高考数学常考题型专项复习：常用逻辑用语（原卷版+解析）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第02讲常用逻辑用语(精讲)

题型目录一览

充分、必要条件的判断

根据充分必要条件求参数的取值范围

全称量词命题与存在量词命题的否定

根据命题的真假求参数的取值范围

、知识点梳理

1.充分条件、必要条件'充要条件

(1)定义

如果命题”若p,则为真(记作夕nq),则p是4的充分条件；同时4是〃的必要条件.

(2)从逻辑推理关系上看

①若pnq且44p,则p是＜7的充分不必要条件；

②若q且qnp,则p是4的必要不充分条件；

③若pnq豆qnp,则〃是q的的充要条件(也说p和4等价)；

④若q且44P，则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pnq,则p是q的充分条件，同时q是p的

必要条件.所谓“充分”是指只要“成立，4就成立；所谓“必要”是指要使得"成立，必须要q成立(即如果q不

成立，则p肯定不成立).

2.全称量词与存在童词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“X/”表示.

含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立"可用符号简记

为“VxeM,p(x)”，读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”

表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个/,使p(x0)成立"可用符号

简记为“玉:°eM,P(Xo)”，读作“存在M中元素％,使p(x0)成立"(存在量词命题也叫存在性命题).

3.含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题°：\/%6朋\?(%)的否定一^为三不€〃，->P(X0).

(2)存在量词命题p:3xoeM,p(x0)的否定-y?为VxeM，r>(x).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用结论】

1.从集合与集合之间的关系上看：设4={%|0(%)},5={%|4(%)}.

(1)若则p是q的充分条件(pnq),q是p的必要条件；若A雕，则夕是q的充分不必要

条件，“是p的必要不充分条件，即〃nq且q4p■,

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小n大”.

(2)若BqA,则p是4的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=5,则p与4互为充要条件.

2.常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

(<)(>)两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合加中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词

命题为假命题，只要能举出集合M中的一个X。，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合〃中能找到一个为使之成立即可，否则这个存在量

词命题就是假命题.

二、题型分类精讲

题型一充分、必要条件的判断

策略方法判断充分、必要条件的几种方法

确定条件p和结论q,尝试p=q,q=p,确定

定义法一

条件p和结论q的关系

等价条件和结论带有否定性词语的命题，常转1

——

转化法化为其逆否命题来判断真假1

1

根据p,q成立时对应的集合之间的包含关

系进行判断，抓住“以小推大”的技巧，即小

।关系法-

范围推得大范围，即可解决问题!

【典例1】己知如,｝是无穷等差数列，其前项和为S,，贝心｛q｝为递增数歹『，是"存在“eN*使得S“>。”的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【典例2】条件X2-OX+3>0,则。的一个必要不充分条件是（）

A.a<5B.a>5C.a<4D.a>4

【题型训练】

一、单选题

1.（2021春.广东梅州.高三校考期中）设均为单位向量，则“卜-0=卜+6卜是“°1.6”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023春・湖北•高三安陆第一高中校联考阶段练习）若。#0,则》=疝”是“。，b,c成等比数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2023・重庆•统考二模）"％2-x<0”是“e*>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023•天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）设向量。=（l,-sinO）,6=（sin26»,sine）,

则“；，方'是"tan。=2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

5.（2022秋・湖南长沙•高三校考阶段练习）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不

还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既

不充分也不必要”）

6.（2023•全国•高三专题练习）己知p:VxeR,ax2+2x+l>0;4：ae（l,+℃）,则p是q的条件.（在

充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）

7.（2023•宁夏中卫•统考二模）命题命题4：上>0,则。是4的____________条件.

[y>0孙

（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）

4

8.（2023春•江苏南京・高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）“tana=3”是“cos2a=--55

的条件.（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）

三、解答题

9.（2023秋・河南许昌•高三校考期末）已知集合4=｛刈尤2+2尤_840｝,B=｛x\m-A<x<3m+3].

⑴求A;

⑵若“xGA”是“xGB”的充分不必要条件，求m的取值范围.

