2025中考数学专项复习：轴对称之将军饮马（五大模型）含答案

2025中考数学专项复习轴对称之将军饮马五大模型重难

点题型归纳含答案

轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳

目录

解题知识必备

压轴题型讲练

类型一、“2定点1动点”作图问题

类型二、“2定点1动点"求周长最小值问题

类型三、“2定点1动点"求线段最小值问题

类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题

类型五、“1定点2动点”一角度问题

压轴能力测评Qi题）

“解题知识必备♦♦

基本图模

1.A

已知:如图，定点A、B分布在定直线，两侧；

要求:在直线Z上找一点P,使B4+PB的值最小--------------------1

解:连接AB交直线,于点P,点P即为所求，

Rl+PB的最小值即为线段AB的长度B

理由：在Z上任取异于点P的一点P',连接4P'、BP',

在△AB户中，AP'+BP'>AB,即AP'+BP,>AP+BP

.♦.P为直线AB与直线Z的交点时，B4+PB最小.‘二、

2.己知:如图，定点A和定点B在定直线，的同侧、

要求:在直线Z上找一点P,使得PA+PB值最小

（或A4BP的周长最小）

B

解:作点A关于直线I的对称点连接Z'B交Z于P,点P即为所求；

理由:根据轴对称的性质知直线I为线段AA'的中垂线，由中垂线性质得：24=24',要使PA+PB最小,

则需PA'+PB值最小，从而转化为模型1.

*

方法总结：

1.两点之间，线段最短;2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;

3.中垂线上的点到线段两蟠点的距离相等;4.垂线段最短.

“压轴题型讲练”

类型一一2定点1动点”作图问题

1.如图,在平面直角坐标系中，点A(4,4),8(2,—4).

⑴若点A关于立轴、9轴的对称点分别是点C,。，请分别描出点C,。并写出点C,。的坐标;

(2)在y轴上求作一点P,使PA+PB最小.(不写作法，保留作图痕迹)

2.如图，A、B是两个蓄水池,都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站,将河水送到

A、8两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短,试在图中画出该点(不写作法，但要保留作图

痕迹).

•B

.A

3.如图,在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为71(-5,1),B(-4,4)，.

_________F

(1)画出△ABC关于y轴对称的图形，并写出4的坐标

(2)已知点。(2,2),请在必轴上找到一点。且P3+P。的值最小(作图).

4.如图，阳光明媚的周六，小明在学校(A)练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去。街快递公司取包裹，再

去D街购买文具，然后回到家里(B).请画出小明行走的最短路径.

类型二、“2定点1动点"求周长最小值问题

5.如图，等腰三角形ABC的底边长为4,面积是16,腰/C的垂直平分线EF分别交47,边于E,

斤点，若点。为8C边的中点，点河为线段EF上一动点，则△CD河周长的最小值为（）

6.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,石尸垂直平分8C,交AC于点。，则△4BP周长的最小值是

（）

7.如图，等腰△ABC的底边BC=4cm,面积为8cm2,腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F,

若。为边的中点，河为线段EF上一动点，则△8。河周长的最小值为多少？（）

8.如图：等腰△ABC的底边BC长为8,面积是24,腰47的垂直平分线即分别交AC,边于E,尸点.

若点。为边的中点，点及为线段E尸上一动点，则△CDM周长的最小值为

B

AF

类型三、“2定点1动点"求线段最小值问题

9.已知，等腰4ABC中，AB=AC,E是高40上任一点，斤是腰4B上任一点，腰=5,8。=3,4D

=4,那么线段BE+EF的最小值是（）

A.5B.3C.D.]

