东北三省2025届高三年级上册9月联考数学试卷（含答案）

东北三省精准教学2025届高三上学期9月联考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={x[2*<4},B-[x\logix>-1],则4ClB=()

3

A.(0,2)B.(-oo,2)C.(-8,3)D.0

2.已知(2久+1)5=的+MX+42久2+…+。5刀5,则612=()

A.10B.20C.40D.80

3.已知{斯}是无穷数列,。1=3,则“对任意的m,nGN*,都有口加+n=a7n+即"是"{an}是等差数列”的

()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆

锥，已知该圆锥的底面直径为8爪，高为3m,则该屋顶的面积约为()

A.157rm2B.20mn2C.247rm2D.30nm2

5.已知抛物线。必=2p%(p>0)的焦点为F,若抛物线上一点M满足|MF|=2,乙OFM=60°,则p=()

A.3B.4C.6D.8

6.如图，4(%|)是函数y=sin(%一$图象上的一点，则tan(2a+§=()

7.已知函数f(x),对任意的久,yeR都有f(x+y)=2x/(y)+2厅(切，且f(l)=2,则下列说法不正确的

是()

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A./(O)=0B.要是奇函数

C.y=/(%)是R上的增函数D.f(n)=n-2n(nEN*)

8.已知直线-y+5=0与直线%：%+ay-a+4=0(aER)的交点为P,则点P到直线Z：y=%-3距离的

取值范围是()

A.[3",7询B.(3",7西C.[2隹6的D.(2也6曲

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知向量2=(1,2),3=(2,—1),则下列判断正确的是()

A.a+b=(3,l)B.a-b=(2,-2)C.albD.|a|=\b\

10.现统计具有线性相关关系的变量X,匕Z的几组数据，如下表所示：

变量123n平均数方差

X%2%3%71X黄

Y10%i10x登

1OX210%3ny

ZZ1Z2Z3Znz

并对它们进行相关性分析，得到Z=biX+ai，Z与X的相关系数是n，Z=b2Y+a2,Z与丫的相关系数是

「2,则下列判断正确的是()

附：经验回归方程夕=bx+3中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为B='祓«=y-bx,

主口斗宝特_____Eli(须一元)(％一刃

相关系数r-#/1(符-幻2^^](”-/2・

A.y=10xB.登=10簧C.bi=10b2D.r2=r1

11.如图，直四棱柱ABCD—a/iCiDi中，底面4BCD是菱形，其所在平面为a,且NBAD=60°,AB=2A

&=2.。是力C,BD的交点，P是平面a内的动点(图中未画出).则下列说法正确的是()

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A.若QP=2,则动点P的轨迹长度为27r

B.若NOQP=90。，则动点P的轨迹是一条直线

C.若OP=C1P,则动点P的轨迹是一条直线

D.若动点P到直线。射的距离为1,贝+PC为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

7

12.已知复数z的实部为2,且亦为纯虚数，则复数z=.

13.已知双曲线。/一步=9,点N的坐标为(6刀)，其中nuie{1,2,3},存在过点N的直线与双曲线C相交于

A,B两点，且点N为弦48的中点，则点N的坐标是.(写出一个符合条件的答案即可)

14.已知a>0且x>0时，不等式ae2x-ln(x+爪)+赤>0恒成立，则正数m的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知函数/(%)=2x3-3ax2+1.

(1)当a=l时，求函数/(工)的单调递减区间；

(2)若x=0是函数f(X)的极小值点，求实数a的取值范围.

16.(本小题12分)

某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了100名车主，并得到如下的2X2

列联表：

觉得交通拥堵觉得交通不拥堵合计

燃油车车主302050

新能源车车主252550

合计5545100

(1)将频率估计为概率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取1名，记“抽取到燃油车车主”为事件

公，“抽取到新能源车车主”为事件4，”抽取到的车主觉得交通拥堵”为事件当,“抽取到的车主觉得

交通不拥堵”为事件外,计算PG1M2),比较它们的大小，并说明其意义；

(2)是否有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关？将分析结果与(1)中结

论进行比较，并作出解释.

附表及公式：

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a0.1000.0100.001

2.7066.63510.828

Xa

%=(a+b)还+d)(a+K(b+d)，71=a+b+C+d-

17.(本小题12分)

如图，已知斜三棱柱ABC-aB1J中，侧面BBiQC1侧面44道声，侧面B&CiC是矩形，侧面A&BpB是

菱形，NB44i=60°,AB=2BC=2,点E是棱44i的中点.