10.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足a“+a“+i=2〃+l（〃eN*）,求证：数列｛%｝为等差数列的

充要条件是4=1.

题型二根据充分必要条件求参数的取值范围

座^策略方法

1.充分、必要条件的探求方法（与范围有关）

先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大''的方法确定符合题意的条件.

2.利用充要条件求参数的两个关注点

⑴巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集

合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

⑵端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.

【典例1]若关于尤的不等式卜-2|<。成立的充分条件是0<x<6,则实数。的取值范围是（）

A.（-双2）B.[2,4]C.（4,+8）D.[4,+8）

【典例2】已知P：“尤2-尔<0”,q："lgx<0",若〃是q的必要不充分条件，则实数机的取值范围是（）

A.B.（0,+co）C.[l,+oo）D.（1,+（»）

【题型训练】

一、单选题

1.（2022秋・河南安阳•高三校联考阶段练习）若平+1|=2”是“log?无+2,=a”的必要不充分条件，则实数a=

（）

A.3B.2C.1D.0

2.（2022秋・山东临沂•高三统考期中）已知）:/+%-2>0国力>。，若。是4的必要不充分条件，则（）

A.a.AB.a„1C.a..-2D.④一2

3.（2023•湖南邵阳•统考二模）已知集合人=[-2,5],B=[m+l,2m-l].若“xeB”是“xeA”的充分不必要

条件，则的取值范围是（）

A.（-»,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]

4.（2022•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预测）使得不等式V一中+1>。对VxeR恒成立的一个充分不必要

条件是（）

A.0<a<2B.0<a<2C.a<2D.a>—2

5.(2022.全国•高三专题练习)“当工£[-2,1]时，不等式双3_f+©+320恒成立”的一个必要不充分条件为

()

A.5,—1]B.7,—1]

C.ae[—6,—2]D.ciG[—4,—3]

6.(2023・四川南充・四川省南部中学校考模拟预测)已知函数/(%)=/—5%2—Qinx,则函数/(%)在(0,+8)上

单调递增的一个充分不必要条件是()

4二422

A.a<—B.〃？一C.Q<—D.QW—

9933

二、填空题

7.(2021秋•四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知p：|x+[<2,q-a<x<a+l,若p

是q的必要不充分条件，则a的取值范围是.

8.(2023・上海长宁・统考二模)若"x=l”是的充分条件，则实数。的取值范围为.

9.(2022秋・安徽滁州•高三校考阶段练习)已知集合4={讣1<%<2},B={x\l-m<x<l+2m,m>0},若“xGA”是

“xGB”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为.

10.(2022秋・河南驻马店•高三校考阶段练习)已知)：x2-x-12<Q,q：(x+/n)[x-(l+2/n)]<0,(m>0),

若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是.

题型三全称量词命题与存在量词命题的否定

令0策略方法

全称量词命题与存在量词命题的否定

⑴改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进

行改写.

(2)否结论：对原命题的结论进行否定.

【典例1］命题“VxwR,,使得的否定形式是（）

A.VXGR^HGN*,使得〃B.VxeR,VnGN*,n>x

C.GR,3^7eN\使得”犬D.3XGR,VHGN*,都有〃>x

【题型训练】

一、单选题

1.（2022秋・辽宁本溪•高三本溪高中校考期中）若命题p:Vx>1,丁之1,则“为（）

A.Vx>l,x3<1B.Vx<l,x3<1C.Bx>l,xi<lD.Bx<l,xi<l

2.（2023・重庆•统考模拟预测）命题*eR,x+|x|<0的否定是（）

A.R,x+|x|>0B.VXGR,x+|x|<0

C.VxeR,x+|.r|>0D.VxeR,x+|x|>0

3.（2023•四川达州•统考二模）命题p：VXGR,2X+X2-A:+1>0,贝E为（）

A.XZXGR,2X+x2-x+l<0B.VXGR,2"+f-x+lvO

C.3x0GR,2"°+XQ—XQ+1<0D.3x0£R,24+XQ-/+1W0

4.（2023•全国，局二专题练习）已知命题p：Hx,ysZ,2x+4y=3,贝|（）

A.p是假命题，p否定是V%,"Z,2%+4yw3

B.p是假命题，p否定是Hr,"Z,2%+4yw3

C.p是真命题，p否定是Dx,y^Z,2%+4yw3

D.，是真命题，p否定是，£Z,2x+4yw3

5.（2022秋・陕西咸阳•高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知命题夕:土«0,+8）,3兀+4=3。下列