10.如图，△ABC中，AB=AC,BC=5,5^=15,40，口。于点。，即垂直平分AB,交AC于点F,

在即上确定一点P,使HB+尸。最小，则这个最小值为

11.如图，△ABC的面积为14,AB=AC,BC=4,AC的垂直平分线即分别交AC边于点E,尸，若

点。为BC边的中点，点P为线段E尸上一动点，则"CD周长的最小值为

12.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,ZVLBC的面积是14,AC的垂直平分线EF分别交AC,48于

E,F点.若点。为边的中点，点M为线段E尸上一动点，则CM+OM的最小值为（）

B

A.21B.7C.4D.2

类型四、“1定点2动点”一线段/周长最小问题

13.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,AB=14,AD平分NBA。,点PQ分别是AB,AD边上的

动点，则PQ+BQ的最小值是.

14.如图，点E在等边A4BC的边上，BE=4,射线CD，,垂足为点。，点P是射线CD上一动点,

点尸是线段人口上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5,则的长为

15.如图，在等腰/\ABC中，在AB、AC上分别截取AP.AQ，使4P=AQ.再分别以点P,Q为圆心，以大

于PQ的长为半径作弧，两弧在/R4C内交于点R,作射线4R,交BC于点D已知48=/。=10,

AD=8,BC=12.若点“、N分别是线段4D和线段48上的动点，则BM+7W的最小值为（）

A.10B.12.8C.12D.9.6

16.如图，在△4BC中，AB=AC=5,AD±8。于点。，4D=4,8。=3,点P为AD边上的动点，点E为

AB边上的动点，则PE+PB的最小值是.

类型五、“1定点2动点”一角度问题

17.如图，在五边形48coE中，NBAB=142°,NB=NE=90°,AB=BC,AE=DE.在BC,力叼上分别

找一点使得△4W的周长最小时，则N4W+N4W的度数为（）

D

A.76°B.84°C.96°D.109°

18.如图，在五边形ABCEE中，AE_LDE,AB=BC,AE=DE,/BCD+NCDE=230°,点、

P,Q分别在边BC，Z阻上，连接4P，AQ,PQ,当的周长最小时，/B4Q的度数为（）

Ak

O

C

A.50°B.80°C.100°D.130°

19.如图，四边形ABCD中，乙4=40°,ZB=/。=90°,分别是上的点，当△CMV的周长最

小时，则NMCN的度数为（）

D

A

MB

A.40°B.80°C.90°D.100°

20.如图，四边形ABCD中，ZC=62°,ZB=二ND=90°,E、尸分别是BC,上的点，当△4EF的周长最

小时，NEA尸的度数为__.

[

E

B

21.如图，已知AAOB的大小为a,P是AAOB内部的一个定点，且OP=5,点E、尸分别是。4、上的

动点，若△PEF周长的最小值等于5,则。=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

”压轴能力测评”

22.如图，直线Z是一条河，是两个新农村定居点，欲在Z上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向

A、B两地供水,现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是

()

23.如图，在△4BC中，RD平分乙4口。交AC于点。，点N分别是线段口。上一动点，BD

且S^ABC=10,4B=5,则W+MN的最小值为

24.如图，是等边△ABC的中线，点E,F分别是A。,AC上的动点，当EC+EF最小时4ACE的度数

为.

_________0

25.如图,已知ZMON=30°,在NMCW的内部有一点P,A为（W上一动点，B为CW上一动点,OP=a,

当AR4B的周长最小时，AAPB=度，AR4B的周长的最小值是.

M

26.如图，钝角三角形ABC的面积为12,最长边48=6,8。平分乙4BC,点M、N分别是瓦人口。上的

动点,则CM+MN的最小值为

27.如图，在四边形4BCD中，ABAD=105°,=/。=90°,在8。，CD上分别找一个点河，N,使

的周长最小,则AAMN+AANM=°

28.如图，乙408=30°,M,N分别为射线04,上的动点，P为乙4OB内一点，连接P7W,PN,MN.

若OP=5,则△PMN周长的最小值为

29.如图，等边AABC和等边的边长都是4,点8,C,⑻在同一条直线上，点P在线段AC上,则

AP+BP的最小值为

AA'

30.如图所示，在△ABC中，=AC,直线硬是线段4B的垂直平分线，点。是线段8C的中点，点P是

直线EF上一个动点.若LABC的面积为48,12,则"BD周长的最小值是.

