2024-2025学年度九年级数学上册 用一元二次方程解决问题 专项练习（含答案）

2024-2025学年度九年级数学上册用一元二次方程解决问题专项练习

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（八年级下•安徽合肥•期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若

干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支.已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56,则这

种植物每个枝干长出小分支的个数是（）

A.9B.8C.7D.6

2.（九年级上•海南省直辖县级单位•期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字

大3,则这个两位数为（）

A.25B.36C.25或36D.-25或-36

3.（2024•四川眉山•中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生

产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻

亩产量年平均增长率为x,则可列方程为（）

A.670x（1+2x）=780B.670x（l+x）2=780

C.670X（1+X2）=780D.670x（1+尤）=780

4.（八年级下•吉林长春•期中）某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道

路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为却1,则下面所列方程正确的

A.32x20-2尤2=570B.（20-x）（32-x）=570

C.（20—力（32—2x）=570D.3x2=570

5.（九年级下•山东淄博•期中）某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售

价为49元时，每天可售出150盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加20盒，要使该款大礼包每天的

销售额达到6000元,每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为（)

A.（49-x）150+型］=6000B.（49+x）1150+型］=6000

C.（49+x）（l50+20x）=6000D.（49-x）（150+20无）=6000

6.（九年级上•山东德州•阶段练习）如图，RtA43C中，ZABC=9Q°,AB=6cm,BC=8cm,动点产

从点/出发沿48边以1cm/秒的速度向点3移动，点0从点6出发，沿3C边以2cm/秒的速度向点C移

动，如果点R0分别从点48同时出发，在运动过程中，设点尸的运动时间为t,则当V8P0的面积为

7.（八年级下•浙江温州•期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一

张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是

（）

A.1（XT）+X=2304B.=2304

22

C.x（尤-1）+x=2304D.x（x-l）=2304

8.（九年级上•河北廊坊•期末）某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月

可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台.设售价为x元/台.若

使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（）

A.（x-80）（50+10x）=2500B.（x-120）（50+10x）=2500

101）x101）X

C.（x-120）50+（^-）=2500D.（X-80）50+（^-）=2500

9.（22-23九年级上•江苏无锡•期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一

瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买.一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已

知一瓶电热蚊香液的利润率为20%,一套驱蚊器的利润率为25%.超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液,

共可获利10元.经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊

器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套.若超市每天销售驱蚊器要获得

275元的利润，则每套需降价（）

A.1元B.2元C.3元D.4元

10.（2024九年级•全国•竞赛）由于技术水平的不断提高，某些石材加工设备的生产成本不断降低，下

表是甲、乙两种设备分别在2012年和2014年每套的生产成本情况.

年份甲种设备的生产成本（元/台）乙种设备的生产成本（元/台）

2012年5000060000

2014年2812533750

现有下列结论：

①从2012年到2014年，甲种设备的生产成本年平均下降率为25%；

②从2012年到2014年，乙种设备的生产成本的年平均下降率比甲种设备大；

③按甲种设备生产成本的年平均下降率估计，2013年甲种设备平均每台的生产成本为50000（1+25%）元；

④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为33750（1-25%y

元.其中正确的结论有（）

A.①④B.①②④C.①③D.②③④

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.（22-23九年级上•山西忻州•阶段练习）某中学九年级（4）班在毕业典礼上，每两位同学都相互握

了一次手，有人统计一共握了465次手，则九年级（4）班的同学共有名.（参考数据：73721=61）

12.（2024•河南商丘•三模）4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的

步步高超市4月H日当天的营业额是21万元，4月13日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均

增长率相同，可设为x,那么可列出的方程是.

13.（2024九年级•全国•竞赛）有一面墙长4.8米，高3.6米，中间有一个背景墙（阴影部分与黑色部分）,

如图所示，已知背景墙的边框（黑色部分）长度为2.4米，高1.8米，面积为整面墙的面积的点，那么背

景墙边框的宽度为米.

H—4.8米一►!

14.（22-23九年级上•甘肃兰州•期中）深秋时节，甜糯的板栗深受人们的喜爱，某商贩购进时的价格是

40元/千克.根据调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量V（千克）之间满足的关系如图

所示.

（i）写出y关于x的函数关系式；

（2）要使该商店销售这种板栗获得8000元的销售利润且让利于顾客，则该板栗的销售单价应定为.