说法正确的是（）

A.p为真命题，~P：Hxe（0,+oo）,3%+4w3”

B.p为假命题，~P：VxG（0,+oo）,3x+4w3”

C.p为真命题，-P：VXG（0,+OO）,3%+4w3"

D.p为彳度命题，~^P：Vx£（0,+8）,3%+4。3苫

6.（2022秋.黑龙江哈尔滨.高三哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）给出如下几个结论:

①命题“二£艮。0$九+$111%=2''的否定是“3xGR,cosx+sinA:29,；

②命题"*eR,cosx+—22"的否定是"VxeR,cosx+—-—<2

sin%sin%

③对于X/xe|0,—|,tanx-\——-—>2•

I2）tanx?

@eR,使sinx+cosx=y/2■

其中正确的是（）

A.③B.③④C.②③④D.①②③④

题型四根据命题的真假求参数的取值范围

⑨"策略方法

1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求

真命题的补级即可.

2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

【典例1]已知命题"Vxe[l,2],2，+x-a>0”为假命题，则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,5]B,[6,+oo）

C.(-oo,3]D.[3,+00）

己知命题“玉6氏4无；+（4-2）元0+：〈0”是假命题，则实数。的取值范围为（）

【典例2】0

A.(-8,0)B.[0,4]

C.[4,-H»）D.（0,4）

【题型训练】

一、单选题

1.（2022秋・江西宜春•高三校考开学考试）已知命题。:上owRW+S-若命题〃是假命题，则

。的取值范围为（）

A.l<a<3B.-l<a<3C.-l<a<3D.0<a<2

2.（2023•江西九江・统考二模）已知命题人3XGR,x2+2x+2-a<0,若p为假命题，则实数〃的取值范

围为（）

A.（l,+oo）B.[l,+oo）C.（-oo,l）D.（-oo,l]

3.（2023•陕西安康•统考二模）下列命题正确的是（）

A.“玉eR,1呵仁+1）>0”的否定为假命题

2

B.若“VxcR,加+4%+1>0”为真命题，贝"4

C.若〃>0,b>0,且a+3Z?+"=9,则々+3Z?之6

D.。+6=0的必要不充分条件是:=-1

b

4.（2022・全国•高三专题练习）下列命题中是真命题的个数是（）

（1）X/x£R,炉一2X一3〉0.

（2）3%GR,x2—2%+4>0.

（3）^Vxe[-1,3],2%+心0为真命题，则

4

（4）3xG（-oo,0）,x+——。之。为真命题，贝!JQWY.

A.1B.2C.3D.4

5.（2021秋・吉林长春•高三校考期中）若命题““金R,依+4<o”是假命题，则（）

A.。的最小值TB.。的最小值4

C.，的最大值TD.4无最大值

6.（2023・全国•高三专题练习）若命题“\/%£&%2+2%+3〉用”是真命题，则实数机的取值范围是（）

A.（-<x）,2）B.[2,+oo）C.（-00,2]D.（2,+oo）

7.（2023春・安徽亳州•高三校考阶段练习）已知命题F%£[-U],-%；+3%。+〃>0”为真命题，则实数〃的

取值范围是（）

A.（-co,-2）B.C.（-2,+oo）D.（4,+co）

二、填空题

8.（2023・吉林・统考二模）命题“HxwR,办?+%+1<0，，为假命题，则实数，的取值范围为.