(1)证明：BE，平面BBiJC；

(2)求二面角A-BiC-E的余弦值.

18.(本小题12分)

已知直线Z:x=2经过椭圆C:,+哙=l(a>b>0)的右焦点F且被椭圆C截得的弦长为2业.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点P(4,0)的动直线爪与椭圆C相交于4B两点，且直线Lt的点M满足施〃而，求证：直线MB过定

点，并求该定点的坐标.

19.(本小题12分)

二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0,1来表示

kfc-1

数.如果十进制中的整数n^ak-2+ay2+…+的•2+劭(七6(0,1},i=0,l,---,fc),则这个数在二进

制下记为电以_1…的的，即(71)10=(怒在_1…。1的)2.记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为

(p(n),即s(n)—a0+ai+•••+ak.

(1)计算3(7)；

(2)证明：0(4几+3)=(p(2n+1)+1；

(3)求数列&(3-2九-1)}的前n项和Sn.

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参考答案

l.A

2.C

3.X

4.B

5.4

6.D

7.C

8.D

9.ACD

IQ.ACD

ll.BCD

12.2-4i##-4i+2

13.(1,2)(或(1,3),(2,3))

14.(0,e]

15.【小问1详解】

(1)当a=l时,f(x)=2x3-3x2+1,

=6x2-6x=6x(x—1),

由广(无)<0解得0<刀<1,

所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1).

【小问2详解】

f'(x)=6%(x—a),f'(x)=0时，x=0或x=a.

①若a<0,

当X<(2或工>0时，/'(久)>0,

当a<x<0时，f'(x)<0,

因此久=0时，函数/'(久)取极小值；

②若a=0,

当％<0或无>0时，/'(久)>0,

因此x=0不是函数/'(%)的极值点；

③若a>0,

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当x<0或无>a时，f'(x)>0,

当0<x<a时,f'(x)<0，

因此x=0时，函数/'(%)取极大值.

综上，a的取值范围是(-8,0).

16.【小问1详解】

由题意得

1

P(B1M2)=3,

说明从抽样情况来看，燃油车车主觉得交通拥堵的比例比新能源车车主觉得交通拥堵的比例更高

【小问2详解】

2100X(30X25-20X25)2100100,

z55x45x50x5011X999、“八口’

因此没有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵有关，

说明调查人数太少，(1)中的结论不具有说服力，需要调查更多车主.

17.【小问1详解】

证明：因为侧面8B1JC是矩形，所以BC1BBi，

又因为侧面BB1C1C1侧面平面n平面=BBlt

所以BC，平面44//,

因为BEu平面所以BC1BE.

菱形中，N8A4i=60。，所以444/是等边三角形，

又E是441的中点，所以BE1AAi，得BE1BB1,

又BB]CBC=B,BBi，BCu平面BBiCi。，

所以BE1平面BB1C1C.

【小问2详解】

解：由(1),如图，以B为坐标原点，BE,BBi，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

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因为4B=2BC=2,所以BE=ABsin6(T=避，

因止匕Bi(0,2,0),4式避,1,0),E(强0,0),C(0,0,l),

所以猊=(0,—2,1),取=(避,一2,0),0；=(避,一1,0),

设平面EBiC的法向量为薪=(%i,yi,zi),

由zn1B]C,得—2yi+z1=0,

由有IB",得4%1-2yl=0,令yi=l,得租=(^^,1,2),

设平面/l&C的法向量为蔡=(%2》2/2),

由?i_LBiC,得一2y2+z2=0,

由蔡1瓦再，得避%2—丫2=0,令丫2=1，得£=(孝,1,2),

18.【小问1详解】

由题意得C=2,

将X=。代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为（2,±9）,

所以?=",因此a2—"a—4=0,

解得a=2"或a=-"（舍去），b=2,

即椭圆方程为（+[=1.

o4

【小问2详解】

当直线机的斜率为0时，直线MB的方程为y=0,此时施〃丽;

当直线Hi的斜率不为0时，可设直线m的方程为久=ty+4,

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代入椭圆方程，得到Q2+2)y2+8ty+8=0,

由d>0,得到t