15.（九年级上•湖北武汉•阶段练习）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按

比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.例如：己知A,昆C三人分配奖金的衰分比为10%,

若/分得奖金1000元，则8。所分得奖金分别为900元和810元.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻

关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则

"衰分比"是.

16.（九年级上•江西南昌•阶段练习）如图所示，在一块等腰直角力8C的空地上，斜边

BC=20m,AD1BC,垂足为。，点£在/。上，EF//AB,EG//AC,等腰直角AE/G的面积为18m?,

图中阴影部分种植花草，剩余部分为道路，设2尸=xm,则根据题意可列方程为.

17.（九年级上•全国•课后作业）春节期间，某超市举办了“2023年跨年迎新购物季”促销活动，该超

市对一款原价为。元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价无％,此时售价共降低

了6元，则6=.

18.（2024七年级•全国•竞赛）如图，已知正方形/BCD的边长为10厘米，点E在边N3上，且/E=6.4

厘米，尸、。两点分别从B、C两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点尸移到点。时,

P、0两点同时停止移动，设移动时间为/秒，当5皿=5/、39时，，=.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）（九年级上•湖北襄阳•阶段练习）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上

后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36

名同学会做这项实验.求每节课每名同学教会多少名同学做实验？

20.（8分）（八年级下•福建福州•阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”

的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月

份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？

21.（10分）（22-23八年级下•浙江杭州•期中）如图1,有长为24米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可

用长度。为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.

H---------a---------HT

〃/〃〃/7/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃//

ADAD

BCB।।।।C

图1图2

（1）如果要围成面积为36平方米的花圃，N8的长是多少米？

（2）如图2,如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，43的

长时多少？

22.（10分）（八年级下•浙江宁波•期中）每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日.我

国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就.某商店为满足航天爱好者的

需求，特推出“天宫空间站”系列46两款模型，/款模型比8款模型售价低20元，800元购买/款模

型的数量与960元购买3款模型的数量相等.按定价销售一段时间后发现8款模型每天可以卖15件.为

扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，5款模型每降价5元，则每天可以多卖1件.

（1）A8两款模型每件售价分别是多少？

（2）为了使5款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求5款模型的降价后的售价

为多少元/件?

23.（10分）（八年级下•浙江杭州•期中）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地

建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知4D=50m,^5=30m,阴影部分设计为停车位，要铺花砖,

其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花成的面积（即阴影面积）为800mL

（1）求道路的宽是多少米？

（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位

的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为

10120元，同时尽可能让利于居民？

24.（12分）（2024•山东德州•一模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定，某市

规定：月用水量不超过规定标准。吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要

加收美元的附加费用•据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：

月份用水量（吨）交费总数（元）

7140264

895152

（1）求出该市规定标准用水量。的值；

（2）当用水量超过标准。吨时，写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系

计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？

参考答案:

1.c

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键.设这种植物每个支干长

出的小分支个数是X,根据题意可列出关于X的方程，再求解即可.

【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是X,

依题意得：x+x1=56,

解得：匹=-8(不合题意，舍去)，x=7,

•••这种植物每个支干长出的小分支个数是8.

故选：C.

2.C

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为x,则个位上的数字为(x+3),根据“一个

两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正

确列出方程是解此题的关键.

【详解】解：设十位上的数字为x,则个位上的数字为(x+3),

由题意得：10x+x+3=(x+3)~,

整理得：x2-5x+6=0,

解得：x=2或x=3,

当x=2时，x+3=2+3=5,此时这个两位数为25,

当x=3时，x+3=3+3=6,此时这个两位数为36,

综上所述，这个两位数为25或36,

故选：C.

3.B

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键.

设该村水稻亩产量年平均增长率为x,根据题意列出方程即可.

【详解】解：根据题意得：670x(l+x)2=780.

故选：B.

4.C

【分析】本题考查列一元二次方程解实际应用题.将三条路平移，草坪是一个长方形，如图所示，根据剩

余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2,设道路的宽为Q,利用长方形面积公式得到

（20-x）（32-2x）=570,从而确定答案.

【详解】解：将三条路平移，如图所示:

使草坪的面积为570m,设道路的宽度加,

故选：C.