9.（2023•高三课时练习）已知命题“存在了£。,3）,使等式如_1=。成立，，是假命题，则实数机的取值

范围是.

10.（2023春・四川内江•高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知命题P：3x2eQ,2^,

使得方程1。82再+〃=石+2成立，命题杀e[0,l],不等式。+39>4西恒成立.若命题?为真命题，命

题4为假命题，则实数。的取值范围是.

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第02讲常用逻辑用语（精讲）

题型目录一览

充分'必要条件的判断

根据充分必要条件求参数的取值范围

全称量词命题与存在量词命题的否定

根据命题的真假求参数的取值范围

一、知识点梳理

1.充分条件、必要条件、充要条件

（1）定义

如果命题“若p,则4”为真（记作夕nq）,则p是＜7的充分条件；同时4是p的必要条件.

（2）从逻辑推理关系上看

①若〃nq且44p,则p是4的充分不必要条件；

②若q且qnp,则2是4的必要不充分条件；

③若pnq且qnp,则p是q的的充要条件（也说p和q等价）；

④若q且44p,则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p=q,则p是4的充分条件，

同时4是p的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，4就成立；所谓“必要”是指要使得p成

立，必须要q成立（即如果q不成立，则?肯定不成立）.

2.全称量词与存在童词

（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并

用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个

x,有2（幻成立”可用符号简记为“VxeM,p（x）”，读作“对任意x属于M,有p（x）成立”.

（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，

并用符号“3”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个

%,使p（x0）成立“可用符号简记为读作“存在加中元素%,使2（%）

成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.

3.含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题“：X/xeM,p(x)的否定一p为三/eM,->p(x0).

(2)存在量词命题p：3x0eM,p(x0)的否定-1P为VxeM，r?(x).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用结论】

1.从集合与集合之间的关系上看：设A={x|p(x)},5={x|q(x)}.

(1)若A0B,则p是“的充分条件(〃nq),q是〃的必要条件；若A蹑8,则p是q

的充分不必要条件，q是"的必要不充分条件，即夕nq且p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小n大”.

(2)若3口4,则p是q的必要条件，4是〃的充分条件；

(3)若4=5,则p与“互为充要条件.

2.常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

(<)(>)两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合”中的每一个元素x证明其成立，

要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合加中的一个工。，使得其不成立即可，这就

是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个与使之成立即可，

否则这个存在量词命题就是假命题.

二、题型分类精讲

题型一充分、必要条件的判断

策略方法判断充分'必要条件的几种方法

:确定条件p和结论q,尝试p=q,q=p,确定？

定义法-

:条件p和结论g的关系i'

1

等价J条件和结论带有否定性词语的命题，常转:

转化法一：色电基电查史图走刿题臭色_____________:

根据p,q成立时对应的集合之间的包含关

集合

系进行判断，抓住“以小推大”的技巧，即小

关系法

范围推得大范围，即可解决问题

【典例1］已知｛%｝是无穷等差数列，其前项和为S“，则”｛%｝为递增数歹小是“存在weN*

使得5">。”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：因为｛%｝是无穷等差数列，若｛4｝为递增数列，

所以公差d>0,

令S'=wq+*^d>0,解得">1一号，

［1-蓍］表示取整函数，

所以存在正整数"。=1+1-*,有Sw>0,故充分；

设数列｛4｝为5,3,1,-1,满足$2=8>0,但d=-2<0,

则数列｛为｝是递减数列，故不必要，

故选：A

【典例2】条件p：Hxe［l,3］,f一依+3>o,则。的一个必要不充分条件是（）

A.a<5B.a>5C.a<4D.a>4

【答案】A

【分析】对于命题乙由参变量分离法可得。<。+口，求出函数〃x）=x+3在［1,3］上

Vmax冗

的最大值，可得出实数。的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.

【详解】若使得/_办+3＞0,贝!|依＜炉+3,可得。＜》+3，贝Ua＜［x+。］

%IXzmax

因为函数〃X)=X+：在［1,6］上单调递减，在［6,3］上单调递增，

且〃1)=〃3)=4,

故当xe［l,3］时，〃x)1mx=4,即。:a＜4,

所以，〃的一个必要不充分条件是。＜5.