31.如图，A4BC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).

(1)若△Ama与△ABC关于y轴成轴对称,请在网格中画出△4BG

(2)写出△ABiG三顶点坐标：4,Bi,G；

⑶若点P为2轴上一点,^PA+PB最小(保留作图痕迹).

32.如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草,再到河边b饮水,最后回到营地,

请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.

b

轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳

目录

解题知识必备

压轴题型讲练

类型一、“2定点1动点”作图问题

类型二、“2定点1动点"求周长最小值问题

类型三、“2定点1动点"求线段最小值问题

类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题

类型五、“1定点2动点”一角度问题

压轴能力测评Qi题）

♦♦解题知识必备♦♦

基本图模

已知:如图，定点A、B分布在定直线，两侧；

要求:在直线Z上找一点P,使R4+PB的值最小

解:连接项交直线I于点P,点P即为所求，

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在Z上任取异于点P的一点P',连接4P'、BP',

在△AB户中，AP'+BP'>AB,即AP'+BP7>AP+BP

/.P为直线AB与直线Z的交点时,PA+PB最小.

\/

2.己知:如图，定点A和定点B在定直线，的同侧

要求:在直线Z上找一点P,使得R4+PE值最小

（或的周长最小）

解:作点通关于直线［的对称点4、连接4出交Z于P,点P即为所求；

理由:根据轴对称的性质知直线I为线段AA'的中垂线，由中垂线性质得：24=24',要使PA+PB最小,

则需PA'+PB值最小，从而转化为模型1.

*

方法总结：

1.两点之间，线段最短;2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;

3.中垂线上的点到线段两蟠点的距离相等;4.垂线段最短.

”压轴题型讲练”

类型一一2定点1动点”作图问题

1.如图,在平面直角坐标系中，点A(4,4),8(2,—4).

->

X

⑴若点A关于立轴、9轴的对称点分别是点C,。，请分别描出点C,。并写出点C,。的坐标；

(2)在y轴上求作一点P,使PA+PB最小.(不写作法，保留作图痕迹)

【答案】(1)作图过程见解析，。(4,—4),。(一4,4)

(2)作图过程见解析.

【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质及轴对称一最短路径问题，根据轴对称的性质得出对称点

的坐标是解题的关键.

(1)利用关于对称轴对称点坐标得出。两点坐标即可.

⑵连接BD交y轴于点P,P点即为所求.

【详解】⑴如图所示，<7(4,-4),£>(-4,4),

⑵如图所示，连接BD交y轴于点P,P点、即为所求.

0

2.如图，A、8是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站,将河水送到

A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点(不写作法，但要保留作图

痕迹).

•B

.A

-----------------------------------------a

【答案】见详解

【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；求两点和距离最小一般采用作出一点

的轴对称图形.然后连接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点；

A,B的距离之和最小，那么应作出A关于河岸的对称点连接4B交河岸与一点，这点就是所求的点.根

据轴对称的性质即可作出图.

【详解】解:根据题意作图如下：

,B

_____3^_____________________a

\/C

A'

3.如图,在平面直角坐标系xOy中，A4BC三个顶点的坐标分别为A(-5,l),B(-4,4),C(-l,-1).

(1)画出ZVIBC关于y轴对称的图形ZVliBiG，并写出A的坐标

(2)已知点。(2,2),请在非轴上找到一点P且PB+PD的值最小(作图).

【答案】⑴4(5,1),画图见解析

(2)P(0,0),画图见解析

【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键.

(1)根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到4的坐标；

(2)找到。点关于①轴的对称点,连接BA交2轴于一点即为P点，根据图形求解即可得到答案.

【详解】⑴解:根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作4B、。三点的对称点4、Bi、G,连接从、Bi、G,

如图所示：

由图形可得：4(5,1)；

⑵作。点关于2轴的对称点A,连接BD1交re轴于一点即为P点,如图所示:

由图可得：P(0,0).

