解.

本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握掌握二次函数的性质.

6.【答案】D

【解析】解：力、△=(—27—4x0=4>0,方程有两个不相等的实数解；

B、A=42-4X(-1)=20>0,方程有两个不相等的实数解；

C、△=(―5)2—4x3x2=l〉0,方程有两个不相等的实数解；

D、△=(一4)2-4X2X3=-8<0,方程没有实数解.

故选：D.

分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的根与△=/一4ac有如下关系：当△>0

时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程无实数根.

7.【答案】C

【解析】解：•••抛物线经过点(3,0),对称轴为直线x=l,

••・抛物线与刀轴的另一个交点为(-1,0),

ax2+bx+c>0,

y>0,

•••对应抛物线在x轴上方，即在(-1,0)与(3,0)之间.

—1<%<3.

故选：C.

将一元二次不等式转化为通过图象求解.

本题考查二次函数和不等式，将不等式的解转化为抛物线在支轴的上方是求解本题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是”,

依题意得：1+久+久2=43,

整理得：x2+x-42=0,

解得：尢1=-7(不合题意，舍去)，％2=6.

故选C.

9.【答案】D

【解析】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：安生=78；

故选：D.

根据比赛采用单循环制(每两支球队之间都进行一场比赛)，比赛共进行了78场，列出方程即可.

本题考查一元二次方程的实际应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键.

10.【答案】B

【解析】解：①因为抛物线对称轴是直线x=1,则-白=1，2a+b=0,故①正确，符合题意；

②•抛物线开口向下，故a<0,

・•・对称轴在y轴右侧，故b>0,

•••抛物线与y轴交于正半轴，故c>0,

••・abc<0,

故②错误，不符合题意；

③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程52+取：+。=爪%+九有两个不相等的实数根，正确，符

合题意；

④因为抛物线对称轴是：龙=1，8(4,0),

所以抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0),

故④错误，不符合题意；

⑤由图象得：当l<x<4时，有力<为，故⑤正确，符合题意；

故正确的有：①③⑤；

故选：B.

1L【答案】±2

【解析】解：久2一4=0,

移项得：x2=4,

两边直接开平方得：%=±2,

故答案为：±2.

首先移项可得/=4,再两边直接开平方即可.

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，

把常数项移项等号的右边，化成/=a（a>0）的形式，利用数的开方直接求解.

12.【答案】（1,3）

【解析】解：顶点坐标是（1,3）.

直接利用顶点式的特点可知顶点坐标.

本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法.

13.【答案】-2

【解析】解：x2+2%-1=0,

,b2„

X1+X2=_£=_I=_2,

故答案为：-2.

根据一元二次方程根与系数的关系解答即可.

本题主要考查了根与系数的关系.

14.【答案】>

【解析】解：•.・y="（久一3尸一2,

・•・抛物线的对称轴为直线X=3,抛物线开口向上，

1

,点4（打,打）,3（久2，丫2）在二次函数3/=每。-3）2-2的图象上，且与<%2<3,

71>y2•

故答案为：>,

先得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键.

15.【答案】k<1且k*0

【解析】解：••・关于久的一元二次方程以2一2久+1=。有两个不相等的实数根，

**•k丰0且4>0,即（-一4xkxl>0,

解得k<1且k*0.

k的取值范围为k<1且k*0.

故答案为：k<1且k丰0.

根据一元二次方程的定义和△的意义得到k丰0且小>0,即（—2y—4xkx1>0,然后解不等式即可得到

k的取值范围.

本题考查了一元二次方程a/+6%+。=o（a大0）的根的判别式△=一4ac：当△>0,方程有两个不相

等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.也考查了一元二次方程的

定义.

16.【答案】4/6-6

【解析】解：%2+12%=m,

・•・阴影部分的面积为60,

x2+12%=60,

设4a=12,

则a=3,

同理：先构造一个面积为/的正方形，

再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，

得到大正方形的面积为60+32x4=60+36=96,

则该方程的正数解为—6=4-\Z-6—6,

故答案为：4A/~6—6.

根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3,先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4

个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

17.【答案】解：(1及2+2万一3=0,

(x+3)(*—1)=0,

解得：%!=-3,久2=1；

(2)久2-8X=-16,

x2-8x+16=0,

(%-4)2=0,

%—4=0,

=%2=4;

(3)3%2-4%-2=0,

a=3,b=—4,c=—2,

J=(-4)2+4X2X3=40>0,

Y=—4=±-2-/-1-0=2—±/-1--0,

2x33

2+AATO2-/10

(4)%(x-2)=5(x-2),

x(x—2)—5(%—2)=0,

(x-5)(x-2)=0,

解得：*i=5,x2=2.

【解析】(1)因式分解法解方程即可；

(2)因式分解法解方程即可；

(3)公式法解方程即可；

(4)因式分解法解方程即可.

本题考查解■元二次方程，熟练掌握解法和步骤，并灵活运用是解答的关键.

18.【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，

依题意得：1+x+久(1+x)=256,

即(1+x)2=256,

解得：X[=一17(不符合题意舍去)，刀2=15,

答：每轮传染中平均每人传染了15人.

【解析】设每轮传染中平均每人传染了久人，由题意：有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256

人感染了该种病毒，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

19.【答案】解：(l)y=2久2+4久一6=2(%+I)2-8,

.,.对称轴为直线尤=—1；

(2)•••将该抛物线向右平移爪(爪>0)个单位长度，

••・新的抛物线的解析式为：y=2(x+l-m)2-8,

把(0,0)代入,得：2(1-m)2—8=0,

解得：Hl=3(负值舍去).

【解析】(1)将一般式转化为顶点式，即可得出结果；

(2)根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，将原点坐标代入求解即可.

本题考查二次函数的性质，二次函数图象的平移，正确记忆相关知识点是解题关键.

20.【答案】解:(1)•••方程有实数根，

21=36—4(2m+1)=36—8m—4=32—8m>0,

解得：m<4.

故rn的取值范围是m<4；

(2)VX],久2是方程K2+6x+(2m+1)=0的两个实数根，

•••%i+%2=-6，•12=27n+1,

2%1%2——%228,

•，•2(2/71+1)+628,

解得机>0,

由(1)可得小<4,

m的取值范围是0<m<4.

【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式4>0,即可得出关于小的一元一次不等式，解之即可得出山

的取值范围；

(2)根据根与系数的关系可得出久1+%2=一6、%1%2=2m+1,由2K1久2-%1-X2>8结合(1)结论可得出

关于根的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围.

本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当420时，方程有两个实数

根"；(2)根据根与系数的关系结合2的*2-*1-*228及mW4,求出小的取值范围.

21.【答案】解：(1)平均每天的销售数量为：100+10x5=150(件)，

答:平均每天的销售数量150件；

(2)设每件商品降价x元，

根据题意，得：(100+10x)(40-%)=6000,

解得：%!=10,x2=20,

答：当每件商品降价10元或20元时，该商店每天销售利润为6000元.

【解析】(1)利用平均每天的销售量=100+10x每件商品降低的价格，即可得出结论；

(2)设每件商品降价x元，则每件盈利(40-久)元，平均每天可售出(100+10x)元，利用总利润=每件盈利

x平均每天的销售量，即可得出关于久的一元二次方程，求解即可.

本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

22.【答案】解：(1)/一9%+20=0,

(%-4)(%-5)=0,

解得：X]=4,x2—5,

■.-5-4=1,

故方程,—9x+20=0是“邻根方程”；

(2)久2—(m—l)x