故选:A.

【题型训练】

一、单选题

1.(2021春.广东梅州.高三校考期中)设均为单位向量,则+-目=卜+牛是“八属的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据向量的运算法则和公式q=/进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方

法，即可求解.

【详解】由卜一囚=k+q,贝=卜+61，即/+b—2a'b=a+b+2a-b＞

可得=0,所以aJ_。，即充分性成立；

1|2,,-2«2||2,22

反之：由〃_Lb，则〃•/?=()，可得一々二(a-b)2=a+b且+［=(a+b)2=a+b,

所以**p+M,即必要性成立，

综上可得，卜-6|=卜+6|是°工》的充分必要条件.

故选：C.

2.(2023春・湖北•高三安陆第一高中校联考阶段练习)若bwO,则*=疝”是“。，b,c成

等比数歹U”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用等比中项的性质结合充分不必要条件的判定即可得到答案.

【详解】因为6=疝，则且。片0,所以。，b,c成等比数列，故前者可以推出

后者，

若a,b,c成等比数列，举例。=l,6=-2,c=4,则不满足b=而，故后者无法推出前者，

所以“6=疝”是“。，b,。成等比数列”的充分不必要条件.

故选：A.

3.（2023・重庆・统考二模）"Y-x<0”是“1>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.

【详解】由公7<0可得其解集为：无e{x|0<x<“，由e、>0可得其解集为：xeR.

而卜［0<龙<1}UR,即由“无2_*<0”可以推出“e，>o"，反过来>0”不能推出

x

“Y_x<o"，故“尤2T<0”是“e>0”的充分不必要条件.

故选：A

4.（2023・天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）设向量。=（1,-sin。），

人=（sin26,sin0）,则“a是"tan。=2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先根据“，b,求tan。的值，再判断充分，必要条件.

【详解】由条件可知，fl^=sin26»-sin26»=0,

得2sin6cos6—sin?6=0,化简得sin。（2cos6—sin。）=0,

得sin。=0或2cos"sin6=0,

即tan8=0或tan夕=2

所以“a，人”是“tan。=2"的必要不充分条件.

故选：B

二、填空题

5.（2022秋•湖南长沙•高三校考阶段练习）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，

不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的条件.（填“充分不

必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）

【答案】必要不充分

【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可.

【详解】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破

楼兰”，必要性成立；

“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

6.（2023•全国•高三专题练习）已知p：VxwR,ax2+2x+l>0:q'.a^（1,+°°）,则p是q的

条件.（在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）

【答案】必要不充分

【分析】将全称命题为真命题转化为不等式恒成立，利用充分必要条件判断即可求解

【详解】因为“VxeR,加+2彳+/0为真命题等价于不等式加+2元+120在xeR上恒

成立，

当。=0时，2x+120显然不成立；

fa>0

当"0时，人”“…，解得

综上，实数。的取值范围为ae[l,y）,

所以p:ae[l,y）,

又因为q:ae（l,4<o）,

所以P是q的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

fx>01

7.（2023咛夏中卫•统考二模）命题。：八，命题/—>。，则P是[的_____________条

[y>0xy

件.

（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）

【答案】充分不必要

【分析】先解-1->0,然后根据条件判断即可.

孙

1[x>0fx<0

【详解】因为4：—>0n八或八，

孙[y>0[y<0

[x>0

而。“n*

b>o

所以p是q的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

8.（2023春•江苏南京・高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）“tana=3”是

4

“cos2e=-丁的条件.（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分

也不必要”中选择一个）

【答案】充分不必要.

【分析】利用弦化切得cos2a=1-tan：a,将tana=3整体代入即可证明其充分性成立，令

1+tana

l-tan^=_4＞解得13ntz=±3,必要性不成立.