4.如图，阳光明媚的周六，小明在学校(⑷练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去。街快递公司取包裹，再

去。街购买文具，然后回到家里(B).请画出小明行走的最短路径.

【答案】见详解

【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

根据两点之间线段最短,轴对称的性质即可得到答案.

【详解】解;如图所示:作点A的对称点A',作点B的对称点B,连接A'B',交C街和D街于点E,F,

则AE+EF+BF=A'E+EF+B'F>A'B',

当点H,E,F,H共线时，小明行走的路径最短，

故小明行走的最短路径是AE—EF—FB,

类型二、“2定点1动点"求周长最小值问题

5.如图，等腰三角形43C的底边长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线即分别交AC,AB边于E,

F点，若点。为边的中点，点M为线段EF上一动点，则△COM周长的最小值为（）

【答案】。

【分析】本题考查的是轴对称一一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

连接AD,由于△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，故AD_LBC,再根据三角形的面积公式求出AD

的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点。关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CAI+

的最小值，由此即可得出结论.

【详解】解:连接AD,AW,

；△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

AD_LBC,CD=±BC=2,

S4.C--^-BC•AD=/x4xAD—16,

解得AD=8,

：EF是线段AC的垂直平分线，

.•.点。关于直线ER的对称点为点A,

则M4=M7,

/.MC+DM=MA+DM>AD,

.•.AD的长为CM+MD的最小值，

.•.△CDM周长的最小值为CM+MD+CD^AD+CD^8+2^10.

故选：C.

6.如图，在AABC中，AB=3,AC=4,即垂直平分8C,交AC于点。，则△AB尸周长的最小值是

【答案】。

【分析】本题主要考查了，轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置.凡是涉及最短距离

的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线EF的对称点为点

C,故当点P与点D重合时，AP+BF的值最小，即可得到AABP周长最小.

【详解】解：•••EF垂直平分BC,

.♦.点8,。关于EF对称.

当点P和点。重合时，AP+BF的值最小.

此时AP+BP=AC,

•：AB=3,AC=4,

：.△ABF周长的最小值是AP+BF+AB=4B+AC=3+4=7,

故选：C.

7.如图，等腰△ABC的底边BC=4cm,面积为8cm2,腰AB的垂直平分线EF分别交AB、A。于点、E、F,

若。为边的中点，M为线段即上一动点，则△ROM周长的最小值为多少？（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】连接A。，AM,由于△48。是等腰三角形，点。是BC边的中点，故4D，BC,再根据三角形的面积

公式求出4。的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知,点A关于直线EF的对称点为点、B,MA=

MB,推出〃3+加=双4+乂0>40,故40的长为上阳+乂0的最小值，由此即可得出结论.

【详解】解:连接AD,AM.

•/△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

AD±BC,

SAABC--^-BC-AD-X4xAD=8,解得AD—4cm,

石户是线段AB的垂直平分线，

.•.点A关于直线EF的对称点为点B,MA=MB,

MB+DM=MA+DM>AD,

.•.AD的长为MB+MD的最小值，

/\BDM的周长最短=4+*BC=4+；x4=4+2=6(cm).

故选:B.

【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

8.如图:等腰△4BC的底边8。长为8,面积是24,腰AC的垂直平分线E尸分别交AC,边于E,尸点.

若点。为边的中点,点M为线段即上一动点,则△CDM周长的最小值为.

【答案】10

【分析】本题考查的是最短路线问题，连接AD,AM,由于△ABC是等腰三角形，点D是边的中点，故AD_L

BC,再根据三角形的面积公式求出入。的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点。关于直线EF的

对称点为点A,故得AD长为CM+的最小值，由此即可得出结论.