5.D

【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价x元，根据题意列出一

元二次方程，即可求解.

【详解】若设该款大礼包每盒降价尤元，则可列方程为

(49—x)(150+20x)=6000

故选：D.

6.B

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.当运动

时间为t秒时，BP=[6-tym,BQ=2tCm,根据V8P0的面积为8cm2,即可得出关于t的一元二次方程,

解之即可得出力的值.

【详解】解：当运动时间为t秒时，BP=（6-t）cm,BQ=2tcm,

依题意得：

5（6-f）x2f=8,

整理得：f2-6?+8=0,

解得：4=2,4=4.

故选：B.

7.C

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程

即可.

【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：尤（尤-1）+尤=2304；

故选C.

8.D

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为X元/台，根据利润=销售量X每台风扇的利润，列方

程即可.

【详解】解：设售价为X元/台，

根据题意可得：（x-80）50+」^~L=2500,

故选：D.

9.A

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为L2x元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进

价为4.8x元，列出方程解出即可；

【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为L2x元，则一套驱蚊器的售价为6x

元，进价为4.8x元，由题意得：

4.8xx25%+4xx20%=10,

解得：x=5,

所以一套驱蚊器的售价为：5X6=30（元），一套驱蚊器的利润30-4.8x=30-24=6元

设每套驱蚊器降价a元，由题意得：

（6-a）（50+5a）=275,

解得：%=1,出=-5（舍去），

故选:A.

10.A

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用--增长率问题，根据增长率模型可逐项分析各选项进行判断

即可得出结论.

【详解】解：①设甲种设备的生产成本年平均下降率为x,根据题意得：

50000（1-X）2=28125

x=

解得，i0.25,x2=1.75（舍去）

所以，甲种设备的生产成本年平均下降率为x=25%,①正确；

②设乙种设备的生产成本年平均下降率为y,根据题意得：

60000（1-x）2=33750

解得，必=0.25,%=L75（舍去）

所以，乙种设备的生产成本年平均下降率为＞=25%,

即甲、乙两种设备的生产成本年平均下降率相同，②错误；

③2013年甲种设备平均每台的生产成本为50000(1-25%),③错误；

④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为33750(1-25%产

元，④是正确的.

综上，正确的结论是①④，

故选：A.

11.31

【分析】设九年级(4)班的同学共有x名，根据题意可得gx(x-l)=465,解方程求解即可.

【详解】设九年级(4)班的同学共有x名，

依题意得：；x(x-l)=465,

整理得：x2-x-930=0-

解得：X1=31,X2=-30(不符合题意，舍去)，

九年级(4)班的同学共有31名.

故答案为：31.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用一传播问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键.

12.21(1+x)2=80

【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决

问题的关键.主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x(l+增长率)，用x表示4月13日的

营业额即可得解.

【详解】解：依题意得4月13日的营业额21(1+X)2,

/.21(l+x)2=80.

故答案为:21(1+x)2=80.

3

13.0.3/—

10

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

设背景墙边框的宽度为、m,可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

【详解】解：设背景墙边框的宽度为钏，得

3

2.4x+2xx(1.8-x)=4.8x3.6x—

解得再=0.3,x2=2.7(舍)

故答案为：0.3.

14.y=-10x+100060

【分析】（1）设了关于X的函数关系式为尸=履+屋用待定系数法列方程组求解即可;

（2）根据利润=（售价一进价）X销量，列出方程求解即可得到答案.

【详解】解：（1）设y关于X的函数关系式为y=h+g

由图可知，点（50,500）,（60,400）在/=履+6,

j5（R+6=500

60左+6=400'

・•.»关于x的函数关系式为y=T0x+1000,

故答案为y=-iox+iooo；

（2）根据题意可得：

（-10x+1000）（x-40）=8000,

解得：x=60或x=80,

让利于顾客，

x=60,

••・板栗的销售单价应定为60元，

故答案为：60.

【点睛】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解

决问题.

15.50%

【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设“衰分比”为x,则乙获得奖金lOO（l-x）,丙获得奖金

100（1-尤『，根据甲、乙、丙共获得奖金175万元，列出方程求解，根据实际选择适合的值即可.

【详解】解：设“衰分比”为x,则乙获得奖金100（17）,丙获得奖金100（1-

根据题意得：100+100（l-x）+100（l-x）2=175,

解得：x=0.5或x=-1.5（舍去，不符合实际），

；・"衰分比”是50%,

故答案为：50%.