1+tana5

【详解】若tana=3,则cos2a=cos?a-sin2a=°—sina=\tana1_2.=一±,

cosa+sina1+tana1+95

反之，若cos2a=-±,则1则tan2a=9,则tancr=±3,

51+tana5

4

贝！Jtan。=3”是“cos2a=--”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

三、解答题

9.(2023秋・河南许昌•高三校考期末)已知集合4={%|%2+2%—8<0},

B={x\m—4<x<3m+3].

⑴求4;

(2)若“xGA”是“xdB”的充分不必要条件，求m的取值范围.

【答案]⑴[Y2]

⑵-；,0

【分析】(1)根据一元二次不等式的解法解出尤2+2尤一8<0即可；

(2)由题意知若“xeA”是“xe3”的充分不必要条件则集合A是集合8的真子集，求出m

的取值范围，再讨论即可.

【详解】(D由Y+2X-8<0,可得(X+4)(X—2)40,

所以WM2,所以集合4=[-4,2].

(2)若“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，

则集合A是集合8的真子集，

由集合A不是空集，故集合B也不是空集，

-7

"7-443m+3m~2

1

所以m-4<-4=^><m<0=>——<m<0,

3m+3>21

im>——

I3

113

当时，8={x[-1W2}满足题意，

当〃?=0时，5={x|-4WxV3}满足题意,

即m的取值范围为-；,0.

10.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足­=2〃+l（〃eN*）,求证：数列｛%｝

为等差数列的充要条件是q=1.

【答案】证明见解析

【分析】先证明必要性，再证明充分性.

【详解】必要性：数列｛%｝为等差数列，公差为d,

贝1]an+｛=ax+nd,

所以。〃+。〃+1=4+（〃一l）d+%+nd=2%+（2〃-l）d=2d〃+2q-d

｛4｝满足?+2+i=2〃+l（〃£N*）恒成立，

[d=l

所以。/解得4=1;

充分性：

因为〃22时，=2〃+1①，=2〃一1②，

①一②得：2时，。〃+1-％_i=2.

即｛q｝的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列.

因为4+%=3,4=1,所以电=2.

以a2k=%+2（k—1）=2k,%左一i=%+2（左一1）=2k—1,

所以4=〃，数列｛%｝为等差数列.

综上，数列｛g｝为等差数列的充要条件是4=1.

题型二根据充分必要条件求参数的取值范围

⑨^策略方法

1.充分'必要条件的探求方法（与范围有关）

先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大''的方法确定符合题意的条件.

2.利用充要条件求参数的两个关注点

（1）巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,

然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而

确定取舍.

【典例1]若关于x的不等式卜-2|<。成立的充分条件是0<x<6,则实数。的取值范围

是（）

A.(—8,2)B.[2,4]C.(4,+8)D.[4,+co)

【答案】D

【分析】由|x_2|<a化简得至|]2_a<x<a-st-2,根据不等式Ix-2|<a成立的充分条件是

0<x<6,列出不等式组，求得答案.

【详解】当aWO时，卜-，<。不成立，故0>0,此时由卜-2|<。得2-a<x<a+2,

因为不等式|彳-2|<。成立的充分条件是0<x<6,即(0,6)=(2-a,a+2),

2—。W0

故632'解得心'

故选:D

【典例2】已知p：“尤2—3<o"，g："lgx<0",若p是q的必要不充分条件，则实数比

的取值范围是（）

A.[0,+8）B.（0,+巧C.[1,+co）D.（l,+oo）

【答案】D

【分析】由P、q分别定义集合4={彳4-的<0}和3={x|lgx<0},用集合法求解.

【详解】由选项可判断出m>0.

由q：“lgx<0”可得：B={x|lgx<0}={x|0<x<l}.

由p："%2_小<0"可得：人={x|x2—mx<o1.

因为p是q的必要不充分条件，所以3A.

若m=0时，A=0,BA不满足，舍去；

若m>0时,A={X|%2-mx<01={x|0<x<m}.

要使3A,只需m>l.