【详解】解：连接AD,AM'，如下图：

­.•AABC是等腰三角形，点。是边BC的中点,

・•.AD.LBC,

：.SAABC=•AD=/X8XAD=24,

解得AD=6,

：EF是线段AC的垂直平分线，

.•.点。关于直线EF的对称点为点A,

.•.AD的长为CW+MD的最小值，

/.△CZW的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+^-BC=6+]■x8=10.

故答案为：10.

类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题

9.已知，等腰△4BC中，AB=AC,E是高4D上任一点，F是腰AB上任一点，腰5,8。=3,4D

=4,那么线段BE+EF的最小值是()

A.5B.3C.D.《

52

【答案】。

【解答】解:如图作点F关于AD的对称点F',连接EF'.作_LAC于H.

•：AB=AC,AD±BC,

:.BD=CD=3,

.•.点F'在A。上,

•：BE+EF=BE+EF',

根据垂线段最短可知，当B,E,尸共线，且与玄重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段的长.

在五土△力CD中，5,

vy-BC-AD=^--AC-BH,

:・BH=24W，

5

94

・・.BE+ER的最小值为皑,

5

___________________________________〜

故选：c

10.如图，△48。中，AB=AC,BC=5,5^=15,40，口。于点。，即垂直平分AB,交AC于点F,

在EF上确定一点P,使PB+PO最小，则这个最小值为.

【答案】6

【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到AD

=6,由EF垂直平分,得到点A,B关于EF对称，再说明PB+PD的最小值，即可得到结论.

【详解】解：•.•AB：AC,BC=5,5枷°=15,AD±BC,

/.yAD-5(7=15,

AD—6,

•JEF垂直平分AB,

.•.点P到A,B两点的距离相等，

即B4=PB,

要求PB+PD最小，即求_B4+PD最小，则A、P、。三点共线，

/.AD的长度即PB+PD的最小值，

即PB+PD的最小值为6,

故答案为：6.

U.如图，△ABC的面积为14,AB=AC,BC=4,AC的垂直平分线即分别交AC边于点E,尸，若

点。为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为.

【答案】9

【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性

质.连接A。，由于A4B。是等腰三角形，点。是BC边的中点，故4D，BC,再根据三角形的面积公式求

出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点。关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CP

+PO的最小值，由此即可得出结论.

【详解】解:连接4D,

•/A4B。是等腰三角形，点。是BC边的中点，

：.AD±BC,

S4ABe--^BC-AD=£X4xAD—14,

解得：AD—7,

•.•EF是线段AC的垂直平分线，

.•.点。关于直线EF的对称点为点A,

.•.AD的长为CP+PD的最小值，

/.AGDP的周长最短=(CP+PD)+CD=AD+妙。=7+:x4=7+2=9.

故答案为：9.

12.如图，在△ABC中，=AC,BC=4,△ABC的面积是14,AC的垂直平分线即分别交AC,AB于

E,F点.若点。为BC边的中点，点M为线段即上一动点，则CA1+DM的最小值为()

A.21B.7C.4D.2

【答案】B

【解答】解:连接AD,

•/△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点.

：.AD±BC,

：.53融=^-BC-AD=yx4xAD=14,解得AD=7,

是线段AB的垂直平分线，

.•.点。关于直线ER的对称点为点A,

连接AM,则CM+DM=AM+DMAAD,

：.当点“在线段AO上时，CM+DM■的值最小,

AD的长为CM+MD的最小值.

故选：B.

类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题

13.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,AB=14,4D平分/R4C,点PQ分别是AB,40边上的

动点，则PQ+BQ的最小值是.

【答案】7

【分析】作点P关于直线AD的对称点P',连接PP、QP',根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得PQ=

PQ,则欲求PQ+BQ的最小值即为PQ+BQ的最小值，即的最小值，则当BP'_LAC时，BP'即P'Q

+BQ的值最小，最小值为BC的长.