16.1(20-2x)(10-x)=18

【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，读懂题

意列出方程是关键.由等腰三角形的性质及平行条件，得点。是BC、尸G的中点，则既=CG=x,从而

可表示出尸G、ED,由面积关系建立方程即可.

【详解】解：・.・是等腰直角三角形，AD1BC,

：.BD=CD,Z8=NC=45。；

,:EF〃AB,EG//AC,

：.ZEFD=ZB=45°,ZEGD=ZC=45°,

：./EFD=/EGD=45。,

：.EF=EG,/FEG=90。；

•；ADJ.BC,点、E在ADk,

；.FD=ED,ED=-FG,

2

・•・CG=CD-GD=BD-FD=BF；

*.*BF=xm,

：.BF=CG=xmf

：.FG=BC-BF-CG=(20-2x)m,

ED=gPG=；(20一2x)m；

：S.FFC=-FG-ED=i8

1(20-2x)(10-x)=18.

故答案为：!(20-2x)(10-x)=18.

17.a-a(l-x%)2

【分析】根据某超市对一款原价位。元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价X%,

此时售价降低了。元，列方程即可得到结论.

【详解】解:由题意得：b=tz-a(l-x%)2,

故答案为：a-a(l-x%)".

【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键.

18.3.6或18

【分析】本题考查一元二次方程在几何中的应用，根据移动时间为/秒，分以下两种情况讨论，①当尸在3c

上时，②当P在8上时，根据这两种情况分别用，表示出△4EP和ACP0的底和高，根据建

立方程求解，即可解题.

【详解】解：：移动时间为/秒，正方形/BCD的边长为10厘米，NE=6.4厘米，

①当尸在3C上时，

有3尸=£厘米，PC=(10-/)厘米，℃=/厘米，

•「^AAEP=SMPQ,

:.；AE.BP=gpC.QC,即6.4/=(10-/»,

整理得3.书=0,解得。=0(不合题意，舍去)，G=3.4.

②当P在CO上时，

则尸C=(/-10)厘米，0。=(/-10)厘米，

.-.1x6.4xl0=1(Z-10)(?-10),

整理得”10=±8,解得4=18,。=2(不符合题意，舍去)，

综上所述，/的值为3.6或18.

故答案为：3.6或18.

19.5

【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出两节课教会的人数是解题关键.

设平均每节课一人教会x人，第一节课后会做的有(1+x)人，第二节课教会x(l+尤)人，会做的有

[l+x+x(l+x)]A，据此列方程求解即可.

【详解】解：设每节课一人教会x人，根据题意可得：

l+x+x(l+x)=36,

解得：须=5,X2=-7(不合题意舍去)

答：每节课一人教会5人.

20.⑴20%

(2)2592

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据题意列出一元二次方程求解即可；

(2)根据题意列式计算即可.

【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为X,

依题意,得:15OO（X+1）2=2160,

解得:须=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去）.

/.该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

（2）2160x（l+20%）=2592（个）.

预计7月份该品牌头盔销售量是2592个.

21.（1）48的长是2米

⑵N3的长是，米或5米

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，利用长方形的面积运算方法列出方程是解题的关键.

（1）设的长为x米，则8C的长为（24-3x）米，根据长方形的面积=长、宽列出方程运算即可；

（2）设的长为加米，则的长为（24-3巾+2）米，根据长方形的面积=长、宽列出方程运算即可.

【详解】（1）解：设23的长为x米，则BC的长为（24-3x）米，

根据题意得：x（24-3x）=36,

解得再=2,西=6,

当x=2时，5C=24-3x=18>15,不符合题意，

当x=6时，8c=24—3x=6<15,符合题意，

/.AB的长是6米；

（2）设的长为加米，则8c的长为（24-3切+2）米，

根据题意得：m（24-3m+2）=55,

解得/«1=y,m2=5,

当叫时，BC=24-3机+2=15,符合题意，

当勿=6时，3c=24-3〃z+2=ll,符合题意，

AB的长是1米或5米.

3

22.（1）4模型每件售价100元，8模型每件售价120元

（2）95元

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，

(1)根据800元购买力款模型的数量等于960元购