综上所述：实数m的取值范围是

故选：D

【题型训练】

一、单选题

1.（2022秋•河南安阳•高三校联考阶段练习）若“|x+[=2”是“log2X+2，=a”的必要不充分

条件，则实数。=（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】解方程|x+1|=2得x=l或-3,再将“|尤+1|=2”是"log?x+2*="”的必要不充分条件

转化为5A且3/0,然后根据集合间的包含关系求。即可.

【详解】解上+1|=2的x=l或-3,设集合A={L-3},方程1吗工+丁=。的解集为集合8,

则5A且3/0,所以3={1}或3={-3},

当3={1}时,logj+^la,所以a=2；

当2?={-3}时，不成立；

故选：B.

2.（2022秋・山东临沂・高三统考期中）已知°:/+工-2>0,4：;<;>4,若。是4的必要不充分

条件，贝I（）

A.a.AB.④1C.a..-2D.④-2

【答案】A

【分析】由条件P：V+x-2>0,解得x范围.根据〃是q的必要不充分条件，即可得出。的

取值范围.

【详解】条件0：/+工-2>0,解得尤>1或％<-2.

条件q：x>a,

。是q的必要不充分条件，

（。,—）是（一》,-2）的真子集，

故选：A.

3.（2023•湖南邵阳・统考二模）己知集合4=[-2,5],B=[m+1,2m-1].若“XEB”是“xeA”

的充分不必要条件，则的取值范围是（）

A.B.（2,3]C.0D.[2,3]

【答案】B

【分析】若“xeB”是“xeA”的充分不必要条件，则8A,列出不等式组求解即可.

【详解】若“xeB”是“xeA”的充分不必要条件，则8A,

m+1<2m-1

所以加+12-2,解得2<〃zW3,即加的取值范围是（2,3].

2m-1<5

故选：B.

4.（2022•重庆沙坪坝.重庆八中校考模拟预测）使得不等式尤②-依+1>0对VxeR恒成立的

一个充分不必要条件是()

A.0<a<2B.0<a<2C.a<2D.a>—2

【答案】A

【分析】先由不等式f一盆+1>。对VxeR恒成立得。«-2,2),再由充分不必要条件的概

念即可求解

【详解】由不等式炉-办+1>0对VxeR恒成立,得△<€),即(-。)2-4<0,解得-2<。<2,

从选项可知0<。<2是-2<。<2的充分不必要条件，

故选：A.

5.(2022・全国•高三专题练习)“当xe[-2,lj时，不等式加+4x+3W0恒成立”的一个必

要不充分条件为()

A.ae[—5,—1]B.a£[-7,-1]

C.ae[—6,—2]D.ae[—4,—3]

【答案】B

【分析】分*=。，0<工41,_24》<0三种情况求出使不等式依3_/+4尤+320恒成立的〃的

取值范围，从而可求出使其成立的一个必要不充分条件

【详解】当x=0时，不等式恒成立，

当0<xWl时，不等式63_/+4彳+320恒成立，等价于4尸一竽_3]，

当-2Wx<0时，不等式依3_f+4x+3zo,恒减立，等价于—p—,

\Jmin

x2—4r—3

令/(无)=———,尤e[-2,0)u(0,l],

X

2

rx—4x—3143A1

/W=323，令L—，

XXXXx

贝||y=-3,3-4/+/，y=-9t2-8Z+1,

可知函数'=-3r-4/+/在1-1,二上递增，；在(-CO,-1),、,上递减，

所以当xe(0,l],即X[l,4w)时，当，=1时，Vmax=—6,即/(%)的=—6,所以a2—6,

当xe[-2,0)时，即日一8,一；1时，函数y=-3户一4产+r在(―,-1)递减，在1,gJ上递增，

所以当/=-1时，vmin=-2,所以。<-2,

综上,当xe[—2,1]时,不等式/_f+4工+：3>0恒成立的充要条件为-6<a<-2,

所以ae[-7,-l]是“当无注-2,1]时，不等式⑥-3-X2+4X+3>0恒成立”的一个必要不充分条

件，

故选：B

6.(2023・四川南