【详解】解:如图，作点P关于直线AD的对称点P,连接PP、QP,

______________即

AD是P、P，的对称轴，

即AD是线段PP的垂直平分线,

：.PQ=P'Q,

/.PQ+BQ的最小值即为P'Q+BQ的最小值，即BP'的最小值，

/.当BP'，AC时，BP'即P'Q+BQ的值最小，此时Q与。重合，P与。重合，最小值为BC的长，

•.•在△ABC中，ZC=90°,ZBAC,=30°,AB=U,

；.BC=±AB=7,

：.PQ+BQ的最小值是7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含30°角的直角

三角形的性质，解题关键是找出点P、Q的位置.

14.如图，点E在等边△ABC的边上，BE=4,射线CD±BC,垂足为点C,点P是射线CD上一动点,

点F是线段上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5,则AB的长为.

【答案】7

【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性

质求最短距离的方法是解答的关键.作点E关于射线CD的对称点E，，过作E'F±AB于F,交射线CD

于P,连接PE,此时EP+FP的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得AE'=90°-ZB

=30°,然后利用含30度角的直角三角形的性质求得10,进而求得CE=3即可求解.

【详解】解:作点E关于射线CD的对称点为，过砂作ERLAB于F,交射线CD于P,连接PE,如图，则

E'P=EP,

EP+FP=E'P+FP=此时EP+FP的值最小，则BF=5,

△ABC是等边三角形，

48=60°,AB=BC,

在Rt^BFE'中，/E'=90°-ZB=30°,

:.BE=2BF=10,

:BE=4,CE=CE'

：.2CE+4=10,

:.CE=3,

AB=BC=3+4=7,

故答案为：7.

15.如图,在等腰4ABC中，在AB、AC上分别截取AP.AQ,使AP=AQ.再分别以点P,Q为圆心，以大

于PQ的长为半径作弧，两弧在ABAC内交于点儿作射线AR,交于点D已知AB=AC=10,

AD=8,BC=12.若点河、N分别是线段4D和线段4B上的动点，则BA1+MN的最小值为（）

【答案】。

【分析】过点B作，AC于点H,交4D于点根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC,然后根据

SMBC=•AD=,可得=普•作点H关于AD的对称点交AB于点州，连接ATM,可得

A/77=ATN，,根据垂线段最短，当点M、河分别在尸位置时，BA1+7W最小，进而可以解决问题.

【详解】解:如图，过点石作RH_L于点H,交AD于点河，

由作图可知，AD平分/A4C,

・・•AB=AC,

・•.AD±BCf

：.BD=CD=^-BC=方x12=6,

AD=8,AC—10,BC—12,S^ABC—•AD—,BH,

.口口BC-AD48

•・BH=^^\

・・・AB=AC,AD.LBC,

作点H关于4D的对称点交AB于点AT,连接MW，，

・・.M'H=M'N',

・・.BH=BM'+M'H=BM'+M'N',

当点河、河分别在上r、N，位置时，BM+MN最小，

则BM+AW的最小值为的长学=9.6.

5

故选：D.

【点睛】本题考查尺规作一作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形

的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

16.如图，在△ABC中，AB=AC=5,40，口。于点。，AD=4,60=3,点P为AD边上的动点，点E为

边上的动点，则PE+PB的最小值是.

【答案】等

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接C尸，过点。作CMV4B,可

得PE+PB^PE+P。,根据垂线段最短可知当E、P、。三点共线且CE_LAB时，PE+PB的最小值为

CM,结合面积法求解即可.

【详解】解:连接CP,过点。作CM±AB,

AB=AC=5,AD±BC,AD=4,BD=3,

：.BC=2BD=6,PB=PC,.4

：.PE+PB^PE+PC,

当E、P、。三点共线且CE_LAB时，PE+PB的最小值为CM,//'、\

•••*的=iAB3/pT%

••・9=旦黑"==即PE+PB的最小值为卷，///?------c

AB5550

故答案为：塔.

5

类型五、“1定点2动点”一角度问题

17.如图，在五边形中，NR4E=142°,NB=/E=90°,AB=BC,AE=DE.在BC,DE上分别

找一点M,N,使得△4W的周长最小时，则N4W+N4W的度数为（）

A.76°B.84°C.96°D.109'

【答案】/

【分析】本题考查了最短路线问题.延长至4,使4B=AB,延长AE至力"，使4E=AE,则BC垂直平

分AH,DE垂直平分A4",所以4W=A'M,■=AN,/XABC的周长为AM+MN+AN,要使其周长最

小，即使A'M+MN+4'N最小,设/K4H=c,则4AMN=2x,设/NAA”=夕，则NANM=2y,在△AA'A"

中，利用三角形内角和定理，可以求出,+V=38°,进一步可以求出NAMN+/4ZW的值.

【详解】解:如图，延长至4,使A'B=AB,

延长AE至4'，使AE=AE,

则BC垂直平分44,，DE垂直平分44”,

AM=A'M,AN=A'N,

根据两点之间，线段最短，

当A',M,N,>T四点在一条直线时，4W+AflV+M4"最小,

则AM+MN+AN的值最小，

即△4WN的周长最小，

•/AM=A'M,AN=A'N,

：.可设ZMAA'^ZMA'A=c,ZNAA：'=ZNA'A=y,

在△AHA"中，2+v=180°一/BAE=180°-142°=38°,

•••2AMN=ZMAA'+AMA'A=2x,AANM=2y,

：.NAMN+AANM=2x+2y=76°,

故选：A.

18.如图，在五边形48cDE中，48,8C,AE_LDE,AB=BC,AE=DE,/BCD+/CDE=230°,点、

P,Q分别在边BC，Z的上，连接AP,/Q,PQ,当△APQ的周长最小时，/B4Q的度数为（）

【答案】8

【分析】本题考查轴对称图形的性质.延长AB到点G使得BG=AB,延长AE到点F使得EF=AE,连接

GF交BC、DE于点、P\、Q\,则这时AAPQ的周长最小，根据无变形的内角和求出ABAE的度数，根据轴对称

的性质得到ZP[AG=ZG,/Q/F=/F,然后计算解题即可.

【详解】解:延长到点G使得BG=AB,延长AE到点F使得EF=AE,

___________F

•：AB±BC,AE±DE,

：.BC、DE垂直平分AG,AF,

连接GF丈BC、DE于点B、Qi,

则HG=RA,QF=Qp4,

AFG=PG+©Qi+QF=RA+RQi+QXA,这时△APQ的周长最小，

•：AB±BC,AE_LDE,

：./ABC=/AED=90°,

又•//BCD+ZCDE=230°,

ZBAE=540°-AABC-ZAED—(/BCD+NCDE)=540°-90°-90°-230°=130°,

ZG+ZF=180°—/BAE=180°-130°=50°,

又vPlG=PvA,QiF=QrA,

/./F4G=/G,ZQrAF=ZF,

/./%4Q=ABAE-AP^AG-AQ.AF=NBAE-4G—NF=130°-50°=80°,

故选：B.

19.如图，四边形ABC©中，乙4=40°,乙B=/O=90°,M,N分别是AB,AD上的点，当△CMV的周长最

小时，则NMCN的度数为（）

A.40°B.80°D.100°

【答案】。

【分析】作点。关于4B的对称点E,关于人。的对称点F,则CM=EM,CN=FN,可得CM+MN+C7V=

EM+MN+FN,即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，根

据四边形ABCD中，=40°,/B=/。=90°得/BCD=140°,根据三角形内角和定理得NE+NF=40°,

根据等边对等角得ZCMN=2/E,ZCNM=2ZF,即可得ACMN+ACNM=80°,根据三角形内角和定理即

可得.

【详解】解:如图所示，作点。关于4B的对称点E,关于AD的对称点F,

则CM=EM,CN=FN,

：.CM+MN+CN=EM+MN+FN,

.♦.当E、河、N、F在同一条直线上时，£M+AW+FN的最小值等于线段EF的长，

四边形ABCD中，/A=40°,=/。=90°,